Ezel 1
Het probleem van ezel1 is om van twee cirkels (met straal 1 en 0,8), waarvan het middelpunt van de één op de omtrek van de ander ligt, de doorsnede te bepalen.

Laten we het algemene geval bekijken van twee cirkels met stralen R en r en middelpunten (0,0) en (d,0).
(In het geval van ezel1 is bijvoorbeeld  R = 1 en d = 1 en r = 0,8).
Eerst gaan we proberen lengte AB te vinden:

De vergelijkingen van de cirkels zijn:

x2 + y2 = R2  en  (x - d)2 + y2 = r2
Snijden geeft:

(x- d)2 + (R2 - x2) = r2  Þ  x2 - 2dx + d2 - x2 = r2 - R2

x oplossen en weer invullen in  y2 = R2 - x2  geeft:
Lengte AB is gelijk aan 2y:



Om de oppervlakte van de doorsnede te berekenen gebruiken we de figuur hiernaast.
Het gele deel is te beschouwen als een cirkelsegment met hoek 2a waar een driehoek vanaf moet worden getrokken.

Cirkelsegment: cosa = d/R  dus  a = cos-1(d/R)
Omdat de hele cirkel hoek 2p en oppervlakte pR2 heeft geldt:
2a/2p = cirkelsegment /pR2  ofwel  cirkelsegment = aR2
Conclusie:  cirkelsegment = R2•cos-1(d/R)

Driehoek:  b2 = R2 - d2  Þ  b = Ö(R2 - d2)
Oppervlakte = 0,5 • 2 • b • d = d • Ö(R2 - d2)
Ezel 2
Ezel 2 is een stuk lastiger.....
Het probleem is dat de baan, die de ezel in zijn uiterste stand beschrijft, geen cirkel is!
Laten we het algemene geval bekijken van een silo met straal R en touwlengte r. Neem wel aan dat de ezel niet helemaal rond de silo kan komen, dus dat  r < R•p
De oppervlakte die de ezel kan bereiken is op te splitsen in een halve cirkel met straal r (waarvan de diameter raakt aan de silo) plus twee aparte gebiedjes aan weerszijden daarvan.

De halve cirkel is geen probleem: die heeft oppervlakte 0,5•pr2, maar hoe zit het met beide stukjes aan de zijkant?
Laten we proberen een vergelijking op te stellen voor de  stukjes AB aan de zijkanten. De kromme waarvan deze stukjes een deel zijn heet de involute van een cirkel. Je kunt de vergelijking daarvan het handigst bepalen door te beginnen met het touw helemaal vanaf punt B langzaam weer terug te draaien. Noem de hoek waarover teruggedraaid is q. Dan is de situatie als hiernaast

Nu geldt  PQ = cirkelboog BQ = R • q
hoek SMQ = hoek TQP = q 
(immers hoek MQS = 90 - q en hoek MQP = 90)
x =  MS + SU = MS + TP = Rcosq + Rqsinq
y = PU = QS - QT = Rsinq - Rqcosq

Daarmee hebben we een parameterkromme voor AB gefabriceerd.
Oké, aan de slag:
PM = Ö(x2 +y2) = Ö(R2(cos2q + 2cosq•q•sinq + q2sin2q + sin2q - 2sinq•q•cosq + q2cos2q))
= Ö(R2(1 + q2(sin2q + cos2q))) = R • Ö(1 + q2)  
(waarbij we gebruikten dat sin2q + cos2q = 1)
Nee maar; nu hebben we ook al een vergelijking voor AB in poolcoördinaten:  r  =  R • Ö(1 + q2) 
Terug naar de oppervlakte. Als punt P beweegt over een hoek dq, dan levert dat voor de totale oppervlakte een klein driehoekje op met oppervlakte dA = 1/2 • r • (r dq)   
(als dq maar klein genoeg is, is de oppervlakte van het gele stukkie te verwaarlozen tov het rode).

Op deze manier laten we punt P van B naar A lopen  (q van 0 naar f). Dan vinden we samen de oppervlakte van het felrode deel hieronder (de ezel zit vast in E)
Die oppervlakte vinden we door te integreren:

Daar moeten we de lichtrode driehoek nog bij optellen en dan het cirkeldeel MEB weer van aftrekken.
De oppervlakte van de lichtrode driehoek is  1/2 • r • R

Voor hoek EMA geldt tan EMA = r/R  dus EMA = arctan(r/R)
Als we beseffen dat bg EB = r   dan zien we dat  hoek EMB = r/R
dus de oppervlakte van de cirkelboog is  (p • R2 • r ) /( 2pR) = Rr/2 = 1/2 • r • R 

Wat blijkt: de oppervlakte van de lichtrode driehoek is gelijk aan de oppervlakte van het cirkelsegment.  

verder is   f = EMB - EMA = r/R - arctan(r/R)
En daar hebben we dan eindelijk de oppervlakte:
Invullen van  R = 1 en r = 1,4 geeft  A = 0,239858...
De oppervlakte waar de ezel kan grazen is een halve cirkel plus twee zulke stukjes:
Atot = 0,5 • p • 1,42 + 2 • 0,2398... = 3,558478...