Nieuwe pagina 1

VWO WC, 2015 - II Pilot.

Lepelaars.

Een lepelaar is een vogel met een lepelvormige snavel die in Nederland onder andere op de Waddeneilanden voorkomt. Sommige lepelaars hebben ringen om hun poten, waardoor onderzoekers ze individueel kunnen volgen. De lepelaar op de foto is geringd volgens een oud systeem. Hierbij kreeg de lepelaar één grote ring om elke poot. Elk van deze twee ringen kon in acht kleuren voorkomen. Bovendien kreeg de lepelaar ook nog een kleine, zilverkleurige ring om één van zijn poten. Deze ring kon om de linker- of rechterpoot zitten en kon zowel boven als onder de gekleurde ring zitten.

3p.	1.	Bereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar met dit systeem geringd kon worden.

Vanaf 2007 is gekozen voor een nieuw systeem. Hierbij krijgt de lepelaar zes smallere ringen om, drie om elke poot. In het nieuwe systeem gelden de volgende regels:
-	één van de zes ringen is een zilverkleurige ring;
-	de andere vijf ringen kunnen voorkomen in acht andere kleuren, waarbij dezelfde kleur ook vaker gebruikt mag worden;
-	één van die vijf gekleurde ringen heeft een uitsteeksel, een 'vlag'.

4p.	2.	Bereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar volgens deze regels geringd kan worden.

Onderzoekers hebben op basis van waarnemingen modellen opgesteld voor het aantal lepelaars in Nederland. In de figuur zie je de aantallen lepelaars voor de Waddeneilanden en voor heel Nederland in de periode 1960-2040. De doorgetrokken grafiek is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden en de gestippelde grafiek voor het totale aantal lepelaars in Nederland.
Uit de figuur kun je aflezen dat het percentage van het totale aantal lepelaars in Nederland dat op de Waddeneilanden leeft, in de periode 1980 tot 2000 is toegenomen. Stel dat de aantallen lepelaars zich ontwikkelen volgens de grafieken.

3p.	3.	Onderzoek of het percentage van het totale aantal lepelaars dat op de Waddeneilanden leeft in 2040 groter is dan dat in 2010.

In de periode 1980-2000 groeide het aantal lepelaars op de Waddeneilanden bij benadering exponentieel. In 1980 waren er ongeveer 200 lepelaars op de Waddeneilanden en in 2000 ongeveer 2100. Op basis van deze gegevens kun je een formule opstellen voor deze exponentiële groei. Met deze formule is het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in 2010 te voorspellen.

5p.	4.	Stel deze formule op en bereken het verschil tussen het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in 2010 volgens deze formule en volgens het model in de figuur. Rond je antwoord af op honderdtallen.

Het volgende model geeft een betere benadering voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden:



Volgens dit model zal het aantal lepelaars op de Waddeneilanden toenemen tot een grenswaarde.

3p.	5.	Beredeneer aan de hand van de formule hoe groot deze grenswaarde is.

Cijfers geven.

Bij proefwerken wordt het cijfer berekend op basis van een behaald aantal punten. Hiervoor bestaan verschillende methoden. Een methode is met behulp van tabellen, waaruit een proefwerkcijfer snel afgelezen kan worden. Hieronder zie je twee van dergelijke tabellen. Beide tabellen zijn niet helemaal volledig.

TABEL 1.

	Maximum aantal te behalen punten
aantal behaalde punten	8	9	10	11	12	13	14	15	16
0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
1	2,1	2,0	1,9	1,8	1,8	1,7	1,6	1,6	1,6
2	3,3	3,0	2,8	2,6	2,5	2,4	2,3	2,2	2,1
3	4,4	4,0	3,7	3,5	3,3	3,1	2,9	2,8	2,7
4	5,5	5,0	4,6	4,3	4,0	4,8	3,6	3,4	3,3
5	6,6	6,0	5,5	5,1	4,8	4,5	4,2	4,0	3,8
6	7,8	7,0	6,4	5,9	5,5	5,2	4,9	4,6	4,4
7	8,9	8,0	7,3	6,7	6,3	5,8	5,5	5,2	4,9
8	10	9,0	8,2	7,5	7,0	6,5	6,1	5,8	5,5
9		10	9,1	8,4	7,8	7,2	6,8	6,4	6,1
10			10	9,2	8,5	7,9	7,4	7,0	6,6
11				10	9,3	8,6	8,1	7,6	7,2
12					10	9,3	8,7	8,2	7,8
13						10	9,4	8,8
14							10	9,4	8,9
15								10	9,4
16									10

TABEL 2.

	Maximum aantal te behalen punten
aantal behaalde punten	30	31	32	33	34	35	36	37	38
0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
1	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,2	1,2
2	1,6	1,6	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
3	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,8	1,8	1,7	1,7
4	2,2	2,2	2,1	2,1	2,1	2,0	2,0	2,0	1,9
5	2,5	2,5	2,4	2,4	2,3	2,3	2,3	2,2	2,2
6	2,8	2,7	2,7	2,6	2,6	2,5	2,5	2,5	2,4
7	3,1	3,0	3,0	2,9	2,9	2,8	2,8	2,7	2,7
8	3,4	3,3	3,3	3,2	3,1	3,1	3,0	2,9	2,9
9	3,7	3,6	3,5	3,5	3,4	3,3	3,3	3,2	3,1
10	4,0	3,9	3,8	3,7	3,6	3,6	3,5	3,4	3,4
11	4,3	4,2	4,1	4,0	3,9	3,8	3,8	3,7	3,6
12	4,6	4,5	4,4	4,3	4,2	4,1	4,0	3,9	3,8
13	4,9	4,8	4,7	4,5	4,4	4,3	4,3	4,2	4,1
14	5,2	5,1	4,9	4,8	4,7	4,6	4,5	4,4	4,3
15	5,5	5,4	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8	4,6	4,6
16	5,8	5,6	5,5	5,4	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8
17	6,1	5,9	5,8	5,6	5,5	5,4	5,3	5,1	5,0
18	6,4	6,2	6,1	5,9	5,8	5,6	5,5	5,4	5,3
19	6,7	6,5	6,3	6,2	6,0	5,9	5,8	5,6	5,5
20	7,0	6,8	6,6	6,5	6,3	6,1	6,0	5,9	5,7
21	7,3	7,1	6,9	6,7	6,6	6,4	6,3	6,1	6,0
22	7,6	7,4	7,2	7,0	6,8	6,7	6,5	6,4	6,2
23
24

2p.

Hoeveel punten heeft Chris voor het tweede proefwerk behaald? Maak hiervoor gebruik van de tabellen. Licht je antwoord toe.

De berekening van de proefwerkcijfers in deze tabellen gaat als volgt:

bij het behalen van 0 punten is het cijfer gelijk aan 1;

bij het behalen van het maximale aantal punten is het cijfer gelijk aan 10;

het cijfer neemt lineair toe met het aantal behaalde punten;

daarna wordt het cijfer afgerond op één decimaal.

In tabel 1 ontbreekt in de laatste kolom één proefwerkcijfer.

3p.

Bereken dit proefwerkcijfer volgens de hierboven beschreven methode.

Bij vierkeuzevragen, waarbij steeds precies één van de vier antwoorden goed is, gaat het anders. Een leerling die geen enkel antwoord weet, zal naar verwachting een kwart van de vragen goed gokken. De berekening houdt daar rekening mee door ervan uit te gaan dat een kwart van de vragen goed beantwoord wordt. De overige antwoorden tellen mee voor de score. Daarbij wordt de methode van vraag 11 gebruikt. Bij minder dan een kwart van de antwoorden goed wordt het cijfer 1 toegekend.

Wanneer een leerling van de 40 vierkeuzevragen er 30 goed heeft, gaat het als volgt: 10 goede antwoorden (een kwart van de 40) worden weggelaten. Van de overgebleven 30 vragen heeft de leerling er 20 goed en dat levert volgens de hierboven genoemde procedure het cijfer 7,0 op.

Annette heeft een proefwerk gemaakt van 48 vierkeuzevragen.

4p.

Bereken hoeveel antwoorden Annette goed moet hebben om een 6,0 te krijgen.

Hieronder is een assenstelsel getekend. Langs de horizontale as staat het aantal goed beantwoorde vragen weergegeven dat hoort bij een proefwerk van 40 vierkeuzevragen. Langs de verticale as staat het proefwerkcijfer vermeld.

4p.

Teken de grafiek die bij deze situatie hoort.

De uitkomsten in de tabellen worden berekend door gebruik te maken van een formule. Voor andere situaties, bijvoorbeeld vijfkeuzevragen (waarbij dus telkens van vijf antwoorden er precies één goed is), kunnen we ook een formule opstellen om het cijfer C te berekenen aan de hand van het aantal goed beantwoorde vragen G.
We gaan uit van een proefwerk met 45 vijfkeuzevragen en veronderstellen dat iemand minstens het vijfde deel van de vragen goed beantwoord heeft. Voor het berekenen van het cijfer als iemand minstens het vijfde deel van de vragen goed beantwoord heeft, wordt de methode van vraag 11 gebruikt. Je kunt dan een lineair verband opstellen tussen C en G.

5p.

10.

Stel deze formule op en herleid het antwoord tot de vorm C = a · G + b.

Eén tegen honderd.

Eén tegen honderd is een populair televisiespelletje. Eén kandidaat speelt tegen 100 tegenspelers. Er wordt een vraag gesteld die eerst alle tegenspelers via een kastje beantwoorden. Daarna beantwoordt de kandidaat de vraag. Is zijn antwoord goed dan krijgt hij een bedrag voor elke tegenspeler die de vraag fout beantwoordde.
Deze tegenspelers doen daarna niet meer mee. Zij zijn 'weggespeeld'.
Het spel gaat verder met de overige spelers met de volgende ronde: er wordt weer een vraag gesteld. Dit gaat door tot de kandidaat een fout antwoord geeft of er geen tegenspelers meer over zijn.

Bij iedere vraag geldt het volgende: het bedrag dat per weggespeelde speler door de kandidaat tijdens de betreffende ronde gewonnen wordt, is gelijk aan € 50000 gedeeld door het aantal nog meespelende tegenspelers. Dus als er nog 50 tegenspelers over zijn, is elke tegenspeler € 1000 waard. Zijn er dan 6 die het antwoord fout hebben, dan voegt de kandidaat € 6000 toe aan zijn totaalbedrag en speelt hij verder tegen de overige 44 spelers. Alle berekende bedragen worden voortdurend op gehele euro's afgerond. We gaan er in deze opgave van uit dat de kandidaat op alle vragen het goede antwoord weet en we zien af van andere regels van het spel.

4p.

11.

Bereken hoeveel een kandidaat in totaal wint als hij in vijf rondes elke keer 20 tegenspelers wegspeelt.

In een bepaalde spelsituatie zijn er nog vier tegenspelers over. Die kan onze kandidaat in één keer wegspelen. Hij kan ze ook één voor één wegspelen.
Het maakt voor het te winnen bedrag niet uit of er beurten tussen zitten waarbij geen tegenspelers worden weggespeeld. Zo levert 0-0-0-4 hetzelfde op als 0-4 en ook als 4. We noteren dat allemaal als 4.

Eén voor één wegspelen (1-1-1-1 dus) van deze vier tegenspelers levert veel meer op dan de vier spelers in één keer uitschakelen.

3p.

12.

Bereken dat verschil in opbrengst.

Er zijn nog meer mogelijkheden om ze weg te spelen dan deze 4 en 1-1-1-1. We gaan er daarbij van uit dat er in elke ronde minstens één tegenspeler wordt weggespeeld.

3p.

13.

Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er in totaal zijn om de laatste vier tegenspelers weg te spelen.

Het lukt de kandidaten niet vaak alle tegenstanders weg te spelen. Maar als ze winnen, blijken ze altijd minstens € 50000 te winnen (Dat dit bij het echte televisiespel niet altijd gebeurt, is een gevolg van de andere spelregels waar we in deze opgave dus geen rekening mee houden).

3p.

14.

Leg uit waarom een winnaar altijd minstens € 50000 wint.

Door per ronde steeds één speler weg te spelen, wint de kandidaat het maximale bedrag. In de tabel zie je hoe het totaalbedrag bij dit spelverloop oploopt. Ook hierbij zijn alle bedragen steeds tussentijds op hele euro’s afgerond.

ronde n	1	2	3	4	5	6
aantal spelers bij begin van ronde	100	99	98	...	...	...
waarde van de in deze ronde weggespeelde speler	500	505	510	...	...	...
totaalbedrag B_n na ronde n	500	1005	1515	...	...	...

3p.

15.

Bereken het totaalbedrag na ronde 6.

Tweelingbroers.

De tweelingbroers Tweedledee en Tweedledum zijn uiterlijk niet van elkaar te onderscheiden. Om de verwarring te vergroten, hebben ze de volgende afspraken met elkaar gemaakt:
1.	Op maandag, dinsdag en woensdag liegt Tweedledee bij elke vraag die hem gesteld wordt en op alle andere dagen spreekt hij de waarheid.
2.	Op donderdag, vrijdag en zaterdag liegt Tweedledum bij elke vraag die hem gesteld wordt en op alle andere dagen spreekt hij de waarheid.

We gaan ervan uit dat deze afspraken in deze gehele opgave gelden.



Op zekere dag ontmoet Alice de tweeling en vraagt elk van hen: "Hoe heet jij?" De ene tweelingbroer heeft een groene jas aan en zegt: "Tweedledee". De andere tweelingbroer heeft een rode jas aan en zegt: "Tweedledum".

5p.	16.	Onderzoek hoe de broer met de groene jas heet.



Elke tweelingbroer heeft altijd een zakdoek in zijn broekzak: als de ene tweelingbroer een rode zakdoek heeft, heeft de ander een zwarte en omgekeerd. Op zekere dag komt Alice de tweelingbroers tegen. Ze vraagt aan een van beiden: "Welke kleur zakdoek heb je?" Het antwoord van deze tweelingbroer luidt: "Zwart". Op verzoek van Alice laat hij de zakdoek zien. Deze blijkt rood te zijn. Daarop vraagt Alice aan de andere tweelingbroer: "Welke kleur zakdoek heb jij?"

4p.	17.	Welke kleur zal hij noemen? Leg duidelijk uit hoe je tot die conclusie komt.

Aanschuifwoningen.

De Amsterdamse architect Janjaap Ruijssenaars kwam in 2013 met een nieuw ontwerp voor in elkaar geschoven woningen. Zo'n eenheid van drie woningen ziet er in een maquette bijvoorbeeld uit zoals in onderstaande figuur. Elke woning heeft zijn eigen kleur.



Een eenheid bevat dus drie woningen. Hoe ze in elkaar geschoven zijn, kun je goed zien als ze uit elkaar geschoven worden. Zie de volgende figuur.



Elke woning bestaat uit drie delen: - een balk op de begane grond; - loodrecht daarop een balk op de eerste verdieping; - op de balk van de eerste verdieping een vierkant blok op de tweede verdieping. De richting van de balken op de begane grond ligt vast. Om ieders uitzicht op de tweede verdieping vrij te houden, staan er nooit twee of meer blokken op de tweede verdieping in één rij.

4p.	18.	Bereken op hoeveel manieren je onder deze voorwaarden een eenheid van drie woningen kunt samenstellen.

In de figuur is door middel van een pijl een kijkrichting aangegeven.

3p.	19.	Teken het aanzicht van de in de figuur getekende eenheid van drie woningen als je in de richting van de pijl kijkt. Gebruik de letters A, B en C om de verschillende woningen aan te geven.

De balken op de begane grond en op de eerste verdieping zijn 14600 mm lang en 4600 mm breed. De vierkante blokken op de tweede verdieping hebben zijden van 4600 mm. De hoogte van elke verdieping is 2800 mm. Alle genoemde afmetingen zijn binnenmaten.

4p.	20.	Bereken het volume van één woning in m³.

Hieronder is een begin getekend van de perspectieftekening van woning A. Het vierkante blok op de tweede verdieping en de balk op de begane grond zijn al getekend. Alleen de balk op de eerste verdieping is nog niet af. De perspectieftekening bekijkt woning A vanuit de richting die met de pijl 1 in bovenstaande figuur is aangegeven.



4p.	21.	Maak de perspectieftekening af.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

Voor de kleuren van de gekleurde ringen zijn er 8 • 8 = 64 mogelijkheden.
Voor de plaats van de metalen ring zijn er 4 mogelijkheden
In totaal geeft dat 64 • 4 = 256 mogelijkheden.

Voor de plaats van de zilverkleurige ring zijn er 6 mogelijkheden.
Voor de kleuren van de vijf gekleurde ringen zijn er 8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 32768 mogelijkheden
Voor de plaats van de vlag zijn er 5 mogelijkheden.
In totaal geeft dat 6 • 32768 • 5 = 983040 mogelijkheden.

(ongeveer aflezen:
2010: Waddeneilanden 2600, Nederland 4300: ²⁶⁰⁰/₄₃₀₀ • 100% = 60%
2040: Waddeneilanden 2800, Nederland 6200: ²⁸⁰⁰/₆₂₀₀ • 100% = 45%
Het percentage in 2040 is NIET groter dan het percentage in 2010.

Neem 1980 t = 0
Dan is de beginwaarde B = 200
Eindwaarde is 2100 in een periode van 20 jaar.
Dat geeft 2100 = 200 • g²⁰
g²⁰ = ²¹⁰⁰/₂₀₀ = 10,5
g = 10,5^1/20 = 1,1248
2010 is dan t = 30 en dat geeft 200 • 1,1248³⁰ = 6812 lepelaars
De grafiek in de figuur geeft ongeveer 2600 lepelaars, dus het verschil is 6812 - 2600 = 4212 lepelaars.
Dat is ongeveer 4200 lepelaars.

Als t heel groot wordt, dan wordt 0,834^t ongeveer nul.
Dan wordt de noemer van N ongeveer gelijk aan 1 + 0 = 1 (net ietsje groter)
Dan wordt N ongeveer gelijk aan 2780 (net ietsje kleiner)
De grenswaarde is dus 2780.

10 van de 16 punten voor het eerste proefwerk betekent dat hij een 6,6 haalde (tabel 1).
een 6,6 voor het tweede proefwerk betekent dat hij 21 punten haalde (tabel 2)

Het ontbrekende cijfer hoort bij 13 van de 16 punten.
Dat is ¹³/₁₆ deel van de punten
Dat betekent dat je 13/16 van de punten tussen 1 en 10 krijgt
¹³/₁₆ van 9 punten betekent 7,3 punten
Je cijfer is dan een 1 + 7,3 = 8,3

Van 48 vierkeuzevragen tellen er dus 12 niet mee.
Er zijn dus 36 vragen over.
In tabel 2 zie je dat je bij 36 punten voor een 6,0 een aantal van 20 goede antwoorden moet hebben
Samen met die 12 die niet meetellen zijn dat 20 + 12 = 32 goede antwoorden.

Van 0-10 punten heb je een 1,0
De grafiek gaat verder door (10, 1.0) en (40, 10.0)

10.

9 vragen tellen niet mee.
Bij 9 vragen goed heb je nog een 1,0 en bij 45 vragen goed heb je een 10.0
De grafiek is een rechte lijn door (9, 1) en (45, 10)
De helling is a = ^Δ^y/_Δ_x = ^{(10 - 1)}/_{(45 - 9)} = 0,25
De lijn gaat door (45, 10) dus 10 = 0,25 • 45 + b
10 = 11,25 + b
b = -1,25
De formule is C = 0,25 • G - 1,25

11.

eerste ronde: 20 spelers, elk ⁵⁰⁰⁰⁰/₁₀₀ = 500 waard, dus 20 • 500 = 10000
tweede ronde: 20 spelers, elk ⁵⁰⁰⁰⁰/₈₀ = 625 waard, dus 20 • 625 = 12500
derde ronde: 20 spelers, elk ⁵⁰⁰⁰⁰/₆₀ = 833 waard, dus 16660
in totaal 10000 + 12500 + 16660 = 114160 euro.

12.

in één keer: 4 spelers, elk 5000/4 = 12500 waard is samen 4 • 12500 = 50000

in 4 keer:
eerste speler: ⁵⁰⁰⁰⁰/₄ = 12500 waard
tweede speler: ⁵⁰⁰⁰⁰/₃ = 16667 waard
derde speler: ⁵⁰⁰⁰⁰/₂ = 25000 waard
vierde speler: 50000 waard
samen is dat 12500 + 16667 + 25000 + 50000 = 104167

het verschil is 104167 - 50000 = 54167 euro

13.

in een keer 4: 1 manier
3-1 en 1-3: twee manieren
2-2: 1 manier
2-1-1: 3 manieren
1-1-1-1: 1 manier
in totaal 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8 manieren.

14.

De laatste ronde levert altijd 50000 euro op!

15.

ronde n	1	2	3	4	5	6
aantal spelers bij begin van ronde	100	99	98	97	96	95
waarde van de in deze ronde weggespeelde speler	500	505	510	515	521	526
totaalbedrag B_n na ronde n	500	1005	1515	2030	2551	3077

Dus in totaal 3077 euro

16.

Als de één zou liegen en de ander de waarheid zou spreken zouden ze dezelfde naam zeggen (de één echt, de ander gelogen)
Ze zeggen verschillende namen, dus OF ze liegen beiden OF ze spreken beiden de waarheid.
Dat kan alleen op zondag.
Het is dus zondag en dus spreken beiden de waarheid.
Die met de groene jas heet dus inderdaad Tweedledee.

17.

De broer met de rode zakdoek heeft gelogen, dus het is NIET zondag.
Op alle andere dagen spreekt steeds één de waarheid en de ander liegt.
De andere broer zal dus nu de waarheid spreken.
Hij heeft een zwarte zakdoek en dus zal hij "zwart" zeggen.

18.

De begane grond bestaat uit drie balken op rij
Voor de eerste balk kun je uit drie kleuren kiezen, voor de tweede uit 2 kleuren en de laatste ligt dan vast.
In totaal zijn dat voor de begane grond 3 • 2 • 1 = 6 mogelijkheden.

Hetzelfde geldt voor de tweede verdieping. Weer zes mogelijkheden.

Voor de tweede verdieping zijn er voor de kubus van kleur 1 drie mogelijke plaatsen (op de balk van kleur 1 van de eerste verdieping).
Daarna zijn er voor de kubus van kleur 12 nog 2 plaatsen mogelijk (mag niet in de rij van kubus kleur 1)
Tenslotte ligt de plaats van kubus 3 vast.
Voor de tweede verdieping dus ook 3 • 2 • 1 = 6 mogelijkheden.

Voorde drie verdiepingen samen zijn dat 6 • 6 • 6 = 216 mogelijkheden.

19.

20.

Het volume van de begane grond en de verdieping 14,6 · 4,6 · 2,8 = 188,048 m³
Het volume van de tweede verdieping is 4,6 · 4,6 · 2,8 = 59,248 m³Samen is dat 2 • 188,048 + 59,248 = 435,344 m³

21.

Teken de blauwe lijnen om het verdwijnpunt V te vinden.
Trek die lijnen vanaf V door naar voren.
De plaats op die lijnen van de twee nieuwe blokken kun je vinden door de rode diagonalen te snijden met die lijnen.