De vier wandelaars
Dit raadsel heeft een oplossing die vereist dat we het probleem vanuit een groter perspectief bekijken. 
Dat we buiten de getreden paden durven te treden. Letterlijk soms....
Uit de psychologie is het volgende gedrag van dieren bekend.
Zet een hongerige kip voor een stuk gaas met daarachter een bergje voedsel.
De kip zal proberen direct via de kortste weg naar het voedsel te gaan. Dat lukt dus niet. Zij blijft met haar kop tegen het gaas drukken maar bereikt haar voedsel nooit. Het komt niet in haar hoofd op dat ze om kan lopen, omdat dat vereist dat ze zich eerst verwijdert van het voedsel.
Stellen we een hond voor het zelfde probleem dan heeft die er echter geen enkele moeite mee.
Een hond is nou eenmaal slimmer dan een kip, nietwaar?....

Maar ook een hond lost de situatie hiernaast niet op. Het gaas is in spiraalvorm opgesteld. Daardoor vereist het van de hond dat hij zich meerdere malen verwijdert van zijn voedsel en elke keer nog verder ook! Dat is teveel gevraagd. Een hond komt hier niet uit.
Een aap echter wel!
Maar ja, een aap is nou eenmaal slimmer dan een hond, nietwaar?....
En nu ben jij aan de beurt!

De volgende stap in de evolutie?

Bekijk de situatie hiernaast. Er staan negen stippen en de opdracht is die met 4 rechte lijnstukken te verbinden zonder je potlood van het papier te halen. 
De aap geeft zich over. Het zal hem niet lukken.
Probeer het nu eerst zelf. Een mens is nou eenmaal slimmer dan een aap... NIETWAAR?......

De oplossing staat overigens HIER.
Terug naar het probleem van de vier wandelaars....

De oplossing is wonderbaarlijk eenvoudig, maar je moet ervoor wel weer even buiten de getreden paden komen. Letterlijk in dit geval.  
Laten we de route van loper 1 bekijken. In het vlak waarin hij loopt is dat een rechte lijn. Maar als we loodrecht op dat vlak een tijdas zetten kunnen we ook de grafiek van loper 1 in dit ruimtelijke assenstelsel bekijken. Omdat loper 1 met constante snelheid loopt zal zijn ruimte-tijd grafiek een rechte lijn zijn. (waarvan de projectie op het grondvlak de eigenlijke gelopen route is). Zoiets:
De lichtblauwe lijn is de werkelijk gelopen route, de donkerblauwe lijn de erbij horende ruimte-tijd grafiek.
Maar voor loper 2 geldt precies hetzelfde: zijn ruimte-tijd grafiek is ook een rechte lijn. En omdat de twee wandelaars elkaar ontmoeten, moeten beide lijnen elkaar snijden. immers bij dat punt van het grondvlak hoort dezelfde tijd. Dus bijvoorbeeld zoiets:
Omdat de ruimte-tijd grafieken van wandelaars 1 en 2 elkaar snijden, leggen zij een plat vlak vast.
Maar omdat 3 en 4 ook 1 en 2 hebben ontmoet, moeten de grafieken van 3 en 4 ook wel in dat zelfde platte vlak liggen.
De grafieken van 3 en 4 liggen dus in hetzelfde platte vlak, dus moeten ze elkaar ook wel snijden, dus hebben 3 en 4 elkaar ontmoet. (de grafieken van 3 en 4 kunnen niet evenwijdig zijn, want dan zijn hun projecties op het grondvlak dat ook, en er was gegeven dat de wegen niet evenwijdig zijn)
Vanuit de tijdruimte dimensie gezien is het een kinderlijk eenvoudig probleem.

BEWEZEN!
Het leuke is:  HET KAN OOK ANDERSOM!
We kunnen ook juist van 2 naar 3 dimensies gaan om een probleem te vereenvoudigen.
Kijk naar de figuur hiernaast.
Daar staan 3 cirkels met gelijke straal die door één punt gaan.
Het lijkt erop alsof door de drie andere snijpunten van de cirkels een nieuwe cirkel gaat met dezelfde straal.
Kunnen we dat bewijzen?

Natuurlijk, anders zou dit probleem hier niet staan.

Laten we alle middelpunten van de drie cirkels verbinden met de punten op de omtrek van die cirkels.
Dat geeft de rechterfiguur hieronder, waarin alle lijnstukken lengte hebben gelijk aan de straal van de cirkels.
Nee maar! Daar hebben we de ruimtelijke tekening van een balk!
Als we de andere drie ribben er ook bij tekenen, blijkt dat hun nieuwe snijpunt even ver van de drie rode punten af ligt en dus is er een cirkel met dat punt als middelpunt en gelijke straal aan de andere drie cirkels!