SET!
't Is een spel dat mensen haten of liefhebben (meestal al naar gelang ze er goed in zijn of niet)
Je speelt het met kaarten waarop symbolen staan die allemaal verschillende eigenschappen hebben.
Er zijn 4 eigenschapen:  VORM,  KLEUR,  VULLING  en  AANTAL
Voor elk van deze eigenschappen zijn er drie mogelijke waarden:


In totaal bestaat het spel dus uit 81 kaarten (maar dat zul je als wiskundige natuurlijk direct al geweten hebben : 34)

De spelleider legt 12 kaarten open op tafel en dan is het de bedoeling patronen te gaan zoeken. Een "SET" is een serie van drie kaarten die bij elkaar horen. Dat is zo als voor elke eigenschap geldt dat ze hem f allemaal gelijk f allemaal verschillend hebben.
Zodra een speler een SET zit liggen roept hij "SET" en wijst de drie kaarten aan. Als het klopt krijgt hij deze kaarten en legt de spelleider drie nieuwe ervoor in de plaats en begint de volgende ronde. Als het niet klopt moet deze speler zijn mond houden tot de volgende ronde. Wie aan het eind de meeste kaarten heeft, heeft het spel gewonnen.

Een paar voorbeeldjes?

is een set:  
aantal allemaal gelijk, vorm ook, vulling ook, 
kleur allemaal verschillend
is ook een set: 
kleur gelijk, vorm en aantal en vulling allemaal verschillend
geen set: 
kleur en aantal en vorm verschillend.
vulling bederft de boel:  twee dicht en n gearceerd; 
dat is niet allemaal gelijk en ook niet allemaal verschillend.
Als de spelers het erover eens zijn dat er geen enkele set ligt,  legt de spelleider er drie kaarten bij, zodat er nu 15 kaarten liggen, en gaat het spel verder. (er is een variant waarbij een speler mag roepen "geen set" en dan punten krijgt als er inderdaad geen set wordt gevonden.
Hieronder kun je in je eentje oefenen tegen de klok: hoe sneller je sets aanklikt, des te meer punten krijg je.
Waarschuwing: het is behoorlijk verslavend.
De Wiskunde in SET
Wat is er wiskundig aan SET? 
Nou, om eerlijk te zijn; aan het spel zlf niet zoveel. 't Is meer een beetje patronen herkennen. Maar er zwerven wel een boel wiskundige vragen omheen! 
Een kleine excursie:
Stelling 1:  
Als je twee set-kaarten hebt, past er maar n bij om een SET te maken.


Het bewijs is makkelijk: kijk naar n van de vier eigenschappen. Als de twee kaarten die hetzelfde hebben met de derde kaart ook wel die eigenschap hebben. Als de twee kaarten de eigenschap verschillend hebben moet de derde kaart ook weer een andere eigenschap hebben (en daar is er nog maar eentje van) Hoe dan ook: de eigenschap van de derde kaart ligt vast!

vraag 1:  Hoeveel verschillende SETs zijn er eigenlijk?

Met stelling 1 gaat het er dus om op hoeveel manieren we twee kaarten kunnen trekken (dan ligt de derde vast).
Er zijn 81 kaarten, dus twee daarvan kunnen we op 81 nCr 2 = 3240 manieren kiezen.
Dat zou dus 3240 SET's geven, maar op deze manier hebben we elke SET drie keer geteld (set ABC hebben we gevonden door AB of AC of BC te kiezen als eerste twee kaarten).
Het werkelijke aantal verschillende SET's is daarom 3240/3 = 1080


vraag 2:  Bij hoeveel verschillende SET's hoort n bepaalde kaart?
Da's nu makkelijk: er zijn 1080 SET's dus om die te maken zijn er 3 1080 = 3240 kaarten nodig.
Het SET-deck heeft 81 kaarten dus elke kaart hoort bij  3240/81 =
40 Set's 

vraag 3:  Hoeveel kaarten kunnen er aan het eind van het spel overblijven?
Het is logische dat dit aantal een drievoud moet zijn (alles speelt zich immers af in groepjes van drie)
Dus de mogelijkheden zijn 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.  Meer dan 18 is onmogelijk want meer dan 20 kaarten bevatten altijd een SET.
Maar ook al deze mogelijkheden komen in praktijk niet voor (als het spel foutloos gespeeld wordt tenminste).
Er zijn vier eigenschappen met elk drie waarden. Dat betekent dat elke waarde van een eigenschap 27 keer in een volledig spel voorkomt. 
Elke keer als er een SET verwijderd wordt, verdwijnt er n waarde drie keer of elke waarde n keer (al naar gelang de eigenschappen van de SET gelijk of verschillend zijn). Hoe vaak verschillende waarden in het restant voorkomen kan daarom alleen maar een veelvoud van 3  van elkaar verschillen.

Als er drie kaarten overblijven kunnen de waarden dus alleen maar  (1,1,1) of (0,0,3)  zijn en in dat geval is er een SET over! Dus 3 over is onmogelijk.
In praktijk blijken alleen 6 of 9 overblijvers mogelijk, maar bewezen is dat nog niet.....


vraag 4:  Hoeveel kaarten zijn maximaal mogelijk zonder een SET erbij?
Dat lijkt een erg simpele vraag maar het antwoord is moeilijk.
't Is al wel bekend natuurlijk: door computersimulatie kun je het wel vinden.
Bij 1 eigenschap is het natuurlijk 2 kaarten,  bij 2 eigenschappen zijn er 4 setloze kaarten mogelijk, bij 3 eigenschappen 9 kaarten, en tenslotte bij ons SET-spel van 4 eigenschappen zijn er maximaal 20 kaarten te vinden zodat er geen SET is.

Het strikte wiskundige bewijs dat dit zo is bestaat echter erg lastig.
In 1994 bewezen de wiskundigen Calderbank en Fishburn (Designs, Codes, and Cryptography) dat 20 een bovengrens is.
Dat het een ondergrens is, is makkelijk te bewijzen door gewoon verzamelingen van 1 tm 20 kaarten te maken waarin geen SET zit. Hieronder zie een mogelijkheid.

De smaak te pakken?

Je kunt een dagelijkse SET-puzzel spelen op: