|
Op
een schaakbord bestaan geen gelijkzijdige driehoeken. |
|
Daarmee
bedoelen we eigenlijk natuurlijk:
|
Door hoekpunten van
velden met elkaar te verbinden is
nooit een gelijkzijdige driehoek te maken. |
|
|
Het begint (uiteraard) zó:
Stel dat zo'n driehoek wél zou bestaan..... |
|
Uit de stelling van Pythagoras weten
we dat een lengte tussen twee roosterpunten altijd te schrijven is
als √c met c een geheel getal (c2
= a2 + b2). Dus de zijden van onze driehoek
zijn alle drie te schrijven als √c. (c
geheel)
Dan heeft de hoogtelijn (alweer via Pythagoras) lengte ½ √c√3
Dus de oppervlakte is ½ ´ basis
´ hoogte = ½ ×
√c × ½√c√3
= ¼ × c ×
√3
Deze oppervlakte is niet als breuk te schrijven want √3
is niet als breuk te schrijven.
(het bewijs daarvan gaat alweer vanuit het ongerijmde: het gaat
precies zo als voor √2 en dat staat
HIER) |
|
Conclusie
1 :
| De
oppervlakte van zo'n driehoek is niet als breuk te
schrijven. |
Maar voor een driehoek waarvan alle hoekpunten roosterpunten
zijn is de oppervlakte juist wél als breuk te schrijven.
Dat zie je heel simpel zó: |
|
 |
|
|
|
Als de coördinaten van A, B en C
gehele getallen zijn, dan zijn de rechthoekszijden van de bruine
driehoeken óók geheel. Dus is de oppervlakte van de bruine
driehoeken samen te schrijven als (½ ×
basis
× hoogte) = (½ ×
geheel getal). Dus die van de gele driehoek ook, want dat
is een rechthoek met gehele zijden (en dus gehele oppervlakte),
waarvan (½ × geheel getal) wordt
afgetrokken.
Je kunt het trouwens ook zien met de beroemde "Wet
van Pick":
Daarin is A de oppervlakte van een figuur, I = aantal
roosterpunten binnen de figuur en B = aantal roosterpunten op de
omtrek van een figuur.
|
|
|
Conclusie2:
| Nietes! De oppervlakte van zo'n
driehoek is wél als breuk te schrijven! |
|
|
|
Samengevat: áls
zo'n driehoek zou bestaan dan is de oppervlakte niet als breuk te
schrijven.
Maar we weten dat de oppervlakte wél als breuk is te schrijven.
Dus zo'n driehoek bestaat niet. In
geen enkel rooster trouwens!!! |