Het raadsel van de kastjes.
Wanneer verandert een leerling een kastje? Als het nummer van het kastje een veelvoud van zijn eigen nummer is.
Door wie wordt een kastje dus veranderd? Door de leerlingen waarvan het nummer een deler is van het kastjesnummer
(kastje 24 zal veranderd worden door de leerlingen  1,2,3,4,6,8,12 en 24 want dat zijn de delers van 24)

Wanneer staat een kastje na afloop open? Als het een oneven aantal keer veranderd is.
Dus als het nummer van het kastje een oneven aantal delers heeft.
De vraag is daarmee geworden:
  
Welke getallen hebben een oneven aantal delers?

Nou hebben de meeste getallen een even aantal delers, omdat de delers twee aan twee bij elkaar horen.

2 is een deler van 24, want 24 = 2 ´ 12, maar daarom is 12 ook een deler.
Omdat 3 een deler is, is ook 8 een deler.
Het lijkt er op alsof elke deler van een getal automatisch een tweede deler produceert, en alsof dus alle getallen een even aantal delers hebben.
Dat is echter niet zo want als de tweede deler gelijk is aan de eerste, dan levert dat geen nieuwe tweede deler op.
36 heeft als delers  1,2,3,4,6,9,12,18 en 36. Je ziet dat ze twee aan twee bij elkaar horen. Alleen de 6 heeft geen partner. 6 hoort bij zichzelf. Dat komt omdat 36 precies gelijk is aan 6 ´ 6.
oplossing:  de kwadraten staan open.

Een Kleurrijke Variant

Het volgende probleem is eigenlijk een broertje (of eigenlijk grote broer) van dit kastjesprobleem.:
Twaalf schilders wonen rond een cirkelvormig plein. Hun huizen zijn allemaal rood of blauw. Elke maand gaat één van hen tegen de klok in huizen verven, beginnend bij zijn eigen huis (en elke maand weer een andere schilder).
  • Als een huis rood is schildert hij het blauw en gaat naar het volgende huis.
  • Als een huis blauw is schildert hij het rood en gaat na afloop tevreden terug naar huis.

Bewijs dat, als er minstens één rood huis is, dat dan na afloop van het jaar alle huizen hun eigen kleur weer hebben!

Het getal 12 doet er niet eens toe.
Neem aan dat er n schilders zijn. Nummer de huizen 0 tot en met n-1 tegen de klok in. Laten we beginnen bovenaan bij "12 uur"
Als we een rood huis nummer 0 geven en een blauw huis nummer 1, dan wordt de toestand van de huizen rond het plein gekarakteriseerd door een serie enen en nullen.
Dat kunnen we dus als een tweetallig getal noteren!  Huis 0 staat voor 20, huis 1 voor 21 enz.
Dan zou de hierboven getekende situatie voor januari het getal  110101010010   zijn.

Noem nu gi dit getal vlak voordat de ide schilder wil gaan verven.
Hoe verandert gi door de ide schilder? Ofwel: wat is het verband tussen gi en  gi + 1 ?
Elke schilder ontmoet op den duur een blauw huis en stopt daarna met verven.
Stel dat voor de ide schilder huis nummer I het eerste blauwe huis is.
Dan zijn er drie mogelijkheden:

1. I > i 
bijvoorbeeld als schilder 3 voor het eerst een blauw huis op nummer 7 aantreft.
In dat geval verft schilder 3 alle huizen 3,4,5,6 van rood naar blauw en huis 7 van blauw naar rood.
Hoe verandert gi daardoor?
Een huis van rood naar blauw verandert een 1 in een 0, en telt dus een macht van 2 bij het getal g  op.
In het voorbeeld zal g toenemen met  23 + 24 + 25 + 26
Het huis van blauw naar rood veranderen laat g tenslotte weer afnemen met 27.
In het algemeen: gi + 1 = gi + (2i + 2i+1 + ... + 2I-1) - 2I  = gi - 2i.

Daarbij heb ik gebruik gemaakt van de eigenschap dat  20 + 21 = ... + 2n = 2n+1 - 1
(2i + 2i+1 + ... + 2I-1) - 2I  =
= (20 + 21 + ... + 2i-1) + (2i + 2i+1 + ... + 2I-1) - 2I - (20 + 21 + ... + 2i-1)
= (2I - 1) - 2I - (2i - 1)
= - 2i

2. I < i
bijvoorbeeld als schilder 6 voor het eerst een blauw huis treft op nummer 2.
In dat geval schildert hij de huizen  6,7,8,9,10,11,12,1,2  van rood naar blauw en huis 3 van blauw naar rood.
Op dezelfde manier als hierboven geldt dan:
gi+1 = gi + (2i + 2i+1 + ... + 2n-1) + (20 + 21 + ... + 2I-1) - 2I = gi + (2n - 1) - 2i

(2i + 2i+1 + ... + 2n-1) + (20 + 21 + ... + 2I-1) - 2I
= (20 + 21 + ... + 2i-1) + (2i + 2i+1 + ... + 2n-1) - (20 + 21 + ... + 2i-1) + (20 + 21 + ... + 2I-1) - 2I
= (2n - 1) - (2i - 1) + (2I - 1) - 2I
= 2n - 1 - 2i
3. I = i
Dan geldt ook één van bovenstaande vergelijkingen. De eerste als hij alleen zijn eigen huis verft, de tweede als hij een heel rondje maakt en als laatste weer zijn eigen huis verft.
Beide vergelijkingen kunnen we samenvatten als:  
gi + 1 = gi - 2i  (mod (2n - 1))
Nu zijn we zover te kunnen gaan kijken wat er gebeurt als alle schilders een keer verven, ofwel het verband tussen g0 en gn-1.
Omdat er bij elke schilder i  van het getal 2i afgaat, zal in totaal gelden:

gn-1 = g0 - (20 + 21 + ... + 2n-1)    (mod(2n - 1))
gn-1= g0 - (2n - 1)  (mod(2n - 1))
gn-1 = g0  (mod (2n - 1))

Maar 2n - 1 is binair een getal met allemaal enen, dus dat modulo-gedoe kan alleen maar als het begin- of het eindgetal uit allemaal enen bestaat.


g0 kan niet uit alleen maar enen bestaan immers er was minstens één rood huis.
gn-1 kan ook niet alleen maar uit enen bestaan want het laatst geverfde huis werd rood geschilderd.
de enige conclusie is  dat  gn-1 = g0 .

En daarmee is bewezen dat de eindsituatie gelijk is aan de beginsituatie.
3. Een uitbreiding.
Voor je staan 1000 schakelaars. Elke schakelaar heeft 4 standen, laten we ze N, O, Z en W noemen.
De schakelaars kunnen slechts één kant opgedraaid worden, en ook slechts één stand verder. Dus N kan naar O, O kan naar Z, Z naar W en W weer naar N.
In het begin staan alle schakelaars in de stand N.
Verder staat er op elke schakelaar een nummer.
Die nummers zijn van de vorm 2x3y5z  met x, y, en z  van  0,1,2,...,9

Loop nu alle waarden van x, y en z langs en verander steeds de schakelaar met nummer xyz  plus alle schakelaars waarop een nummer staat dat een deler is van het nummer op schakelaar  xyz.

Hoeveel schakelaars staan na afloop weer in de stand N?