Knooppunten waar slechts 2 grenzen
samenkomen laten we gewoon weg: die hebben helemaal geen invloed
op het kleuren.
Vanaf nu bekijken we alleen maar kaarten waarbij in elk
knooppunt exact drie grenzen samenkomen.
Zo'n kaart heet vanaf nu een KUBIEKE kaart
Dat mag zonder iets aan algemeenheid te verliezen.
Stel namelijk dat we bewijzen dat elke KUBIEKE kaart met vier
kleuren is te kleuren.
Dan volgt daar direct uit dat ook elke andere kaart met 4
kleuren te kleuren is. Dat gaat als volgt:
neem een knoopunt met
meer grenzen
plak er een sticker
overheen
kleur de nieuwe kaart
met 4 kleuren (dat kan volgens de aanname)
haal de sticker weg en
kleur de rest.
Vanaf nu zullen we daarom alleen
maar KUBIEKE kaarten bekijken. Als we het vierkleurenprobleem
daarvoor kunnen oplossen hebben we het voor elke kaart opgelost.
Een aardige bijkomstigheid is nog
het volgende feit:
Als elke kaart met 4 kleuren gekleurd kan worden, dan kan de
rand ervan uit slechts 3 kleuren bestaan. Dat kun je
meteen zien door een cirkel om de hele kaart als extra land toe
te voegen.
