Russel's Paradox

Op zich is de paradox eenvoudig, maar hij heeft grote gevolgen gehad.
Het gaat over verzamelingen. Een verzameling is een samenraapsel van dingen. Maar een ding kan zelf ook weer een verzameling zijn. Dus er bestaan ook verzamelingen van verzamelingen.
Sommige verzamelingen, bijvoorbeeld de verzameling van alle biljartballen, zijn geen deel van zichzelf.
Andere verzamelingen, zoals de verzameling van niet-biljartballen zijn wl een deel van zichzelf, immers deze verzameling is duidelijk zelf geen biljartbal.
Noem de verzameling van alle verzamelingen die gn deel van zichzelf zijn R.

Is R een deel van zichzelf??????

Als R een deel van zichzelf is, dan is hij dat per definitie niet, want dan zit hij immers in R...
Als R geen deel van zichzelf is, dan hoort hij zeker in R thuis.


Deze paradox had grote gevolgen.....

De paradox lijkt een onschuldig grapje, maar heeft toch ernstige gevolgen gehad. Dat zit hem in het volgende. Zodra we een tegenspraak hebben als "P n niet-P" dan kun je logisch gezien daar elke bewering uit afleiden.
Neem een willekeurige tweede bewering Q, en stel dat de bewering  "P n niet-P"  waar is.

P (P V Q)                                      (Als "P" waar is, dan is "P of Q" ook waar)
(P V Q) n (niet-P) Q                   (Als "P of Q" waar is en "niet-P" ook, dan is Q waar)

Daarmee is Q bewezen. Dus als we in een logisch systeem de bewering "P n niet-P" toelaten, dan is de beer los, het hek van de dam:  we kunnen dan ineens alles bewijzen! En dat is in een formeel logisch systeem natuurlijk volstrekt ontoelaatbaar.

Russell ontdekte de paradox in 1901 en schreef erover aan Frege, die toen bezig was de logica te formaliseren.  Frege stond op het punt zijn  "Grundgesetze der Arithmetik" te publiceren. De paradox toonde aan dat de axioma's die Frege gebruikte inconsistent waren, dus Frege moest haastig een appendix toevoegen waarin hij Russels ontdekking besprak, en waarin hij schreef dat de gevolgen van de paradox niet duidelijk waren.

Theory-of Types

Ook Russell zelf zat met zijn ontdekking in zijn maag. Hij begon ook maar een appendix te schrijven voor zijn werk Principia Mathematica dat hij op het punt stond te publiceren. Het werd Appendix B: "The Doctrine of Types", en was een eerste poging de paradox te vermijden. Omdat de paradox ontstaat doordat iets naar zichzelf verwijst besloot Russell dat niet meer toe te laten. Hij rangschikte alle beweringen in verschillende lagen van een hirarchisch systeem. De onderste laag bestond uit beweringen over individuele dingen. De laag daarboven uit beweringen over verzamelingen van individuele dingen. De laag dr weer boven uit beweringen over verzamelingen van verzamelingen, enz.
Bij elke bewering over objecten mag je het alleen maar hebben over objecten uit dezelfde laag. Dat voorkomt vicieuze cirkels als in de paradox.
Bij elke bewering/functie moet eerst een domein gegeven worden voor je de geldigheid van de bewering/functie kunt bespreken. Dus dat domein kan nooit dingen bevatten die gedefinieerd zijn in termen van de bewering/functie zlf.
"X is een priemgetal" kun je alleen bespreken als je vooraf vaststelt dat X een natuurlijk getal moet zijn.
"X is onwaar" kun je alleen bespreken als je vooraf vaststelt dat X een bewering  moet  zijn. Maar je moet er bij zeggen wat voor soort bewering. Bijvoorbeeld een bewering over individuele dingen. Maar dan mag X niet zijn "Deze bewering" want dan is X een bewering over een bewering en hoort hij thuis in een hogere laag. Niet in de laag van beweringen over dingen, maar in de laag van van beweringen over beweringen.
Dat lost de Russel Paradox op, maar geeft dus wel beperkingen over toegestane beweringen.
Helaas....
Russell in een ander jasje.
Een kapper in een dorpje heeft op zijn deur de volgende bewering hangen:
Ik scheer alle mensen uit het dorp die zichzelf niet scheren, en verder niemand.

Maar ja, scheert hij nou zichzelf of niet?????????????

En ng een variant...
In een dorp zijn verschillende clubs. Een inwoner kan lid zijn van meerdere clubs tegelijk.
Nou is het rare: elke club is genoemd naar een inwoner.
Zo is er Jan's club,  Paulien's club,  Karel's club...
Er zijn geen twee clubs naar dezelfde inwoner genoemd.
Je hoeft trouwens niet zelf lid te zijn van de club die naar je genoemd is, maar het is natuurlijk wel een beetje RAAR om daarvan geen lid te worden....
Iemand die niet eens lid is van de club die naar hem genoemd is wordt daarom RAAR genoemd in het dorp.
Op een gegeven moment richt men een club op waar ALLE  "rare"  mensen automatisch lid van zijn; de club van RARE mensen.

Maar naar wie moet die club genoemd worden????????

Stel dat hij "Piet's club"  gaat heten.  Als Piet dan lid is dan mag hij geen lid zijn, maar zodra hij geen lid meer is moet hij weer lid worden!