| Stel dat je een groot aantal keer een
weddenschap kunt afsluiten op een spel. Bij winst krijg je een aantal
keer f je inzet uitbetaald. En de kans op winst is p.
Stel verder dat het spel gunstig voor je is: gemiddeld verwacht je meer te
krijgen dan je inzet. (Dat is zo als p • f > 1).
Dan heb je bij één keer spelen de hoogste winstverwachting als je je
hele kapitaal inzet. Maar bij vaker spelen moet je niet elke keer je hele
kapitaal inzetten, immers dan verlies je dat op een gegeven moment en kun
je niet meer verder spelen. Stel dat je ervoor kiest om elke keer een
fractie F van je kapitaal op dat moment in te zetten. Hoe kun je F dan het
beste kiezen?
Het Kelly-systeem (J.L Kelly, 1956) geeft de optimale strategie om twee
redenen:
| 1. |
Het geeft een groeifactor die op den duur groter is
dan de groeifactor bij elke andere strategie. |
| 2. |
Het aantal weddenschappen dat je nodig hebt om een
bepaald streefkapitaal te halen (groot t.o.v. je
beginkapitaal) is kleiner dan bij elke andere strategie. |
Noem het beginkapitaal K0, en definieer Rk als
volgt:
| Rk
= { |
0 als de kde weddenschap wordt
verloren |
| f als de kde weddenschap
wordt gewonnen. |
Noem verder Kn het kapitaal na n weddenschappen.
Je zet dus elke keer F•Kn-1 in en houdt (1 - F)•Kn-1
achter.
Als je wint krijg je f • F • Kn-1 terug
en wordt je nieuwe kapitaal (1 - F)•Kn-1 + f •
F • Kn-1 = Kn-1•(1 - F + f • F)
Als je verliest wordt je nieuwe kapitaal het achtergehouden bedrag (1 - F)•Kn-1.
Beide gevallen zijn samen te vatten door te stellen dat je kapitaal bij
elke weddenschap met een factor
1 - F + f • F • Rk wordt vermenigvuldigd.
Beginnend met K0 geeft dat:
Kn = K0 • (1 - F + f • F • R1)
• (1 - F + f • F • R2) • .... • (1 - F + f
• F •Rn) Als we ons kapitaal met vaste groeifactor G
willen laten groeien moeten we stellen: Kn = K0
• Gn
|
Hier staat een rij variabelen die worden
opgeteld. Voor de verwachtingswaarde van logG mogen we de
verwachtingswaarden van de afzonderlijke termen optellen
De verwachtingswaarde van term log(1 - F + f • F • R) is gelijk
aan
|
| p • log(1 - F + f • F) + (1 - p)•log(1
- F) |
|
Dit laatste is ook gelijk aan de verwachtingswaarde van logG want er
staan n dezelfde termen vermenigvuldigd met 1/n.
Om (de verwachtingswaarde van) G te maximaliseren moeten we ook (de
verwachtingswaarde van) logG maximaliseren (als functie van F).
In plaats van log mag je ook wel ln nemen: dat scheelt slechts een
constante factor 1/ln10
Dan moet de afgeleide nul zijn:
dus p • f - p - p • F • f + p • F
= 1 - F + f • F - p + p • F - p • f
• F
dus p • f - 1 = f • F - F en de conclusie is:
Voorbeeld:
Stel dat de kans 0,6 is dat we winnen en dat we bij winst 2 keer onze
inzet terugkrijgen, dan vinden we F = 0,2 dus zetten we elke keer 20% van
ons kapitaal in. Dat geeft op den duur de grootste winst. Gegarandeerd!
Ik heb het nog even nagespeeld met het volgende BASIC-programmaatje
(waarbij ik een beginkapitaal 100 nam)
Het gaf de tabel ernaast.
10 RANDOMIZE TIMER
20 INPUT"inzetfractie";F
30 K = 100
40 FOR N=1 TO 100
50 R = 1: IF RAND>0,6 THEN R = 0
60 K = K*(1-F+2*F*R)
70 NEXT N
80 PRINT K
90 END |
|
| F |
K100 |
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30 |
|
|
(volgt later)
|
