Als je een toets aanslaat op de piano, dan zorgt dat ervoor dat er een snaar gaat trillen. De snelheid van die trilling bepaalt de toon die je hoort.
De snelheid waarmee een snaar trilt, noemen we de frequentie. De frequentie is het aantal trillingen per seconde en heeft Hertz (Hz) als eenheid.

Bij de linker toon A in de figuur hoort een frequentie van 440 Hz.

3p.

1.

Bereken hoeveel seconden één trilling die bij deze toon A hoort, duurt. Geef je antwoord in vier decimalen.

Op de meeste moderne piano's is de laagste toon een A met een frequentie van 27,5 Hz. De hoogste A heeft een frequentie van 3520 Hz.

4p.

2.

Twee opeenvolgende C's in de figuur vormen samen een octaaf van C. Voor twee opeenvolgende C's geldt dat de frequentie van de rechter C twee keer zo groot is als die van de linker C, oftewel: de verhouding van hun frequenties is 2 :1.

Bij het stemmen van een piano wordt ervoor gezorgd dat de verhouding van de frequenties van twee opeenvolgende tonen in een serie als C-1-D-2-E-F-3-G-4-A-5-B-C precies gelijk is. Zie de figuur.

3p.

3.

In de praktijk is het werken met deze frequentieverhoudingen niet zo handig. Daarom wordt meestal de zogenaamde toonafstand (TA) gebruikt. De eenheid van de toonafstand is cent.

De waarde van a in de formule is zó gekozen dat de toonafstand tussen twee opeenvolgende tonen precies gelijk is aan 100 cent.

Als je uitgaat van het hierboven genoemde getal 1,0595 en daarmee a berekent, dan moet, afgerond op één decimaal, gelden: a = 3983,9.

3p.

4.

De toonafstand tussen twee tonen waar één toon tussen zit, is bij een gestemde piano 200 cent. Zitten er twee tonen tussen, dan is de toonafstand 300 cent, enzovoort.
Als je op een piano meer toetsen tegelijk aanslaat, krijg je een samengestelde klank.
Zo kun je een F en de rechts ervan gelegen A tegelijk aanslaan: zie de figuur hiernaast.

De frequentieverhouding van de tonen in deze samengestelde klank is volgens de muziektheorie gelijk aan 5 : 4 .
Met deze verhouding kun je een toonafstand berekenen volgens de muziektheorie. Je kunt de toonafstand ook berekenen door uit te gaan van het idee dat bij een gestemde piano tussen elke twee opeenvolgende tonen 100 cent zit.Op een gestemde piano wijkt de toonafstand (TA) van de bovenvermelde (uit F en A) samengestelde klank iets af van de toonafstand die volgens de muziektheorie moet gelden.

4p.

5.

Bereken hoeveel cent deze afwijking bedraagt. Geef je antwoord als een geheel getal.

Bij een van de modellen kan een klant kiezen voor een kleine dakopbouw die, als er nog ruimte is op het platte dak, later eventueel uit te breiden is. In onderstaande figuur links zie je de plattegrond van deze dakopbouw met een buitenterras vóór de uitbreiding. In de figuur rechts zie je de plattegrond met een buitenterras ná de uitbreiding. In deze figuren staan ook oppervlaktes vermeld. De dakopbouw heeft overal een binnenhoogte van 2,60 meter, zowel voor als na de uitbreiding.

Door de uitbreiding veranderen de oppervlaktes van douche en trapgat niet.

3p.

6.

Bereken met hoeveel m³ de inhoud van het binnengedeelte van de dakopbouw toeneemt bij de uitbreiding.

In de figuur hieronder zie je een perspectieftekening van een ander basismodel. In deze figuur zie je dat de lengte van de staande balk van dit basismodel 2,90 meter is.

Voor het in deze figuur gekozen perspectief – waarbij de horizon horizontaal loopt – heeft men in het computerprogramma een denkbeeldig punt aan moeten geven van waaruit het perspectief getekend moest worden.

4p.

7.

Bereken met behulp van de figuur op welke hoogte dit denkbeeldige punt gekozen is. Geef je antwoord in gehele meters.

De dakopbouw is dus naar wens aan te passen. Een potentiële klant wil een beeld krijgen hoe de dakopbouw eruit zou zien als het basismodel van de figuur hierboven wordt uitgebreid met een piramidevormig dak. Dit piramidevormige dak wordt op de donkergrijze dakrand boven de kamer geplaatst waardoor de hele dakopbouw anderhalf keer zo hoog wordt. De top T van het piramidevormige dak komt precies boven het midden van het huidige dak van de opbouw.

5p.

8.

Teken de top T en daarna de rest van het piramidevormige dak in de figuur. Licht je werkwijze toe.

Veel mensen hebben weleens de boom van Pythagoras gezien. Deze boom bestaat uit vierkanten en gelijkbenige rechthoekige driehoeken. In de volgende  figuur staat het begin van zo’n boom en in de figuur daaronder een door (twee) leerlingen verder uitgewerkte tekening van die boom.

Je kunt aantonen dat de oppervlaktes van de vierkanten in elke volgende stap half zo groot worden. Anders gezegd: je kunt aantonen dat, als we de oppervlakte van een vierkant a² noemen, de oppervlakte van het vierkant in de volgende stap ¹/₂a² is.

3p.

9.

Een gevolg hiervan is dat de lengte d van de diagonaal in het vierkant in de volgende stap precies gelijk is aan de hoogte a van het vierkant in de vorige stap. Zie de figuur hiernaast.

Hans wil ook een boom van Pythagoras tekenen en begint in het midden van de onderkant van zijn papier met een onderste vierkant van 10 cm bij 10 cm. Hij heeft een vel papier met afmetingen 420 mm bij 594 mm tot zijn beschikking. Hij vraagt zich af of hij wel tot en met stap 5 kan komen met zijn boom. Hij zorgt ervoor dat de zijde van 594 mm de onderkant van zijn tekenpapier is.

4p.

10.

Onderzoek met een berekening of de hoogte van deze boom van Pythagoras tot en met stap 5 op dit vel past.

De lengtes van de zijden van de opeenvolgende vierkanten vormen een rij waarin elk volgend getal met een vaste factor vermenigvuldigd wordt.
Fleur gaat een boom van Pythagoras tekenen. Haar tekenpapier is groot genoeg voor heel veel stappen. Ze begint met een vierkant van 13 cm bij 13 cm. Ze kan geen vierkantje tekenen met een zijde die kleiner dan 1 mm is.

4p.

11.

Bij het tekenen van een boom van Pythagoras wordt het aantal nieuwe vierkanten A bij elke volgende stap verdubbeld. Vandaar dat geldt  A_n = 2ⁿ  met A₀ = 1 waarbij n het stapnummer is.

Om te bepalen wat het totale aantal getekende vierkantjes tot en met een bepaalde stap n is, kun je een somformule S_n gebruiken.
Als je de getallen uit de rij   b,  br, br², br³,…, brⁿ  op wilt tellen, geldt de somformule die hoort bij een exponentieel verband:

4p.

12.

Bereken bij welke stap het totale aantal vierkantjes voor het eerst meer dan 2000 is.

Een variant van die puzzel is de volgende:

Deze lastige puzzel is op te lossen met behulp van logisch redeneren. We spreken daarvoor de volgende notaties af:

A(oktober) betekent ‘Carina heeft tegen Amir gezegd dat ze in de maand oktober jarig is’.

B(22) betekent: ‘Carina heeft tegen Bob gezegd dat ze op de 22^e jarig is’.

In deze notatie kun je bijvoorbeeld schrijven:   C(20 september) ⇒ (A(september) ∧ B(20))

2p.

13.

Hieruit kun je concluderen dat Carina in november of december jarig is.

3p.

14.

Bob weet dus in eerste instantie niet wanneer Carina jarig is. Je kunt alle mogelijkheden die er voor hem zijn, weergeven in de afgesproken notatie.
Omdat inmiddels bekend is dat Carina in november of december jarig is, kunnen we ons beperken tot de dagen die in november en december vóórkomen. Het lijstje met data ziet er nu dus als volgt uit:

Door deze vier logische uitdrukkingen te combineren met het gegeven dat Carina in november of december jarig is én het feit dat Bob haar verjaardag weet dankzij dit gegeven, kun je concluderen dat Carina niet op de 19^e jarig is.

Eén van die logische uitdrukkingen is:  B(20) ⇒ C(20 december)

4p.

15.

Schrijf voor de andere drie dagen die vóórkomen in de maanden november en december ook zo'n logische uitdrukking op en leg uit hoe je aan de conclusie komt dat Carina niet op de 19^e jarig is.

Blijkbaar is dit genoeg informatie voor Amir om erachter te komen wanneer Carina jarig is.

3p.

16.

In onderstaande figuur zijn alle metingen vanaf 1 januari 2015 om 0:00 uur tot en met 31 mei 2017 om 23:00 uur weergegeven

2p.

17.

Als de bodemdaling onveranderd doorgaat, zal de hoogte van de GPSantenne in de toekomst lager dan 47 meter zijn.

5p.

18.

Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven trendlijn voor het eerst zal zijn.

Het gebied waar sprake is van bodemdaling wordt het dalingsgebied genoemd. In het midden van het dalingsgebied, nabij Ten Post, is de bodemdaling het grootst. Tot 2013 was de bodem daar al 32 centimeter gedaald. De bodemdaling is niet overal even groot. Het gebied waar de bodem ten minste 30 centimeter is gedaald, is bij benadering cirkelvormig. Zie  de figuur linksonder. In de figuur rechtsonder is bovendien de dwarsdoorsnede van de bodem door het laagste punt geschetst. Rondom het laagste punt heeft deze dwarsdoorsnede bij benadering de vorm van de grafiek van een kwadratisch verband, met andere woorden de vorm van een parabool.

We nemen nu aan dat het gebied waar de bodem ten minste 30 centimeter is gedaald cirkelvormig is. Verder nemen we aan dat de dwarsdoorsnede van de bodem rondom het midden van het dalingsgebied de vorm van een parabool heeft. De top van deze parabool komt overeen met het laagste punt van het dalingsgebied.

In 2013 was de straal van het cirkelvormige gebied gelijk aan 4 km en in het laagste punt was de bodem dus 32 centimeter gedaald. In de  figuur hiernaast is de parabool geschetst bij het model van de dwarsdoorsnede dat bij deze gegevens hoort.

De parabool bij het model voor 2013 kan beschreven worden met een formule van de vorm h = ax² + b . Hierin is x de afstand tot het midden van het dalingsgebied in kilometers en h is de daling van de bodem in centimeters.

4p.

19.

Voor 2080 wordt de parabool beschreven door de formule  h = 0,084x² + 47 . Hierin is x weer de afstand tot het midden van het dalingsgebied in kilometers en h is weer de daling van de bodem in centimeters.

Volgens de voorspellingen zal de oppervlakte van het gebied met een daling van ten minste 30 cm in 2080 een stuk groter zijn dan in 2013.

5p.

20.

Als gevolg van de bodemdaling vinden er in Groningen en omgeving aardbevingen plaats. In de tabel zie je hoe snel de aardbevingen elkaar in het jaar 1993 opvolgden.

Op basis van de tabel en de afzonderlijke lengtes van de kalendermaanden kunnen de volgende conclusies worden getrokken:

De tweede en vierde aardbeving in 1993 kunnen in één kalendermaand plaatsgevonden hebben.

De eerste aardbeving in 1993 werd voorafgegaan door minstens één aardbevingsvrije kalendermaand.

4p.

21.

aantal metingen is dan 882 • 24 = 21168