Noem P(n) = kans om blut te
raken als je op een gegeven moment n euro hebt (dus
P(0) = 1 en P(20) = 0)
Om op een bedrag van n euro te komen had je de vorige
ronde dus n - 1 óf n + 1 euro.
Dat betekent:
| P(n) = q • P(n - 1) + (1 - q)
• P(n + 1) |
En zie: daar hebben we een mooi exemplaar van een "tweede-orde-lineaire-recursievergelijking".
Nou is een algemene oplossing van zo'n vergelijking altijd een
lineaire combinatie van machten van twee particuliere
oplossingen.
Ik weet wel twee "flauwe" oplossingen: P(n)
= 1 en P(n) = (1 - q)/q
In het eerste geval staat er 1 = q • 1
+ (1 - q) • 1
In het tweede geval staat er (1 - q)/q
= q • (1 - q)/q + (1
- q)
• (1 - q)/q = (1 - q
+ q)
• (1 - q)/q
Beiden kloppen.
De algemene oplossing is dus:
De A en B volgen uit de twee grensvoorwaarden.
P(0) = 1 geeft direct A + B = 1
P(200) = 0 geeft 0 = A + B • ((1 - q)/q)20
Daaruit kun je vrij makkelijk A en B oplossen, en die twee
invullen in de vergelijking voor P(n)
Dat geeft als uiteindelijke oplossing:
In ons voorbeeld-geval was q = 18/37
en in het begin is n = 20 dus is de kans dat we blut
raken vóór we 20 euro hebben ongeveer gelijk aan 0,63.
Kortom met deze speeltactiek zullen we in 63% van onze avonden
blut gaan en in 37% met een bedrag van 20 euro naar huis gaan.
In de volgende grafieken staat alles nog eens samengevat voor
verschillende beginbedragen.
(De volledigheid gebiedt mij te zeggen dat deze methode voor p
= q = 0,5 geen oplossing geeft omdat beide particuliere
oplossingen dan niet onafhankelijk zijn. Een andere particuliere
oplossing is in dit geval P(n) = n. Dat geeft als
eindoplossing P(n) = 1 - n/20) |
