Beschouw de parabolen met
vergelijking y = x2 + px +
q met p, q Î [-1,
1]
Wat zijn alle mogelijke waarden voor de (reële) nulpunten van
deze parabolen?
Het grootst mogelijk nulpunt hebben we natuurlijk snel
gevonden, en het antwoord zal je niet verbazen:
En nou komt de clou:
Als een getal x een oplossing van de vergelijking 0
= x2 + px + q is, dan is een
getal z dat in absolute waarde niet groter is dan x
óók een oplossing van zo'n soort vergelijking.
Stel namelijk z = ax (met |a|
< 1) dan heeft de vergelijking x2 + apx
+ a2q = 0 als oplossing z.
immers z2 + apz + a2q
= (ax)2 + ap(ax) + a2q
= a2(x2 + px + q)
= 0
Bovendien zitten ap en a2q
ook in het interval [-1,1] als p en q dat doen.
Conclusie: de mogelijke nulpunten vormen samen het
interval [ -f
, f ]
|
