Het Kelly-Inzetsysteem

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stel dat je een groot aantal keer een weddenschap kunt afsluiten op een spel. Bij winst krijg je een aantal keer  f je inzet uitbetaald. En de kans op winst is p. Stel verder dat het spel gunstig voor je is: gemiddeld verwacht je meer te krijgen dan je inzet. (Dat is zo als p • f  > 1).

Dan heb je bij één keer spelen de hoogste winstverwachting als je je hele kapitaal inzet. Maar bij vaker spelen moet je niet elke keer je hele kapitaal inzetten, immers dan verlies je dat op een gegeven moment en kun je niet meer verder spelen. Stel dat je ervoor kiest om elke keer een fractie F van je kapitaal op dat moment in te zetten. Hoe kun je F dan het beste kiezen?

Het Kelly-systeem (J.L Kelly, 1956) geeft de optimale strategie om twee redenen:

1. Het geeft een groeifactor die op den duur groter is dan de groeifactor bij elke andere strategie.
2. Het aantal weddenschappen dat je nodig hebt om een bepaald streefkapitaal te halen  (groot t.o.v. je beginkapitaal) is kleiner dan bij elke andere strategie.

Noem het beginkapitaal K0, en definieer Rk als volgt:

Rk = { 0 als de kde weddenschap wordt verloren
f als de kde weddenschap wordt gewonnen.

Noem verder Kn het kapitaal na n weddenschappen.
Je zet dus elke keer F•Kn-1 in en houdt  (1 - F)•Kn-1 achter.
Als je wint krijg je  f • F • Kn-1 terug en wordt je nieuwe kapitaal  (1 - F)•Kn-1 + f • F • Kn-1 = Kn-1•(1 - F + f • F)
Als je verliest wordt je nieuwe kapitaal het achtergehouden bedrag (1 - F)•Kn-1.
Beide gevallen zijn samen te vatten door te stellen dat je kapitaal bij elke weddenschap met een factor 
1 - F + f • F • Rk wordt vermenigvuldigd.
Beginnend met K0 geeft dat:
Kn = K0 • (1 - F + f • F • R1) • (1 - F + f • F • R2) • .... • (1 - F + f • F •Rn)

Als we ons kapitaal met vaste groeifactor G willen laten groeien moeten we stellen:  Kn = K0 • Gn

Daaruit volgt dat  log Kn = log K0 + n• logG  ofwel  log G = (1/n)•log(Kn/K0)
Met de regel voor Kn hierboven en de eigenschap  log(abc...)= loga + logb + logc + ... geeft dat:
log G = (1/n)•[ log(1 - F + f • F • R1) + log(1 - F + f • F • R2) + .... + log(1 - F + f • F •Rn)]
Hier staat een rij variabelen die worden opgeteld. Voor de verwachtingswaarde van logG mogen we de verwachtingswaarden van de afzonderlijke termen optellen
De verwachtingswaarde van term log(1 - F + f • F • R) is gelijk aan
p • log(1 - F + f • F) + (1 - p)•log(1 - F)

Dit laatste is ook gelijk aan de verwachtingswaarde van logG want er staan n dezelfde termen vermenigvuldigd met 1/n.
Om (de verwachtingswaarde van) G te maximaliseren moeten we ook (de verwachtingswaarde van) logG maximaliseren (als functie van F).
In plaats van log mag je ook wel ln nemen: dat scheelt slechts een constante factor 1/ln10
Dan moet de afgeleide nul zijn:


dus  p • f - p - p • F • f + p • F = 1 - F + f • F - p + p • F - p • f • F
dus p • f - 1 = f • F - F en de conclusie is:

Voorbeeld:
Stel dat de kans 0,6 is dat we winnen en dat we bij winst 2 keer onze inzet terugkrijgen, dan vinden we F = 0,2 dus zetten we elke keer 20% van ons kapitaal in. Dat geeft op den duur de grootste winst. Gegarandeerd!
Ik heb het nog even nagespeeld met het volgende BASIC-programmaatje (waarbij ik een beginkapitaal 100 nam)
Het gaf de tabel ernaast.

10  RANDOMIZE TIMER
20  INPUT"inzetfractie";F
30  K = 100
40  FOR N=1 TO 100
50      R = 1: IF RAND>0,6 THEN R = 0
60    
K = K*(1-F+2*F*R)
70   NEXT N
80   PRINT K
90   END
F K100
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
 


(volgt later)