In het casino

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Stel je gaat naar het casino, maar je hebt al zoveel afschrikwekkende verhalen over enorme verliezen op zo'n avond gehoord dat je besluit hoogstens 10 euro te verspelen. Dan stop je gegarandeerd!
Verder hoor je ook vaak verhalen van mensen die eerst winnen en daardoor z in de stemming komen dat ze door blijven spelen tot ze toch weer alles kwijt zijn. Daarom besluit je om als je 20 euro hebt, altijd te stoppen.

Bij het spel dat je speelt is de kans q op 1 euro winst en 1 - q op 1 euro verlies. Je speelt bijvoorbeeld de hele avond aan de roulettetafel op rood of zwart (dan is q = 18/37 en  1 - q = 19/37  immers de 0 is groen)
Hoe groot is dan de kans dat dit een "geslaagde" avond gaat worden?

Noem P(n) = kans om blut te raken als je op een gegeven moment  n euro hebt (dus P(0) = 1 en P(20) = 0)
Om op een bedrag van n euro te komen had je de vorige ronde dus n - 1 f n + 1 euro.
Dat betekent:
P(n) = q P(n - 1) + (1 - q) P(n + 1)

En zie: daar hebben we een mooi exemplaar van een  "tweede-orde-lineaire-recursievergelijking".
Nou is een algemene oplossing van zo'n vergelijking altijd een lineaire combinatie van machten van twee particuliere oplossingen.

Ik weet wel twee "flauwe" oplossingen:  P(n) = 1 en P(n) = (1 - q)/q 
In het eerste geval staat er  1 = q 1  + (1 - q) 1
In het tweede geval staat er  (1 - q)/q = q (1 - q)/q + (1 - q) (1 - q)/q = (1 - q + q) (1 - q)/q  

Beiden kloppen.
De algemene oplossing is dus: 

De A en B volgen uit de twee grensvoorwaarden.

P(0) = 1 geeft direct A + B = 1
P(200) = 0  geeft  0 = A + B ((1 - q)/q)20  

Daaruit kun je vrij makkelijk A en B oplossen, en die twee invullen in de vergelijking voor P(n)
Dat geeft als uiteindelijke oplossing:

In ons voorbeeld-geval was q = 18/37 en in het begin is n = 20 dus is de kans dat we blut raken vr we 20 euro hebben ongeveer gelijk aan 0,63.  Kortom met deze speeltactiek zullen we in 63% van onze avonden blut gaan en in 37% met een bedrag van 20 euro naar huis gaan. In de volgende grafieken staat alles nog eens samengevat voor verschillende beginbedragen.

(De volledigheid gebiedt mij te zeggen dat deze methode voor p = q = 0,5 geen oplossing geeft omdat beide particuliere oplossingen dan niet onafhankelijk zijn. Een andere particuliere oplossing is in dit geval P(n) = n. Dat geeft als eindoplossing  P(n) = 1 - n/20)