breuken

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wat staat waar?

Wat is een breuk nou eigenlijk?

Veel verwarring over breuken komt van het feit dat je een breuk eigenlijk op twee manieren kunt zien:

Een breuk is een getal.
Gewoon een plekje op de getallenlijn tussen alle andere getallen in.

Een breuk is een deling.
Een breuk is een opgave, waarbij het ene getal moet worden gedeeld door het andere getal.
We zijn alleen te beroerd om het uit te rekenen en laten de opgave gewoon lekker staan.....

De simpele opmerking van het meisje hiernaast hiernaast maakt direct al een probleem met die breuken duidelijk.
Zo heeft de deling 2 : 3 dezelfde uitkomst als 6 : 9. Dus er zijn meer delingen (breuken) die dezelfde plaats op de getallenlijn voorstellen.

Verder zie je daardoor meteen dat je "gewone" getallen ook als breuken kunt voorstellen, namelijk door ze als deling te schrijven.

Zo is bijv.: 4 = 4 : 1 = ⁴/₁.
Maar ook: 4 = 12 : 3 = ¹²/₃

Naamgeving.
Bij een breuk noemen we het gedeelte boven de streep de "teller", en het gedeelte onder de streep de "noemer".

Voorrangsregels.

We weten uit de voorrangsregels voor berekeningen dat de volgorde van delen en vermenigvuldigen niet uitmaakt. Je voert delingen en vermenigvuldigingen gewoon uit in de volgorde waarin je ze tegenkomt (zolang het maar vóór optellen en aftrekken gebeurt).
Als het alleen om delen en vermenigvuldigen gaat mag een andere volgorde ook best!

Bijvoorbeeld:
3 × 5 : 8 = (3 × 5) : 8 = 15 : 8 = 1,875
3 × 5 : 8 = 3 × (5 : 8) = 3 × 0,625 = 1,875

Beiden is goed.
Maar als je een deling als een breuk ziet, dan heeft deze eigenschap gevolgen voor breuken.
Kennelijk geldt:

Die 3 die daar in de teller staat mag je ook wel vóór de breuk zetten!
En omdat de volgorde van vermenigvuldigen ook wel gewisseld mag worden is het volgende allemaal gelijk:

Conclusie:

Bij vermenigvuldigen geldt:

"Getallen in de teller mag je ook wel voor of achter de breuk schrijven"

Denk er goed om dat het alléén bij vermenigvuldigen mag, en alléén met de teller (ik heb die noemers niet voor niets steeds rood gemaakt!)
Dus:

Zorg dat je deze voorbeelden goed begrijpt voordat je verder leest!

Leuk trucje tussendoor
Als je een breuk met maar één getal in de teller hebt, dan kun je dat getal er ook voor schrijven door te bedenken dat elk getal te schrijven is als "getal × 1".

Kijk maar:

Wat hebben we hier aan?

De grote winst komt, als er niet alleen maar getallen in de breuk staan, maar ook letters (variabelen). Omdat zulke letters ook eigenlijk getallen voorstellen gelden de eigenschappen hierboven nog steeds.
Zo kun je bijvoorbeeld schrijven:

Zie je dat dit een manier geeft om zo'n formule als aan het begin handiger te schrijven?
Bij die meest rechtse manier kun je het getal ³/₈ gewoon uitrekenen: dat is 0,375.
Dus daar staat gewoon 0,375a
Dat betekent dat je de formule ^3a /₈ mag vervangen door 0,375a.
En dat is vaak handig, als dit een deel is van een grotere formule.
Kijk maar naar dit laatste uitgebreide voorbeeld:

Geef maar toe: die laatste formule is een stuk simpeler dan die eerste!!!

Breukformules in de GR.

Hoe je breukformules in de GR kunt invoeren staat eigenlijk hierboven al beschreven: Maak er een deling van .
Neem deze formule:

Dan voer je dat in als: Y1 = 5 + (2X - 3)/(X + 2)
Let wel op de haakjes:

Zet van een breuk de totale noemer en de totale teller tussen haakjes.



OPGAVEN

1.	Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen zoveel mogelijk:

	a.

	b.

	c.

	d.

2.	Het gaat níet goed met de slagingspercentages van een middelbare school voor HAVO/VWO. In de loop der jaren blijken er steeds minder leerlingen te slagen!! De verontruste rector stelt de volgende twee formules op:



	H is het percentage geslaagden op HAVO, V het percentage geslaagden op VWO, t is de tijd in jaren met t = 0 in 2000

	a.	Hoeveel procent is het aantal HAVO-slagers in 2005 kleiner dan het aantal VWO-slagers?

	b.	In welk jaar zal het percentage slagers voor HAVO gelijk zijn aan het percentage slagers voor VWO als deze formules blijven gelden?

	c.	De formule voor H(t) heeft een iets andere vorm dan die voor V(t), want daar staat nog 8,2 in. Verander de formule voor H(t) zodanig dat die dezelfde vorm krijgt als die voor V(t).

3.	Een boswachter houdt bij hoeveel konijnen zich in zijn gebied bevinden. Hij ontdekt daar een regelmatigheid in. Voor het aantal konijnen (N) in een bepaald jaar blijkt te gelden:



	Daarin is n het aantal konijnen in het vorige jaar, en c een constant getal. De eerste breuk geeft aan hoeveel konijnen er nieuw zijn geboren, de tweede breuk geeft aan hoeveel er dood zijn gegaan. c is een getal dat afhangt van de hoeveelheid beschikbaar voedsel, en het aantal roofdieren (vossen) in het gebied,.

	a.	Hoeveel procent van de konijnen gaat er in een jaar dood als c = 0,85 ?

	Als c een constant getal zou zijn, dan was de formule voor N te schrijven als een lineaire formule

	b.	Neem c = 0,5 en schrijf de formule voor N in de vorm N = an + b

	c.	Voor welke c is de formule te schrijven als N = 2,5 • n + b ? Hoe groot is b dan?

	d.	Neem c = 0,7 In een jaar is het aantal konijnen gelijk aan 305 Hoeveel was het aantal het jaar ervoor?

	e.	Neem weer c = 0,7 Bij welk aantal konijnen n is het aantal het jaar erna hetzelfde gebleven?