VWO WC, 2018 - II    Bezem.

 

Wasdrogers.
       

Een wasdroger droogt wasgoed door middel van warme lucht. De meeste wasdrogers gebruiken elektriciteit als energiebron. Voor elektrische apparaten zijn zogenoemde energielabels ingevoerd: deze geven aan hoe zuinig een apparaat is met energie. De energielabels hebben de letters A tot en met G: A betekent zeer zuinig, G zeer onzuinig.
Op de website van een milieuorganisatie worden verschillende wasdrogers met elkaar vergeleken. In onderstaande tabel staan gegevens van drie wasdrogers: een energiezuinige wasdroger met een A-label en twee veel verkochte “gewone” wasdrogers met een C-label. De jaarkosten van een wasdroger zijn de kosten voor het energieverbruik plus de afschrijving. De afschrijving is de waardevermindering van de wasdroger. Bij de berekening van de jaarkosten is men in de tabel  uitgegaan van de volgende veronderstellingen:

-  Een kilowattuur (kWh) elektriciteit kost € 0,22.
-  Per jaar wordt elke wasdroger voor 210 droogbeurten gebruikt.
-  Alle wasdrogers hebben een levensduur van 10 jaar.
-  De afschrijving is elk jaar 1/10 van de aanschafprijs.
       
wasdroger prijs energieverbruik in
kWh per droogbeurt
(5 kg wasgoed)		 jaarkosten (inclusief
afschrijving)
wasdroger 1 -
warmtepompdroger
met A-label		 960 € 1,70 175
wasdroger 2
luchtafvoerdroger
met C-lavel		 400 € 3,25 190
wasdroger 3
condensdroger
met C-lanel		 500 € 3,65 .....
       

Wasdroger 1 (met het A-label) is duurder in aanschaf, maar zuiniger in energieverbruik en gerekend over de hele periode van 10 jaar voordeliger.
Dit is te zien aan de jaarkosten, die voor deze wasdroger lager zijn.
In de tabel zijn de jaarkosten voor wasdroger 3 niet ingevuld.
       

3p.

1.

 Bereken deze jaarkosten.
       

In de tabel is gerekend met 210 droogbeurten per jaar. Om de jaarkosten te berekenen voor een willekeurig aantal droogbeurten per jaar, kan men voor de eerste wasdroger de volgende formule opstellen:

K = 96 + 0,374d

Hierin is K de jaarkosten en d het aantal droogbeurten per jaar.

Bij deze formule is men weer uitgegaan van een elektriciteitsprijs van €0,22 per kilowattuur en een levensduur van de wasdroger van 10 jaar. Bij deze formule gaat men dus uit van een jaarlijkse afschrijving van 1/10 van de aanschafprijs.

We gaan nu uit van een levensduur van 12 jaar, een jaarlijkse afschrijving van 1/12 van de aanschafprijs en een elektriciteitsprijs van € 0,26 per kilowattuur. Hierdoor verandert de formule voor K.
       

3p.

2.

 Geef de nieuwe formule voor K in deze situatie. Licht je antwoord toe.
       

Op de lange duur is een energiezuinige wasdroger voordeliger, maar de aanschafprijs is hoger. In dit verband wordt het begrip “terugverdientijd” gebruikt. Hiervoor vergelijkt men een energiezuinige wasdroger met een “gewone” wasdroger: een bepaald type veel verkochte wasdroger met C-label. De terugverdientijd is de periode die het duurt voordat de hogere aanschafprijs van deze energiezuinige wasdroger ten opzichte van de “gewone” wasdroger is terugverdiend via besparing op de energiekosten.

In onderstaande tabel wordt een bepaalde wasdroger met een A-label vergeleken met een “gewone” wasdroger met C-label.
       
type wasdroger prijs energieverbruik
in kWh per
droogbeurt		 aantal
droog-
beurten
per jaar		 electriciteits-
prijs (euro
per kWh)		 terugverdientijd
ten opzichte
van wasdroger
met C-label
energiezuinige
wasdroger
(A - label)		 € 950 1,75 210 0,22 8 jaar
"gewone"
wasdroger
(C - label)		 € 375 3,35 210 0,22 ....
       

De terugverdientijd van de energiezuinige wasdroger is in deze situatie bijna 8 jaar.
       

4p.

3.

 Toon dit aan.
       

De meeste mensen vinden een terugverdientijd van 8 jaar te lang en zullen daarom deze energiezuinige wasdroger niet kopen. Een terugverdientijd van 4 jaar wordt wel acceptabel gevonden.
Een terugverdientijd van 4 jaar kan bereikt worden als de aanschafprijs van de energiezuinige wasdroger in de tabel niet €950 zou zijn, maar lager.
       

4p.

4.

 Bereken wat deze aanschafprijs dan zou moeten zijn.
       
Asperges.
       

Vooral in Zuid-Nederland worden asperges als groente geteeld. Uit aspergezaad groeien aspergeplanten en als deze voldoende gegroeid zijn, worden de asperges geoogst.

De prijs van het zaad is € 4500 per kg. Per hectare groeien ongeveer 20000 aspergeplanten. Hiervoor is ongeveer 750 gram zaad nodig. Een aspergeplant levert in een oogstseizoen gemiddeld twintig asperges. In één kilo gaan gemiddeld tien asperges.
De gemiddelde opbrengst van één kilo asperges is € 4.

     

4p.

5.

Bereken het verschil van de gemiddelde opbrengst per hectare en de kosten voor het benodigde zaad.
       

De geoogste asperges worden op basis van kleur en dwarsdoorsnede gesorteerd. In deze opgave bekijken we witte asperges met een dwarsdoorsnede van 10 tot 38 mm. Een aspergeteler heeft in een week in mei 20 000 asperges geoogst en daarna gesorteerd. In de volgende tabel staan de aantallen per klasse weergegeven.
       
klasse dwarsdoorsnede
(in mm)		 frequentie
C1 10 - < 12 1600
B1 12 - < 16 4000
A1 16 - < 20 4500
AA1 20 - < 28 8800
AAA1 28 - < 38 1100
       

5p.

6.

Zet de gegevens uit deze tabel uit op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee aan dat de dwarsdoorsneden van de geoogste asperges van deze aspergeteler bij benadering normaal verdeeld zijn.
       

We nemen vanaf nu aan dat we de dwarsdoorsneden van asperges mogen benaderen met de normale verdeling met μ = 20,1 mm en σ = 5,6 mm. Zoals in de tabel te zien is, verdelen we de asperges in vijf klassen.
We kunnen nu het percentage asperges in klasse AA1 berekenen met behulp van de normale benadering, maar ook met behulp van de gegevens uit de tabel.
       

4p.

7.

Bereken deze beide percentages. Rond je antwoord af op hele percentages.
       

Op een ochtend oogst een andere aspergeteler 200 asperges. Neem weer aan dat de dwarsdoorsneden van asperges benaderd mogen worden met de normale verdeling met μ = 20,1 mm en σ = 5,6 mm.

       

5p.

8.

Bereken hoe groot de kans is dat er van de 200 geoogste asperges minstens 50 in klasse A1 zitten.
       
Topinkomens.
       

Op 17 mei 2008 stond in de Volkskrant een artikel waarin gesteld werd dat de salariskloof tussen topbestuurders en gewone werknemers in Nederland steeds groter wordt. Bij het artikel was een figuur afgedrukt waarin het gemiddelde van de 100 topinkomens en het modale inkomen in de periode 1983-2007 te zien waren. Zie onderstaande figuur. Alle bedragen in deze figuur zijn jaarinkomens in euro’s.
       

       

De Volkskrant stelt dat in de periode 1983-2007 de inkomens van topbestuurders elk jaar met gemiddeld 7,2% zijn gestegen. In de figuur staan geen gegevens over topinkomens in 1983 en 1984 omdat die toen nog niet openbaar waren.
In 1985 was het gemiddelde van de 100 topinkomens € 295000.

Uitgaande van het bedrag voor 1985 levert een gemiddelde groei van 7,2% per jaar inderdaad ongeveer het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens op zoals dit in de figuur bij 2007 af te lezen is.
       

4p.

9.

Bereken dit gemiddelde jaarsalaris en vergelijk je antwoord met het gemiddelde jaarsalaris dat in de figuur af te lezen is.
       

       

De kleine staafjes van het modale jaarinkomen uit de eerste figuur  zijn in bovenstaande figuur nogmaals weergegeven. Het modale jaarinkomen is een maat voor het salaris van de “gewone werknemer”: veel mensen verdienen een salaris dat rond dit bedrag ligt. In 1983 verdiende een topbestuurder uit de top-100 gemiddeld 16 keer zoveel als het modale inkomen en in 2007 gemiddeld 44 keer zoveel.
       

4p.

10.

Toon aan dat het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens in 2007 ongeveer 5 keer zo hoog was als in 1983.
       

Ook binnen de 100 topinkomens zijn nog grote verschillen. In 2004 was het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens € 910000. Het gemiddelde jaarsalaris van de 25 hoogste inkomens uit deze groep was € 1720000.
       

4p.

11.

Onderzoek of de 25 topbestuurders met de hoogste inkomens gemiddeld meer dan drie keer zoveel verdienen als het gemiddelde van de rest van de bestuurders uit deze top-100.
       

Op de website van de Volkskrant kan iemand laten berekenen hoeveel hij zou verdienen als zijn salaris de afgelopen 25 jaar evenveel gestegen was als dat van topbestuurders. Op de website staat de onderstaande tekst:
       

Hoe hoog zou jouw topsalaris moeten zijn? Kruip in de huid van een topbestuurder en doe net alsof je salaris in de afgelopen 25 jaar even hard opliep als het inkomen van de hoogste baas. Vul je huidige salaris in en zie wat je eigenlijk had moeten verdienen. Voor het gemak is ervan uitgegaan dat je er de afgelopen 25 jaar net als Jan Modaal maar 2,3 procent per jaar aan salarisverhoging bij hebt gekregen, terwijl Jan Top er jaarlijks 7 procent op vooruitging.
       
Iemand vult voor zijn huidige salaris € 2000 in.
       

4p.

12.

 Bereken het salaris dat de website als uitkomst geeft.
       
Zuivere dobbelsteen ?
       

Op de foto zie je twee ronde dobbelstenen. Op deze dobbelstenen staan aantallen ogen van 1 tot en met 6, net als op gewone dobbelstenen.

Een ronde dobbelsteen is hol met binnenin een stalen kogeltje. Bij elk getal zit in de holle binnenkant een soort kuiltje waar het kogeltje in past. Aan het einde van een worp komt het kogeltje in zo’n kuiltje terecht. Hierdoor blijft de dobbelsteen liggen, bijvoorbeeld met de vier onder en de drie boven: er is dan drie gegooid.

       

Iemand vraagt zich af of een ronde dobbelstenen wel zuiver is, dat wil zeggen of voor elk aantal ogen de kans om dat aantal te gooien precies gelijk is aan 1/6 . Om dit te onderzoeken gooit hij 200 keer met een ronde dobbelsteen. De resultaten staan in de volgende tabel.
       
aantal ogen 1 2 3 4 5 6 totaal
aantal keren gegooid 43 31 25 26 35 40 200
       

Er is slechts 25 keer drie gegooid. Dit is minder dan het aantal keren drie dat verwacht mag worden als de kans op drie precies 1/6 is.
       

3p.

13.

 Bereken hoeveel procent minder dit is.
       

Er is 25 keer drie gegooid. Als we aannemen dat de ronde dobbelsteen zuiver is, dus dat de kans op drie precies 1/6 is, kunnen we berekenen hoe uitzonderlijk dit resultaat is.
       

3p.

14.

Bereken de kans om bij 200 worpen met een zuivere dobbelsteen 25 of minder keer drie te gooien.
       

Om te onderzoeken of een dobbelsteen zuiver is of niet, is het beter om meer dan 200 keer te gooien. Dit wordt geïllustreerd door de volgende figuur. In deze figuur is het resultaat te zien van een aantal simulaties van het gooien met een zuivere dobbelsteen. Er werd hierbij alleen gekeken naar het aantal drieën.
       

       

Elk cirkeltje stelt het resultaat van een simulatie voor. Langs de horizontale as is het aantal worpen bij een simulatie uitgezet op een logaritmische schaalverdeling. Langs de verticale as staat de relatieve frequentie van het aantal drieën dat hierbij gegooid is. In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat bij de simulatie van 10 worpen de relatieve frequentie 0,1 is: er is precies één keer een drie gegooid.

Bij een simulatie van 60 worpen is 4 keer een drie gegooid.
       

3p.

15.

Teken het punt dat bij deze simulatie hoort in de figuur. Licht je werkwijze toe.
       

In deze figuur is de verwachte relatieve frequentie aangegeven met een horizontale lijn op een hoogte van ongeveer 0,167. Dit komt overeen met kans 1/6 . Het punt dat hoort bij de simulatie van 200 worpen ligt dichter bij deze horizontale lijn dan het punt dat hoort bij de simulatie van 30 worpen. Bij de simulatie van 200 worpen is het verschil tussen de verwachte en de werkelijke relatieve frequentie dus kleiner.

We kunnen ook kijken naar de verschillen bij het aantal geworpen drieën.
Uit de  figuur volgt dat er bij een simulatie van 30 worpen 3 keer een drie gegooid is. Het verschil met het verwachte aantal geworpen drieën is 2.
Rik beweert dat het verschil tussen het werkelijke en het verwachte aantal geworpen drieën bij de simulatie van 200 worpen kleiner dan 2 is.
       

4p.

16.

 Onderzoek of Rik gelijk heeft.
       
       
Diskos van Phaistos
       

In 1908 werd bij opgravingen op het Griekse eiland Kreta een bijzondere ontdekking gedaan. De Italiaanse archeoloog Luigi Pernier groef uit een paleis in de stad Phaistos een schijf van aardewerk op, aan weerszijden bedrukt met mysterieuze tekens. Deze schijf, de zogenaamde ‘Diskos van Phaistos’, is omgeven met raadsels. Waar komt hij vandaan, hoe oud is hij en wat betekenen de mysterieuze tekens die erop staan?
       

       

Hierboven zie je een foto van de Diskos. Op deze foto is de diameter van de Diskos (zie de pijl) ongeveer 5,5 cm. In werkelijkheid is de diameter ongeveer 2,9 keer zo groot.
We nemen aan dat de Diskos cirkelvormig is. Voor de oppervlakte van de Diskos geldt dan de volgende formule:

oppervlakte ≈ 0,785 • d2

Hierin is d de diameter. De werkelijke oppervlakte van de Diskos is meer dan acht keer zo groot als de oppervlakte van de schijf op de foto.
       

3p.

17.

 Laat dit zien met behulp van een berekening.
       

In de wiskunde wordt voor de oppervlakte van een cirkel meestal niet de formule oppervlakte ≈ 0,785 • d2 gebruikt, maar de formule oppervlakte = π • r2 .
Hierbij is r de straal van de cirkel.
De formule oppervlakte = π • r2 kun je herleiden tot oppervlakte ≈ 0,785 • d2 door gebruik te maken van het volgende:
- π ≈ 3,14
- De straal van een cirkel is de helft van de diameter.
       

3p.

18.

Laat zien hoe je de formule oppervlakte = π • r2 kunt herleiden tot de formule oppervlakte ≈ 0,785 • d2.
       

Datering

Regelmatig hebben critici zich afgevraagd of de Diskos wel echt is. Met name aan de leeftijd wordt getwijfeld. Een bekende methode om de ouderdom van voorwerpen van aardewerk te bepalen is thermoluminescentie (TL). Bij TL moeten (liefst op een onzichtbare plaats) een aantal kleine cilindertjes uit het aardewerk geboord worden.
Dit uitgeboorde materiaal wordt langzaam verhit tot 500 graden Celcius.
Hierbij zendt het materiaal een lichtsignaaltje uit dat gemeten wordt: het TL-signaal. Hoe ouder het aardewerk, hoe sterker het TL-signaal.
Er geldt de volgende formule voor de ouderdom in jaren:

ouderdom = c • TL

Hierbij is TL het gemeten TL-signaal en c een getal dat onder andere afhangt van de plaats waar het aardewerk is gevonden.

Stel dat voor de Diskos TL = 2660 gemeten wordt. Voor een potscherf, die in hetzelfde paleis als de Diskos is gevonden, is gemeten TL =1580. Voor deze potscherf geldt dezelfde waarde van c in de formule als voor de Diskos. Op grond van andere informatie weet men dat deze potscherf ongeveer 2200 jaar oud is.
       

4p.

19.

Bereken met behulp van bovenstaande gegevens hoe oud de Diskos dan is.
       

Betekenis

Volgens de archeoloog Peter Aleff vormen de tekens op de Diskos een bordspel. Volgens hem speelde men er een spel mee door pionnen in een vaste richting over de schijf te laten lopen. Het aantal tekens dat je verder mocht, werd bepaald door het gooien met een gewone, zeszijdige dobbelsteen. Gooide je 1, dan mocht je één teken verder, gooide je 2 dan twee tekens enzovoort.

De tekens op de Diskos zijn verdeeld in vakken. Deze vakken vormen een spiraal die van buiten naar binnen gaat. In vak 1 staan vijf tekens, in vak 2 drie tekens, in vak 3 drie. Zie onderstaande figuur.

In deze figuur zie je het eerste gedeelte van de baan aan één kant van de Diskos. Het spel wordt gespeeld van rechts naar links. Het is bij dit spel niet mogelijk dat je terug wordt gezet.
       

       

We spelen een spel op de Diskos volgens de regels die Peter Aleff beschrijft. Er staat een pion op het eerste teken en er wordt met de dobbelsteen ‘drie’ gegooid. De pion komt dus op het teken ‘lopend mannetje’ in vak 1 terecht.
       

5p.

20.

Bereken de kans dat de pion gedurende de rest van het spel niet in vak 2 terecht komt.
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. het energieverbruik per beurt kost  0,22 • 3,65 = € 0,803
in een jaar zijn er 210 beurten, dus dat kost 210 • 0,803 = € 168,63
de afschrijving in een jaar is  1/10 van  € 500 dus dat is € 50
totale kosten  168,63 + 50 = € 218,63
   
2. de afschrijving per jaar is  1/12 • 960 = € 80
een beurt kost 1,70 • 0,26 = € 0,442
bij d droogbeurten zijn de kosten dus  K = 80 + 0,442d
   
3. het verschil in aanschafprijs is  950 - 375 = 575
een droogbeurt bij de ene machine kost 3,35 • 0,22 = €0,737
een droogbeurt bij de andere machine kost 1,75 • 0,22 = 0,385
Dat scheelt per droogbeurt dus  0,737 - 0,385 = €0,352
Er moet 575 euro worden terugverdiend, dus dat kost 575/0,352 = 1634 droogbeurten.
Met 210 droogbeurten per jaar is dat  1634/210 = 7,7.... jaar.
   
4. 4 jaar betekent 4 • 210 = 840 droogbeurten.
per beurt wordt er €0,352 terugverdiend (zie vraag 3)
in totaal wordt er dus 840 • 0,352 = 295,68 terugverdiend dus zoveel mag de droger meer kosten.
Dan kost de droger 375 + 295,68 = € 670,68
   
5. opbrengst.
20000 planten met 20 asperges per plant betekent 20000 • 20 = 400000 asperges per ha.
dat is 400000/10 = 40000 kilo asperges.
dat levert 40000 • 4 = 160000 euro op.

kosten.
voor 1 ha is 750 gram zaad nodig, en dat is 0,75 kg.
Dat kost 0,75 • 4500 = 3375 euro

Het verschil tussen opbrengst en kosten is  160000 - 3375 = 156625 euro.
   
6.
klasse dwarsdoorsnede
(in mm)		 rechter-
klassengrens		 frequentie cumulatieve
frequentie		 relatieve
cumulatieve
frequentie
C1 10 - < 12 12 1600 1600 8%
B1 12 - < 16 16 4000 5600 28%
A1 16 - < 20 20 4500 10100 50,5%
AA1 20 - < 28 28 8800 18900 94,5%
AAA1 28 - < 38 38 1100 20000 100%
  De derde kolom op de x-as en de laatste op de y-as geeft een rechte lijn op normaal-waarschijnlijkheidspapier.
Dus de dwarsdoorsneden zijn bij benadering normaal verdeeld.
   
7. P(20 ≤ X <  28) =  normalcdf(20, 28, 20.1, 5.6) = 0,4279... =  43%

tabel:  8800 van de 20000 is 44%
   
8. de kans dat een asperge in klasse A1 zit is  normalcdf(16, 20, 20.1, 5.6) = 0,2608...

binomiale verdeling:  n = 200 en p = 0,2608...
P(X ≥ 50) = 1 - P(X ≤ 49) = 1 - binomcdf(200, 0.2608, 49) = 0,6623...
   
9. een groei van 7,2% betekent een groeifactor g = 1,072
de beginwaarde is 295000 en het gaat om een periode van 22 jaar.
Dan geldt  y = 295000 • 1,07222 = 1361781 dus ongeveer 1 360 000
Dat klopt redelijk met het salaris uit de figuur.
   
10. in 1983 was het modale salaris ongeveer 17000 dus het gemiddelde top-100 salaris 16 • 17000 = 272000
in 2007 was het modale slaris ongeveer 30000 dus het gemiddelde top-100 salaris 44 • 30000 = 1320000
Dat scheelt een factor 1320000/272000 = 4,8....
Dat is ongeveer 5 keer zo hoog.

(het kan natuurlijk ook met de groeifactor 1,072:   1,07224 = 5,3  dus ongeveer 5.  (Maar ja, waarom zouden dan al die gegevens over het modale inkomen in de opgave staan?)
   
11. 100 inkomens die gemiddeld 910000 zijn, betekent een totaal inkomen van 100 • 910000 = 91000000
de 25 hoogstens hebben gemiddeld 1720000 dus een gezamenlijk inkomen van 25 • 1720000 = 43000000
dan blijft er voor de andere 75 nog 91000000 - 43000000 = 48000000 over.
Gemiddeld is dat 48000000/75 = 640000
3 • 640000 = 1920000 en dat is meer dan 1720000 dus de hoogste 25 verdienden niet meer dan drie keer zoveel.
   
12. Het salaris is 25 jaar lang steeds gegroeid met een factor 1,023, en dat gaf een eindsalaris van 2000.
Dan geldt dus  2000 = B • 1,02325
2000 = B • 1,7655...
B = 2000/1,7655... = 1132,76
Als dat zou groeien met factor 1,07 dan zou het eindsalaris worden:   1132,76 • 1,0725 = 6148 euro
   
13. Je verwacht 1/6 • 200 = 331/3 keer een drie.
Dat scheelt  331/3 - 25 = 81/3  en dat is   8,33.../33,33.. • 100% = 25%
   
14. dit is binomiaal verdeeld  met n = 200  en p = 1/6
P(X ≤ 25) = binomcdf(200, 1/6, 25) = 0,0648
   
15.
  4 van de 60 is kans  4/60 = 0,067
zie de figuur.
   
16.

In de figuur kun je aflezen dat bij 200 worpen is de relatieve frequentie ongeveer 0,13 is
Dat betekent dat er 0,13 • 200 = 26 keer een drie is gegooid.
Het verwachte aantal was 331/3, dus dat scheelt 331/3 - 26 = 71/3
Dat is meer dan 2, dus Rik heeft geen gelijk.
   
17. de oppervlakte van de schijf op de foto is  0,785 • 5,52 = 23,74....cm2

de werkelijke diameter is 2,9 • 5,5 = 15,95.
invullen in de formule geeft oppervlakte  0,785 • 15,952 = 199,70 cm2 

dat scheelt een factor   199,70/23,74... = 8,4...
dat is meer dan acht keer zo groot.

OF
als de diameter met 2,9 wordt vermenigvuldigd, dan wordt de oppervlakte met 2,92 = 8,41 vermenigvuldigd en dat is meer dan acht keer zoveel.
   
18. vul  π ≈ 3,14 en  r = 0,5d  in in de oppervlakteformule:
oppervlakte ≈ 3,14 • (0,5d)2
oppervlakte ≈ 3,14 • 0,52 • d2
oppervlakte ≈  0,785d2   
   
19.

Voor de potscherf geldt 2200 = c • 1580
Dat betekent dat  c = 2200/1580 = 1,3924....
Voor de Diskos geldt dan:  ouderdom = 1.3924... • 2660 = 3703,79...
De Diskos is dan ongeveer 3700 jaar oud

   
20. Er zijn twee manieren om NIET in vak 2 terecht te komen:

mogelijkheid 1:   in de tweede worp direct 5 of 6 te gooien. De kans daarop is  2/6.

mogelijkheid 2:  in de tweede worp 1 gooien, en in de derde worp 4, 5 of 6 gooien.
de kans daarop is  1/6 • 3/6

de totale kans om niet in vak 2 te komen is dan 2/6 + 1/6 • 3/6 = 5/12.