Een foto van een toren maken.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 

Je wilt graag van grote afstand een foto maken van de Martinitoren, bijvoorbeeld om de skyline van Groningen vast te leggen. Helaas staan er voor de stad altijd andere dingen in de weg. Bomen, huizen, noem maar op. Op welke afstand vanaf Groningen kun je nu het best een foto maken? (Zodat de Martinitoren er zo duidelijk mogelijk op staat).

De situatie is als hieronder geschetst:

Als je de toren zo duidelijk  mogelijk in beeld wilt hebben moet je ervoor zorgen dat hoek a zo groot mogelijk is.

Welnu, er geldt:  tan (a + b) = H/x  dus a + b = arctan (H/x)
tan b = h/(x - d) dus  b = arctan(h/(x - d))
conclusie:

Om de maximale a te vinden moeten we differentiren en nul stellen:

Daaruit volgt:

   H {(x - d)2 + h2} = h (x2 + H2)
   H {x2 - 2dx + d2 + h2) = hx2 + hH2
   x2 (H - h) + x (-2dH) + (Hd2) = 0

En dit is een kwadratische vergelijking in x.
Die is makkelijk op te lossen als H, h, en d bekend zijn.

VB1:  Je wilt een boom van 8 meter hoog fotograferen, maar op afstand 10 meter ervoor staat een schutting van 2 meter hoog. Waar moet je gaan staan?
H = 9,  h = 2,  d = 12  geeft  7x2 - 216x + 1296 = 0 met als oplossing  x 22,7 meter

VB2:  De Martinitoren is 97  meter hoog. Als je naar Groningen rijdt en je wilt de skyline zien, dan belemmeren huizen en bomen voor Groningen je het zicht. De verste huizen (een meter of 8 hoog) vanaf de Martinitoren staan ongeveer 10 km er vanaf (de straal van de stad Groningen). Op welke afstand zie je de skyline het duidelijkst?
H = 97 , h = 8 , d = 10000  geeft  89x2 - 1940000x + 9700000000 = 0 met oplossing x = 14028 meter
Dus op zo'n 14 km voor Groningen moet je de skyline fotograferen.

Dezelfde Vraag
Hetzelfde principe komen we tegen bij de vraag uit 1471 van Regiomontanus: Hoe ver vr een standbeeld moet je staan om het beeld zo goed mogelijk te zien.Het blijkt dat de optimale afstand die is waarvoor de cirkel die het (midden van het) standbeeld raakt ook de horizontale lijn door de ogen van de toeschouwer moet raken. Zie de figuur hiernaast.

En ook dezelfde vraag komen we tegen als het gaat om de plaats waar een rugbyspeler het best zijn trap bij de conversie kan nemen.