Paradoxen
Tegenstrijdigheden zijn de echte wiskundige natuurlijk en doorn in het oog.

Een schande.

Wiskunde is immers de zuiverste en eerlijkste wetenschap van allemaal?
In de wiskunde is immers alles "bewezen"?
Natuurkunde, scheikunde; het zijn slechts benaderingen, maar Wiskunde is geen benadering, maar een abstracte wetenschap, die ons de waarheid leert kennen, zo is eeuwenlang de opvatting geweest.
Zo rond het begin van de 19e eeuw had men zelfs zo'n rotsvast vertrouwen in het feit dat wiskunde de "Waarheid" (jawel; met een Hoofdletter) was, dat men aan de gang ging om alle wiskundige basis te herleiden tot logica.
Uitgaande van een paar logische basisaxioma's moest de hele wiskunde afgeleid worden......
Tussen 1910 en 1913 gingen Russell en Whitehead daarmee aan het werk. Zij maakten het enorme "Principia Mathematica". Drie delen die wiskunde uit logica lieten ontstaan. Pas op bladzijde 362 van het tweede deel komen zij tot het logische "bewijs" dat 1 + 1 gelijk moet zijn aan 2!!!!! (zie hiernaast)

Toen ze in 1903 begonnen hadden ze het plan om in ongeveer een jaar het werk af te hebben. Helaas duurde dat bijna 10 jaar! 

En toen het dan zo ongeveer klaar was concludeerde de uitgever Cambridge University Press dat het publiceren van het werk een geschat verlies van 600 pond zou opleveren.De uitgever was bereid de helft bij te dragen. De Royal Society doneerde nog eens 200 pond, maar beide schrijvers moesten ook elk 50 pond bijdragen om hun werk gepubliceerd te zien.In de Principia Mathematica beschrijven zij o.a. de "Theory of Types" waarmee veel paradoxen opgelost waren. Daarover kun je meer lezen bij  Russels Paradox. Principia Mathematica heeft een grote invloed gehad. In de jaren erna werd erg veel onderzoek gedaan naar logica, wiskunde, en metatheorieën (theorieën die theorieën beschouwen en beschrijven)

En...? Is het gelukt?
Is de wiskunde volledig en ondubbelzinnig te definiëren?

Nou, nee, want toen (nou ja, een jaar of twintig later) kwam er een vervelend mannetje langs dat Gödel heette, en die strooide roet in het wiskunde-eten. Hij publiceerde in 1931 zijn akelige "Incompleteness Theorem". 

De gehele tekst kun je hier vinden, maar is geen aanrader (misschien als je last van slapeloosheid hebt; gegarandeerd binnen 5 minuten succes). Hij bewees dat er binnen elk formeel systeem beweringen zullen zijn waarvan niet te zeggen is of ze waar of niet waar zijn! De essentie van zijn stelling is misschien als volgt te beschrijven:
1. Stel dat er een perfect systeem bestaat. Een systeem dat elke vraag (die binnen dat systeem gesteld kan worden) correct beantwoord. Laten we dit perfecte systeem "GOD" noemen.
2. GOD geeft elke week een krant uit waarin naast een aantal advertenties (hij kan ook niet van de wind leven) ook een rubriek van vragen van lezers met daarop antwoorden staat. En natuurlijk worden alle vragen beantwoordt, en zijn alle antwoorden WAAR. Vooruit, laten we de krant maar de Telegraaf noemen.
3. Gödel laat met een (duivels?) lachje de volgende advertentie in de Telegraaf plaatsen:

"GOD zal nooit zeggen dat deze advertentie de waarheid bevat"

4. Daarna stelt hij in de vragenrubriek de vraag:

"Bevat  mijn advertentie de waarheid?"

5. Hij leunt tevreden achterover......

Als GOD de vraag met JA beantwoordt, dan staat dus niet de waarheid in de advertentie, dus klopt het antwoord van GOD niet.
Dus zal GOD deze vraag nooit met JA kunnen beantwoorden.
Dus is de bewering van de advertentie WAAR!!!

We hebben nu een bewering gevonden waarvan we wéten dat hij waar is, maar die GOD nooit zal kunnen uitspreken!
De conclusie van Gödel is:  als je elke vraag correct wilt beantwoorden, dan kun je niet elke vraag beantwoorden. Ofwel:  Een kloppend (consistent) systeem is nooit volledig! (incompleteness theorem)

Nou zullen velen dit voorbeeld zien als een flauw taalgrapje; iets wat niks met een serieuze zaak als wiskunde te maken heeft. Net zoiets als al die andere soort beweringen als hiernaast die niet kloppen. Ze hebben er allemaal mee te maken dat dingen naar zichzelf verwijzen.

Maar het vervelende is dat Gödel een ingenieuze manier verzon om zo'n bewering om te zetten in getallen (Gödel-nummering) Als je een idee wilt krijgen van hoe dat werkt moet je het spannende verhaal HIER maar lezen. Hij slaagde erin een ingewikkelde vergelijking op te stellen die alleen een oplossing heeft als de bewering waar is.
En daarmee werd deze vervelende bewering een specifiek wiskundig probleem waar wij het antwoord op weten, maar ons wiskunde-systeem niet.

Russell en Whitehead zullen hun Principia nooit af krijgen! De wiskunde is in essentie onvolledig!
Helaas, helaas, ons vertrouwen in de wiskunde zal nooit meer hetzelfde zijn........
Een Gödel-Variant.
Eigenlijk komt wat Gödel zei neer op de volgende paradox:
DEZE BEWERING KAN NOOIT BEWEZEN WORDEN !!!!
Als de bewering ONWAAR is dan is het dus onwaar dat hij bewezen kan worden, dus kan hij wél bewezen worden. Maar dat betekent dat hij WAAR is. Dus als de bewering ONWAAR is vinden we een tegenstelling, dus hij moet wel WAAR zijn.
Dus we hebben nu een bewering waarvan we weten dat hij waar is, maar die zelf zegt dat hij niet bewezen kan worden. Dus dat is zo!