HET PROBLEEM:
Gooi een muntstuk n keer.
Hoe groot is de kans dat er nooit twee keer achter elkaar KOP
gegooid wordt?
DE OPLOSSING
In totaal zijn er 2n mogelijke volgorden bij n
keer gooien met een muntstuk.
Stel dat f (n) het aantal mogelijke volgorden is
zonder twee keer KOP achter elkaar.
We weten dan al dat f(1) = 2 (K, M) en f(2)
= 3 (KM , MK , MM)
We gaan voor f (n) een recursieformule
opstellen.
Een serie met n > 2 heeft geen 2 keer KOP als één
van de twee volgende gevallen geldt:
| 1. |
Hij begint met MUNT en wordt gevolgd door een rij
van n - 1 waarin geen 2 keer KOP achter elkaar
voorkomt. |
| 2. |
Hij begint met KOP, daarna komt MUNT en daarna nog
een rij van n - 2 waarin geen 2 keer
KOP achter elkaar voorkomt |
dus f (n) = f (n - 1) + f
(n - 2) en daar is de rij van Fibonacci alweer,
alleen deze keer twee plaatsen opgeschoven!
Omdat de directe formule voor Fibonacci is: F(n) =(Fn
- fn)/Ö5
en omdat de kans op geen 2 kop gelijk is aan f (n)/2n
geldt dus voor deze kans:
|
