Oneindig

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   

"Jij bent lekker stom, stom, na na na na na"
"Oh ja?, nou jij bent nog veel stommer, lekker puh!"
"Nou ehh... Jij bent honderd keer stommer dan ik"
"Jij duizend keer meer dan ik"
"En jij een miljard miljoen keer stommer dan ik"
"Jij bent oneindig keer....."
"Altijd n meer dan jij, mag niet verbreken..."

 

De eerste kennismaking van kinderen met oneindig is waarschijnlijk de grote verbazing dat dat tellen alsmaar doorgaat! Er komt altijd weer een volgend getal. En toch is oneindig het grootste "getal" dat er bestaat, alhoewel er geen grootste getal is!
Op iets latere leeftijd komen we tot de ontdekking dat iets niet alleen oneindig groot kan worden, maar dat oneindigheid ook bestaat door iets in steeds kleinere stukjes te verdelen. Alhoewel de scheikunde ons laat geloven dat het ergens stopt  (molecuul - atoom - proton - quark ...), dat er zoiets als kleinste bouwstenen bestaan, is de wiskunde niet zo vriendelijk. Neem iets eenvoudigs als twee lijnstukken hiernaast.
Simpel vraagje: op welk lijnstuk liggen de meeste punten?
En toch zijn op deze simpele vraag drie antwoorden mogelijk, elk met hun eigen `bewijs` Kijk maar:
In de eerste figuur zie je hoe bij elk punt P van het korte lijnstuk een corresponderend punt Q van het lange hoort. Dus op beide zwarte lijnstukken liggen evenveel punten, maar het lange lijnstuk heeft nog het blauwe deel extra.
In de tweede figuur geldt precies hetzelfde, maar nu blijken beide lijnstukken precies evenveel punten te hebben.
En de derde figuur maakt het helemaal bont: nu heeft het korte lijnstuk een blauw stuk extra, dus daar liggen meer punten op!!!
In de natuurkunde is de eindigheid of oneindigheid van ons heelal een punt van discussie. Kinderen zeggen : "Hoe kan het heelal een grens hebben? Wat is daar buiten dan? En wat gebeurt er als je bij de rand gaat staan en je arm er overheen steekt? 
De wiskunde ziet overal oneindigheid. Bijvoorbeeld in het steeds kleiner worden, zoals in alle fractals. Maar ook simpeler:  het oppervlak van een bol, dat duidelijk eindig is, maar dat toch geen grens heeft. Misschien is ons heelal ook wel het oppervlak van een soort (vierdimensionale?) bol. Een mooie drogredenering gaat als volgt:
"Als het heelal oneindig is, dan moet het ook wel oneindig veel planeten bevatten,
en dus zal er ook bijvoorbeeld een planeet bestaan precies als de onze maar
 waar iedereen kaal is...."

De fout zit hem er natuurlijk in dat het niet zo is dat een oneindige verzameling ook alles moet bevatten. Als ik een oneindige verzameling getallen heb, moet dan het getal 8 er in zitten? Natuurlijk niet! Er zijn zelfs oneindig veel oneindige verzamelingen zonder het getal 8! Dus de kans dat een oneindige verzameling 8 bevat is nul!
Een zelfde argument zit hier achter:

"Het is raar dat er niet meer onwaarschijnlijke dingen gebeuren,
want er zijn zovl onwaarschijnlijke dingen!!"

Terug naar de wiskunde.
Daar komen we eigenlijk drie soorten oneindigheid tegen:

1.  oneindigheid in een getallensysteem.
2.  oneindigheid in een topologische ruimte
3.  oneindigheid in verzamelingen.

1.  Oneindig in een getallensysteem
Een getallensysteem is een verzameling objecten die basiseigenschappen (zoals optellen, aftrekken e.d.) hebben die we normaal associren met getallen. Ik ga er n iet te diep op in, wie er meer van wil weten moet maar bij "Groepentheorie" kijken.
Het meest simpele systeem is de Natuurlijke getallen (0,1,2,3,4,...) maar die kunnen we uitbreiden tot Gehele getallen, Breuken, Rele getallen, Complexe getallen.....
Maar in geen enkel getallensysteem bestaat er het getal "oneindig".
Dat is eenvoudig z te zien:
Stel dat er een getal "oneindig" zou bestaan (laten we er het symbool   voor nemen)
Hoe groot is dan    - 1 ?
Dat kan geen eindig getal zijn; geen enkel getal + 1 is oneindig.
Dus moet wel gelden    - 1 =
Maar dan gelden alle normale rekenregels niet, immers als je van beide kanten    aftrekt staat er  -1 = 0
Zo geeft ook  2 =    na delen door    dat  2 = 1
Als je oneindig toelaat als getal krijg je de grootste flauwekul; je hele getallensysteem stort in elkaar!
Conclusie:

is gn getal

N.B.
Al deze argumenten tonen alleen maar aan dat er geen consistent getallensysteem is met n "getal" . Er is niets tegen een getallen systeem met mrdere getallen "oneindig".
Neem bijvoorbeeld de polynomen.
Die vormen een getallensysteem, want je kunt ze optellen, vermenigvuldigen, aftrekken. Je kunt ze ook op volgorde van klein naar groot zetten door bijvoorbeeld te zeggen dat polynomen met graad 1 "groter" zijn dan polynomen met graad 0.
Dus een polynoom als  "2x + 4" is groter dan elke constante, k groter dan de constante . Maar toch kun je moeilijk "2x + 4" gelijk stellen aan    immers er zijn zoveel polynomen met graad 1 (en hoger). Die zijn dan allemaal oneindig.... of meer.....

2.  Oneindig in een topologische ruimte 
Maar ja; wat s eigenlijk een topologische ruimte?
Dat is, simpel gesteld, een verzameling objecten (meestal getallen) waarvoor een definitie bestaat welke rijen objecten convergeren naar een ander object en welke niet.
Voorbeeldjes?

Neem de rij "objecten":

       1  ,  1 + 1/2  ,  1 + 1/2 + 1/4  ,  1 + 1/21/4 + 1/8   ,   1 + 1/2  + 1/4  + 1/8  + 1/16  ,  ....                    

Dan kun je vrij eenvoudig laten zien dat deze rij getallen convergeert naar het getal 2.
Het is erg makkelijk te zien als we getallen (net zoals de oude Grieken) vertalen naar oppervlakten. Begin met een vierkant met oppervlakte 1, en tel er vervolgens  1/2, 1/4, 1/8... bij op. Dat geeft zoiets:
Duidelijk is te zien dat deze serie naar een rechthoek van 2 bij 1 toegaat, ofwel naar oppervlakte 2.
Maar ja, de serie:
1,   1 + 1/2,    1 + 1/2 + 1/3,   1 + 1/2 + 1/3 + 1/4  ,   1 + 1/2 + 1/3 + 1/4  + 1/5  ........    blijkt niet naar een bepaald vast getal te convergeren. Door maar ver genoeg te gaan kun je boven elk willekeurig groot getal uitkomen.
Hetzelfde geldt voor de meest eenvoudige  serie  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, ...
Sterker nog: beide series convergeren naar hetzelfde!

En toch blijkt het zinvol te zijn om te zeggen dat ook deze laatste twee series convergeren naar een grenswaarde.
Naar oneindig!

Voor de gewone getallen zou je daar wat gevoel voor kunnen krijgen door ze te tekenen op een speciale getallenlijn: 1 op afstand 1 van het eind, 2 op afstand 1/2 van het eind, 3 op afstand 1/3, enz.:


Het is duidelijk dat de rij getallen convergeren naar iets (het eind van de lijn). Dat iets noemen we dan maar oneindig. En de tweede serie getallen 1,   1 + 1/2,    1 + 1/2 + 1/3,  ...  zou uiteindelijk naar precies hetzelfde punt convergeren (zij het veel langzamer) Let erop dat   zelf geen getal is;  een bewering als  "1 /   = 0" betekent niet dat je werkelijk het getal 1 door het getal   deelt, maar dat, als de serie a1 , a2 , a3 ...  naar   gaat, dat dan de serie  1/a1 , 1/a2 , 1/a3 , ...  naar 0 convergeert.
Zo is een uitdrukking als  "   - "  flauwekul. Immers als twee rijen  a1 , a2 , a3, ...  en  b1 , b2 , b3, ..  beiden naar convergeren zegt dat helemaal niets over de rij  a1 - b1 , a2 - b2 , a3 - b3 ,....

3.  Oneindig in verzamelingen 
Hier gaat het om beweringen als  "Er zijn oneindig veel getallen".
Oneindig wordt gebruikt om het aantal elementen van een verzameling (in dit geval de natuurlijke getallen) weer te geven. Dat heet een "kardinaalgetal"
Het probleem met de getallen is natuurlijk dat we ze niet allemaal op kunnen schrijven, want het zijn er zo veel!
Toch is er een manier om aan te geven hoeveel er zijn. Beschouw het volgende "probleem":

Als je niet tot vijf zou kunnen tellen,
Hoe weet je dan dat je aan beide handen evenveel vingers hebt?

Je kunt niet de vingers aan de ene hand tellen en dan die aan de andere hand, en dan die getallen vergelijken, want je kunt nou eenmaal niet zo hoog tellen.
De oplossing is letterlijk kinderlijk eenvoudig:

Nee, het is niet "bidden om een oplossing"  maar leg gewoon de duim van de linkerhand tegen die van de rechter, doe hetzelfde voor de wijsvingers, de middelvingers enz. Je ziet zo dat bij elke vinger van de ene hand ook een vinger van de andere hand hoort, dus hebben beide handen evenveel vingers (alhoewel je nog steeds niet precies weet heveel).
Georg Cantor zag dat het probleem bij getallenverzamelingen in wezen hetzelfde is. Hij probeerde daarom niet een oneindige verzameling te tellen, maar probeerde voor oneindige verzamelingen een procedure te ontwerpen om getallen aan elkaar te koppelen. Op die manier kun je ontdekken of twee verzamelingen evenveel elementen hebben (nog steeds zonder precies te weten heveel).
Laten we eens twee oneindig grote verzamelingen bekijken. De eerste is de positieve natuurlijke getallen, de tweede de even getallen. Dus  {1,2,3,4,5,...}  en  {2,4,6,8,10,...}.
Deze twee series kunnen we makkelijk aan elkaar koppelen:


Conclusie:  er zijn even veel positieve getallen als even getallen; de twee verzamelingen zijn even groot; ze hebben hetzelfde kardinaalgetal.
Op dezelfde manier kunnen we de positieve getallen koppelen aan de kwadraten (n n2)  of aan de viervouden  (n 4n) of aan de getallen groter dan 83  (n 83 + n)  of aan de priemgetallen  (n nde priemgetal)  enz. Al deze verzameling zijn even groot.

Deze verzamelingen, die dus allemaal te koppelen zijn aan de positieve getallen, heten aftelbaar.
Cantor's grote vraag was:  "Hebben alle oneindige verzamelingen het zelfde kardinaalgetal"
Het antwoord is "NEE"

Hoe is het bijvoorbeeld met de breuken? Op de getallenlijn zitten de breuken oneindig dicht op elkaar, want tussen elke twee willekeurige breuken kun je een nieuwe vinden. Dat geeft ons misschien het gevoel dat er mr breuken dan gewone getallen zijn.  Maar dat blijkt niet zo te zijn. Ook de breuken zijn aftelbaar; ofwel te koppelen aan de positieve getallen.
Dat is te zien in de volgende tabel:


In deze tabel staan alle breuken (sommigen vaker, maar dat doet er niet toe). Als je de rode lijn volgt kom je op de weg naar boven (het dikke gedeelte) dus vanzelf alle breuken tegen, en heb je meteen een manier om ze op een rijtje te zetten. (we volgen heel slim diagonale lijnen, want horizontale of verticale zijn meteen al oneindig groot!)
Dat rijtje wordt dus:    1/1  ,  2/1  ,  1/2  ,  3/1  ,  2/2  ,  1/3  ,  4/1  ,  3/2  ,  2/3  ,  1/4  ,  ...
Op deze manier tellen we alle breuken! 
Het verband met de positieve getallen is nu het volgende (bewijs dat zelf maar):  

breuk  n/m      getal  0,5(n + m - 2)(n + m - 1) + m

Zo is  5/16 de  206de breuk  en  219/118  de 56398ste breuk!  
De breukenverzameling is dus k aftelbaar, dus er zijn evenveel breuken als positieve getallen.
Hier zijn nog twee leuke manieren om de breuken af te tellen:

Stern-Brocot Tree
Ontbinden in factoren

Een mooi verhaal om dit duidelijk te maken gaat over HILBERT's HOTEL

Op naar de volgende verzameling: de rele getallen.
En daar loopt de zaak in de soep: die laten zich niet netjes op een rijtje zetten. Er is geen n-op-n verband te vinden tussen de positieve gehele getallen en de rele getallen. Om dat te bewijzen kwam Cantor met een heel nieuw soort bewijs" "Cantors Diagonalisatie Bewijs"

Het is een bewijs uit het ongerijmde en gaat als volgt:
Stel dat we een relatie hebben gevonden tussen de positieve gehele getallen en de rele getallen. Omdat alle rele getallen als (soms oneindig lange) decimale breuk geschreven kunnen worden,  hebben we dus een genummerde lijst die ALLE rele getallen bevat.
Die lijst zou er bijvoorbeeld z uit kunnen zien:

Maar nu bewees Cantor dat er in ieder geval n reel getal is, dat niet in deze lijst staat!
Kies nul voor de komma. Kies daarna het eerste cijfer achter de komma verschillen van het eerste cijfer in het eerste getal van de lijst. Kies het tweede cijfer verschillend van het tweede cijfer in het tweede getal in de lijst, enz. Dat ziet er z uit:


Dit nieuwe getal staat niet in de lijst. Maar we hadden een volledige lijst. Dat is in tegenspraak met elkaar, dus is het onmogelijk een volledige lijst te maken! De rele getallen hebben een kardinaalgetal dat"groter is dan dat van de positieve getallen. De rele getallen zijn op de n of andere manier "oneindiger"

Hetzelfde zien we in de volgende paradox:

Een wiskundige is gek op getallen en houdt een groot boek bij: het "Grote Boek Der Verzamelingen". Misschien heeft het welk oneindig veel bladzijden.....
Op elke bladzijde heeft hij een beschrijving van een verzameling getallen gegeven. (met getallen bedoelen we alleen de positieve gehele getallen). Een verzameling die ergens in het boek staat beschreven heet een "BOEKverzameling". 
Kun je een verzameling noemen die geen BOEKverzameling is?

Neem een getal n, en kijk of getal n deel is van de verzameling op bladzijde n. Als dat zo is, dan noemen we n "gevonden", als dat niet zo is dan noemen we n "onvindbaar".  
De verzameling "onvindbare"  getallen staat zeker niet in het boek!!!!! 

Terug...
We hebben dus al twee kardinaalgetallen (getallen die de grootte van een verzameling weergeven) die oneindig groot zijn. Zijn er misschien nog meer? Dat heeft Cantor onderzocht, en hij kwam tot de volgende stelling:

Bij elke willekeurige verzameling bestaat er minstens n "machtsverzameling"
die een groter kardinaalgetal heeft dan de verzameling zelf.

Deze stelling zegt dat je steeds grotere en grotere verzamelingen kunt construeren. Cantor introduceerde een speciale notatie voor kardinaalgetallen, met de Hebreeuwse letter aleph. De verzameling kardinaalgetallen zag er dan z uit:

kardinaalgetallen = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... , aleph-0 , aleph-1 , ... }

Het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen was aleph-0 (het kleinste getal oneindig) Maar het was de grote vraag of het kardinaalgetal van de Rele getallen gelijk was aan aleph-1. Cantor dacht dat dat wel zo was; dat was zijn beroemde continum hypothese. Hij kon hem echter nooit bewijzen.
In de dertiger jaren bewees Kurt Gdel dat niet bewezen kan worden dat de continum hypothese onwaar  is. Maar in 1960 bewees Paul Cohen dat de continum hypothese ook niet bewezen kan worden!
Een vreemd geval; ook nu nog hebben wij geen manier om te bepalen hoe oneindig de rele getallen nou precies zijn!!!