h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Toetsen op een Piano
Iedereen heeft ze natuurlijk wel eens gezien: de witte en zwarte toetsen van een piano. Ze zien er ongeveer als volgt uit:
Als je er goed naar kijkt zie je dat de witte toetsen aan de achterkant niet allemaal even breed zijn. Dat kan natuurlijk ook niet, want we willen graag dat ze aan de voorkant wel even breed zijn, en bovendien moeten de zwarte toetsen allemaal even breed zijn.
Een Wiskundige zou zeggen: 
"Noem de breedte van de witte toetsen aan de voorkant W en aan de achterkant w en noem de breedte van zwarte toetsen z, dan heeft het stelsel 3W = 3w + 2b  en  4W = 4w + 3b  als enige oplossing  b = 0".

Als we het toetsenbord hierboven bekijken, dan hebben de toetsen  C, E, F en B aan de achterkant breedte w = W - 0,5b  en de toetsen D,G en A  breedte  w = W - b.  Deze eenvoudige manier geeft een maximaal verschil van 0,5b voor de breedte van de achterkanten.  


Dat is geen mooie oplossing, en er zijn ook geen piano's die zo gemaakt zijn (in sommige cartoons ziet een klavier er trouwens wl zo uit).
Een betere oplossing is A,B,C,E,F,G = W - 0,75b  en  D = W - 0,5b
Dat staat in 't plaatje hiernaast (W = 1, B = 0,5)
De afwijking van de enige afwijkende toets (de D) is slechts 0,25b. Sommige toetsenborden gebruiken inderdaad dit systeem (bijv. de Roland HP-780)

Een andere oplossing is  C,D,E,F,B = W - 2/3B  en G,A = W - 5/6B
Dat geeft een maximaal verschil van slechts B/6.
Zie het plaatje hiernaast.
Het kan nog beter!
Neem maar C,E = W - 5/8B en A,B,D,F,G = W - 3/4B
Dan is het maximale verschil nog maar B/8.
Zie het plaatje hiernaast.
Een aantal bestaande piano's gebruikt deze methode.
De beste oplossing
De beste oplossing is  C,D,E = W - 2/3B  en  F,G,A,B = W - 3/4B
Dan is het maximale verschil nog maar B/12.
Zie het plaatje hiernaast.
Dit patroon wordt op veel keyboards gebruikt, bijv. de Roland PC-100.
Deze B/12-oplossing is de beste onder de voorwaarde dat alle zwarte toetsen identiek zijn en alle witten aan de voorkant even breed.