Nieuwe pagina 1


OPGAVEN



1.	Gooi 10 keer een muntstuk. Op hoeveel manieren kun je hoogstens 9 keer KOP gooien?

2.	Gooi 6 dobbelstenen Op hoeveel manieren kun je minstens 2 zessen gooien?



OPLOSSING

1.	Het tegenovergestelde is 10 keer kop, en dat kan op 1 manier (KKKKKKKKKK) In totaal zijn er 2¹⁰ = 1024 manieren Hoogstens 9 keer kop kan op 1024 - 1 = 1023 manieren

2.	Het tegenovergestelde van minstens 2 zessen is 0 of 1 zes. Noem N = niet zes (kan op 5 manieren) en Z = zes (kan op 1 manier) 0 zessen kan dan op 5⁶= 15625 manieren (NNNNNN) 1 zes kan op 6 • (1 • 5⁵) = 18750 manieren (er zijn 6 rijtjes met ZNNNNN) samen zijn dat 34375 manieren In totaal zijn er 6⁶ = 46656 manieren. Dus er blijven over 12281 manieren.

Minstens en Hoogstens en zo....
- de complementregel -

eerst maar even vertalen:

•

Minstens betekent: "groter of gelijk" ofwel ³
Dus "minstens 2" dat is hetzelfde als "2 of meer"

•

Hoogstens betekent: "kleiner of gelijk" ofwel £
Dus "hoogstens 5" dat is hetzelfde als "5 of minder"

Vaak is het bij "hoogstens" of "minstens" in vraagstukken erg veel werk om het allemaal uit te rekenen. In zulke gevallen kan het wel eens handig zijn om het tegenovergestelde uit te rekenen!!
Dat heet het complement.

complement: reken het tegenovergestelde uit!

Voorbeeld.

Uit een groep van 12 jongens en 8 meisjes moet je een commissie van 8 kiezen. Op hoeveel manieren kan dat als er minstens 2 meisjes in zitten?

Minstens 2 meisjes, dat is 2 of 3 of 4 of 5 of 6 of 7 of 8
Oei! Dat is wel erg veel werk!!!!
Het tegenovergestelde is 0 of 1 meisje

0 meisjes en dus 8 jongens: 12 nCr 8 = 495 manieren
1 meisje en dus 7 jongens: 12 nCr 7 • 8 nCr 1 = 6336 manieren
Samen is dat 6336 + 495 = 6831 manieren

In totaal zijn er 20 nCr 8 = 125970 manieren om een commissie van 8 te kiezen.
Met minstens 2 meisjes blijven er dan 125970 - 6831 = 119149 manieren over.