De Driehoeksongelijkheid
De driehoeksongelijkheid zegt dat de twee kortste zijden van een driehoek samen altijd langer zijn dan de langste zijde. Voor een leek makkelijk in te zien; kijk maar naar de driehoek hiernaast. Die ligt met de langste zijde op de grond, en de andere twee zijn daaraan scharnierend vastgemaakt. Je ziet meteen dat er alleen een driehoek gemaakt kan worden als die twee elkaar ontmoeten, en dat is zo als ze samen langer zijn dan de bodemzijde, anders klapt de zaak in elkaar.
Maar Euclides accepteerde natuurlijk zo'n bewijs niet. Het moest netter, formeler en preciezer.
Dat was niet iedereen met hem eens natuurlijk. Sommigen dachten "wat een gekkigheid, waar is dat nou in vredesnaam voor nodig?"
Commentator Proclus schreef:
De EpicuriŽrs maken dit theorema belachelijk. Ze zeggen dat zelfs een ezel dit kan inzien en dus is er geen bewijs voor nodig. Het is het kenmerk van een domme man, zeggen zij, om daar toch een bewijs voor te vragen.
(...) Dat zelfs een ezel dit kan inzien is duidelijk als je stro in het ene hoekpunt legt en de ezel in het andere zet. Hij zal de weg langs de ene zijde kiezen en niet langs beide anderen...

Maar Euclides trok zich daar niets van aan natuurlijk.
Hij bewees de driehoeksongelijkheid vanuit zijn axioma's:

Propositie 5  van de elementen bewijst dat de basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk zijn. Daarvoor gebruikte hij een soort brugachtige figuur, en deze propositie heet daarom ook de pons asinorum (brug van de dommen; domme mensen zouden dit niet snappen en deze "brug" niet over kunnen steken om het beloofde land van de rest van de proposities binnen te treden).

Propositie 16 laat zien dat de buitenhoek van een driehoek groter is dan beide inwendige hoeken ertegen over.
In de figuur hiernaast betekent dat, dat  d groter is dan a en ook groter dan b.
Dit was de eerste ongelijkheid die in de Elementen voorkwam.
Propositie 19 zegt dat tegenover de grotere hoek ook de grotere zijde ligt. In de figuur hiernaast betekent dat, dat als b > a dat dan ook AC > BC dus  a > b
Ga uit van b > a.  Euclides beschouwde nu alle drie de mogelijkheden:

1. Stel b = a
Dan is de driehoek gelijkbenig, en propositie 16 zegt dat de basishoeken gelijk zijn. Dat is in tegenspraak met b > a  dus kan niet gelden b = a.
2. Stel dat b < a.
Als AC < BC dan kunnen we punt D op CB vinden zodat CD = b
Dan geldt:
b = binnenhoek van ABD
b<d buitenhoek van ABD: propositie 16
d = DAC want ADC is gelijkbenig
d = DAC < a  het geheel is groter dan het deel
b < a
Maar dat is in tegenspraak met b > a  dus kan niet gelden b < a

3.  Aangezien beide vorige gevallen onmogelijk zijn, blijft als enige mogelijkheid over dat  b > a
Propositie 20 is dan eindelijk de driehoeksongelijkheid. Die zegt dat twee willekeurige zijden van een driehoek samen altijd langer zijn dan de derde zijde. Ofwel:  b + c > a
Verleng in driehoek ABC zijde BC naar D zodat BD = AB = c
Dan is  CD = CB + BD = a + c
CAD  > BAD   (want het geheel is groter dan het deel)
BAD = BDA = CDA
In driehoek ADC is dus CAD > CDA
Maar tegenover de grotere hoek ligt ook de grotere zijde (propositie 19)
Dus is  CD > AC  ofwel  a + c > b

En daarmee is de driehoeksongelijkheid bewezen.