Een beetje proberen met het gegeven vierkant zal al gauw een vierkant met maar 2 koekjes opleveren. Bijvoorbeeld:

Hier is een systematische manier om het aantal donkere koekjes te verminderen:
1. Als er een rij of kolom is met 3 of meer donkere koekjes kun je die rij/kolom omdraaien en vermindert het aantal donkeren.
2. Stel dat er twee verschillende rijen met precies twee donkere koekjes zijn, stel rij x en rij y.
Kies dan een donker koekje dat niet in één van die rijen zit. Stel dat dat koekje in kolom z.
Door eventueel rij x en rij y te draaien (als er in kolom z een licht koekje zit) kun je ervoor zorgen dat kolom z drie donkere  koekjes krijgt. Daarbij verandert het totaal aantal donkere koekjes niet.
Draai tenslotte kolom z en het aantal donkeren vermindert weer!
3. Precies dezelfde redenering geldt voor twee kolommen met precies 2 donkere koekjes.
4. Stel dat er precies één rij en één kolom met twee donkere koekjes is.
Draai de kolom.
Dat geeft twee rijen met twee donkere koekjes en daar kun je methode 2) weer op toepassen.
Zo eindig je altijd met hoogstens 4 donkere koekjes.
Is elke toestand geheel "oplosbaar"?
Nee. Dat kun je bewijzen zonder een toestand te noemen die niet "oplosbaar" is.
Daarvoor moet je twee dingen opmerken:

1.  De volgorde van draaien is niet belangrijk. 

Of je nou eerst kolom 1 en daarna rij 3 draait of eerst rij 3 en daarna kolom 1, dat maakt niet uit.....
Omdat twee keer draaien de oorspronkelijk situatie weer geeft, gaat het er dus alleen om of we de rijen/kolommen nul of één keer gaan draaien.
Een hele draaisessie zou je kunnen weergeven door 8 keer JA of NEE te beslissen (voor elke rij en elke kolom een keer). Dus er zijn 28 = 256 mogelijke draaisessies.

 2. Het draaien is omkeerbaar

Als je toestand A krijgt uit toestand B door een bepaalde draaivolgorde, dan kun je B weer terug uit A krijgen door die draaivolgorde nóg een keer toe te passen. Elke rij/kolom wordt dan immers nul of twee keer gedraaid en dat heeft geen effect.
Om te kijken welke situaties naar helemaal licht kunnen leiden, kunnen we dus net zo goed kijken welke situaties uit helemaal licht kunnen ontstaan.
We zagen al dat er 256 mogelijke draaisessies zijn, maar sommigen daarvan leiden tot het zelfde eindresultaat (bijvoorbeeld:  alleen alle rijen één keer draaien en de kolommen niet heeft hetzelfde resultaat als de kolommen één keer draaien en de rijen niet.

conclusie:  uit de situatie waarin alles licht is zijn minder dan 256 nieuwe situaties te krijgen.
Volgens regel 2 zijn er dus minder dan 256 situaties oplosbaar.

Maar hoeveel situaties zijn er?
Elke koekje kan licht of donker beginnen, dus dat geeft  216 = 65536 mogelijke verschillende beginsituaties.
Daarvan zijn er minder dan 256 oplosbaar.....
Dus meer dan 65000 onoplosbaar; hoogstens 0,3% is oplosbaar!!!!