| In 1672 vond James Gregory de
volgende reeksontwikkeling voor arctanx:
Voor de geïnteresseerden staat
hier
een bewijs/afleiding.
Deze formule geeft mogelijkheden om p te benaderen.
Het meest voor de hand liggend is te nemen tan(1/4p)
= 1 Þ 1/4p
= arctan(1)
Stop dat in de formule hierboven en je hebt de Leibnitz-formule:
|
| 1/4p
= 1 - 1/3 +
1/5
- 1/7 +
1/9
- ...
|
|
|
Nou is dit misschien wel een erg elegante formule, maar niet een
erg efficiënte.
Kijk maar eens hoe langzaam dat gaat:
|
|
|
| 1 |
= |
1,0000000000 |
| 1/3 |
= |
0,3333333333 |
| 1/5 |
= |
0,2000000000 |
| 1/7 |
= |
0,1428571428 |
| 1/9 |
= |
0,1111111111 |
| 1/11 |
= |
0,0909090909 |
| 1/13 |
= |
0,0769230769 |
|
De eerste decimale nul
krijgen we pas bij de zesde term. Voor de tweede nul zijn al 50
termen nodig. Als we in p in
7 decimalen willen hebben zullen we maar liefst 5 miljoen termen
moeten uitrekenen!
Een veel snellere benadering krijgen we als we gebruiken dat
tan(1/6p)
= 1/3Ö3
Dat geeft na invullen :
Kijk maar, dat gaat een stuk sneller:
|
|
|
| 1 |
= |
1,0000000000 |
| 1/9 |
= |
0,1111111111 |
| 1/45 |
= |
0,0222222222 |
| 1/189 |
= |
0,0052910052 |
| 1/729 |
= |
0,0013717421 |
| 1/2673 |
= |
0,0003741114 |
| 1/9477 |
= |
0,0001055186 |
Na 10 termen begint het al met 6 nullen! Bij de
Leibnitz-formule waren daar een half miljoen termen voor nodig.
Alleen is er ook met deze formule een probleem, vooral toen er
nog niet zulke snelle computers waren als nu. Het was nogal
lastig om die wortels nauwkeurig te benaderen.
Zijn er misschien snelle formules zonder wortels te gebruiken?
Tuurlijk!
In 1706 kwam John Machin met de Machin-formule:
|
| p/4
= arctan(1/5)
- arctan(1/239) |
|
|
Het getal 239 is zo groot dat er nooit veel termen nodig
zijn om snel een boel nullen te krijgen. En de term 1/5
valt ook wel mee: het zijn allemaal machten van 5 in de noemer
en dat rekent vrij makkelijk. Machin zelf berekende bijvoorbeeld
met de hand al 100 decimalen van p.
Kijk maar hoe snel er nullen komen:
|
|
|
| arctan(1/5) |
| 1/5 |
= |
0,2000000000 |
| 1/375 |
= |
0,0026666666 |
| 1/15625 |
= |
0,0000640000 |
| 1/546875 |
= |
0,0000018285 |
| 1/17578125 |
= |
0,0000000568 |
| 1/537109375 |
= |
0,0000000018 |
| 1/15869140625 |
= |
0,00000000006 |
|
|
| arctan(1/239)
|
| 1/239 |
= |
0,0041810041 |
| 1/40955757 |
= |
0,0000000244 |
| 1/3899056325995 |
= |
0,0000000000002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Euler zou Euler niet zijn als hij ook niet een formule
had.
In 1738 kwam hij met de volgende mooie Euler-formule:
|
| p/4
= arctan(1/2)
+ arctan(1/3) |
|
|
't Is helemaal elegant als je hem schrijft als
arctan(1/1) = arctan(1/2)
+ arctan(1/3) natuurlijk.
Laten we voortbouwen op de Euler-formule. Let eens op het
volgende patroon; het moet je bekend voorkomen:
arctan(1)
arctan(1/3)
arctan(1/8)
arctan(1/21)
....... |
= arctan(1/2) + arctan(1/3)
= arctan(1/5) + arctan(1/8)
= arctan(1/13) + arctan(1/21)
= arctan(1/34) + arctan(1/55)
|
Nee maar! Daar zijn de
Fibonacci-getallen!
Er zijn ineens oneindig veel formules voor p
met behulp van de Fibonacci-getallen. Dat ziet er zó uit:
| p/4
|
= arctan(1)
= arctan(1/2) + arctan(1/3)
= arctan(1/2) + arctan(1/5)
+arctan(1/8)
= arctan(1/2) + arctan(1/5)
+ arctan(1/13) + arctan(1/21)
= arctan(1/2) + arctan(1/5)
+ arctan(1/13) + arctan(1/34)
+ arctan(1/55)
= .... |
|
