Nieuwe pagina 1

VWO WC, 2015 - II

Lepelaars.

Een lepelaar is een vogel met een lepelvormige snavel die in Nederland onder andere op de Waddeneilanden voorkomt. Sommige lepelaars hebben ringen om hun poten, waardoor onderzoekers ze individueel kunnen volgen. De lepelaar op de foto is geringd volgens een oud systeem. Hierbij kreeg de lepelaar één grote ring om elke poot. Elk van deze twee ringen kon in acht kleuren voorkomen. Bovendien kreeg de lepelaar ook nog een kleine, zilverkleurige ring om één van zijn poten. Deze ring kon om de linker- of rechterpoot zitten en kon zowel boven als onder de gekleurde ring zitten.

3p.	1.	Bereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar met dit systeem geringd kon worden.

Vanaf 2007 is gekozen voor een nieuw systeem. Hierbij krijgt de lepelaar zes smallere ringen om, drie om elke poot. In het nieuwe systeem gelden de volgende regels:
-	één van de zes ringen is een zilverkleurige ring;
-	de andere vijf ringen kunnen voorkomen in acht andere kleuren, waarbij dezelfde kleur ook vaker gebruikt mag worden;
-	één van die vijf gekleurde ringen heeft een uitsteeksel, een 'vlag'.

4p.	2.	Bereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar volgens deze regels geringd kan worden.

Onderzoekers hebben op basis van waarnemingen modellen opgesteld voor het aantal lepelaars in Nederland. In de figuur zie je de aantallen lepelaars voor de Waddeneilanden en voor heel Nederland in de periode 1960-2040. De doorgetrokken grafiek is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden en de gestippelde grafiek voor het totale aantal lepelaars in Nederland.
Uit de figuur kun je aflezen dat het percentage van het totale aantal lepelaars in Nederland dat op de Waddeneilanden leeft, in de periode 1980 tot 2000 is toegenomen. Stel dat de aantallen lepelaars zich ontwikkelen volgens de grafieken.

3p.	3.	Onderzoek of het percentage van het totale aantal lepelaars dat op de Waddeneilanden leeft in 2040 groter is dan dat in 2010.

In de periode 1980-2000 groeide het aantal lepelaars op de Waddeneilanden bij benadering exponentieel. In 1980 waren er ongeveer 200 lepelaars op de Waddeneilanden en in 2000 ongeveer 2100. Op basis van deze gegevens kun je een formule opstellen voor deze exponentiële groei. Met deze formule is het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in 2010 te voorspellen.

5p.	4.	Stel deze formule op en bereken het verschil tussen het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in 2010 volgens deze formule en volgens het model in de figuur. Rond je antwoord af op honderdtallen.

Het volgende model geeft een betere benadering voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden:



Volgens dit model zal het aantal lepelaars op de Waddeneilanden toenemen tot een grenswaarde van 2780.

4p.	5.	Bereken in welk jaar het aantal lepelaars voor het eerst minder dan 5% van de grenswaarde verschilt.

Klimaatverandering.

Het KNMI rapporteert regelmatig over het klimaat in Nederland. De gegevens in deze opgave zijn afkomstig uit het rapport van 2008.

Het KNMI heeft de seizoenen (winter, lente, zomer, herfst) over de periode 1901-2007 op basis van de temperatuur een cijfer gegeven. Zie de volgende tabel.

categorie	cijfer
zeer koud	1
koud	2
normaal	3
warm	4
zeer warm	5

De cijfers voor het jaar 1918 staan in de volgende tabel.

jaar	winter	lente	zomer	herfst	jaarcijfer
1918	3	4	1	1	3

Elk jaar heeft van het KNMI ook een jaarcijfer J gekregen. Dit jaarcijfer staat in de laatste kolom van de tabel. G is het gemiddelde van de cijfers van de vier seizoenen (afgerond op een geheel getal). Het jaarcijfer J is niet altijd gelijk aan dit gemiddelde G. We noteren het verschil V met: V = G − J.

2p.

Bereken de waarde van V voor het jaar 1918.

In de volgende tabel staat van een aantal waarden van V hoe vaak ze voorgekomen zijn in de 107 jaar in de periode 1901-2007.

waarde van V	aantal jaren in de periode 1901 - 2007
-2
-1
0	56
1	33
2	4

Alle waarden van V opgeteld geeft 26.

4p.

Bereken met behulp van bovenstaande gegevens hoe vaak geldt V = − 2.

Een amateur-weerkundige veronderstelt op grond van het voorafgaande dat de kans dat in een willekeurig jaar G = J, gelijk is aan ⁵⁶/₁₀₇ .

3p.

Bereken hoe groot in dat geval de kans is dat in een willekeurige periode van 20 jaar G = J precies 11 keer voorkomt.

Algemeen gaat men ervan uit dat de jaartemperaturen zich gedragen volgens een normale verdeling. Het KNMI gaat uit van een model met een gemiddelde jaartemperatuur van 9,8 °C en een standaardafwijking van 0,6 °C.

3p.

Bereken de kans op een gemiddelde jaartemperatuur boven de 10,5 °C volgens dit model.

Cijfers geven.

Bij proefwerken wordt het cijfer berekend op basis van een behaald aantal punten. Hiervoor bestaan verschillende methoden. Een methode is met behulp van tabellen, waaruit een proefwerkcijfer snel afgelezen kan worden. Hieronder zie je twee van dergelijke tabellen. Beide tabellen zijn niet helemaal volledig.

TABEL 1.

	Maximum aantal te behalen punten
aantal behaalde punten	8	9	10	11	12	13	14	15	16
0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
1	2,1	2,0	1,9	1,8	1,8	1,7	1,6	1,6	1,6
2	3,3	3,0	2,8	2,6	2,5	2,4	2,3	2,2	2,1
3	4,4	4,0	3,7	3,5	3,3	3,1	2,9	2,8	2,7
4	5,5	5,0	4,6	4,3	4,0	4,8	3,6	3,4	3,3
5	6,6	6,0	5,5	5,1	4,8	4,5	4,2	4,0	3,8
6	7,8	7,0	6,4	5,9	5,5	5,2	4,9	4,6	4,4
7	8,9	8,0	7,3	6,7	6,3	5,8	5,5	5,2	4,9
8	10	9,0	8,2	7,5	7,0	6,5	6,1	5,8	5,5
9		10	9,1	8,4	7,8	7,2	6,8	6,4	6,1
10			10	9,2	8,5	7,9	7,4	7,0	6,6
11				10	9,3	8,6	8,1	7,6	7,2
12					10	9,3	8,7	8,2	7,8
13						10	9,4	8,8
14							10	9,4	8,9
15								10	9,4
16									10

TABEL 2.

	Maximum aantal te behalen punten
aantal behaalde punten	30	31	32	33	34	35	36	37	38
0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
1	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,2	1,2
2	1,6	1,6	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
3	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,8	1,8	1,7	1,7
4	2,2	2,2	2,1	2,1	2,1	2,0	2,0	2,0	1,9
5	2,5	2,5	2,4	2,4	2,3	2,3	2,3	2,2	2,2
6	2,8	2,7	2,7	2,6	2,6	2,5	2,5	2,5	2,4
7	3,1	3,0	3,0	2,9	2,9	2,8	2,8	2,7	2,7
8	3,4	3,3	3,3	3,2	3,1	3,1	3,0	2,9	2,9
9	3,7	3,6	3,5	3,5	3,4	3,3	3,3	3,2	3,1
10	4,0	3,9	3,8	3,7	3,6	3,6	3,5	3,4	3,4
11	4,3	4,2	4,1	4,0	3,9	3,8	3,8	3,7	3,6
12	4,6	4,5	4,4	4,3	4,2	4,1	4,0	3,9	3,8
13	4,9	4,8	4,7	4,5	4,4	4,3	4,3	4,2	4,1
14	5,2	5,1	4,9	4,8	4,7	4,6	4,5	4,4	4,3
15	5,5	5,4	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8	4,6	4,6
16	5,8	5,6	5,5	5,4	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8
17	6,1	5,9	5,8	5,6	5,5	5,4	5,3	5,1	5,0
18	6,4	6,2	6,1	5,9	5,8	5,6	5,5	5,4	5,3
19	6,7	6,5	6,3	6,2	6,0	5,9	5,8	5,6	5,5
20	7,0	6,8	6,6	6,5	6,3	6,1	6,0	5,9	5,7
21	7,3	7,1	6,9	6,7	6,6	6,4	6,3	6,1	6,0
22	7,6	7,4	7,2	7,0	6,8	6,7	6,5	6,4	6,2
23
24

2p.

10.

Hoeveel punten heeft Chris voor het tweede proefwerk behaald? Maak hiervoor gebruik van de tabellen. Licht je antwoord toe.

De berekening van de proefwerkcijfers in deze tabellen gaat als volgt:

bij het behalen van 0 punten is het cijfer gelijk aan 1;

bij het behalen van het maximale aantal punten is het cijfer gelijk aan 10;

het cijfer neemt lineair toe met het aantal behaalde punten;

daarna wordt het cijfer afgerond op één decimaal.

In tabel 1 ontbreekt in de laatste kolom één proefwerkcijfer.

3p.

11.

Bereken dit proefwerkcijfer volgens de hierboven beschreven methode.

Bij vierkeuzevragen, waarbij steeds precies één van de vier antwoorden goed is, gaat het anders. Een leerling die geen enkel antwoord weet, zal naar verwachting een kwart van de vragen goed gokken. De berekening houdt daar rekening mee door ervan uit te gaan dat een kwart van de vragen goed beantwoord wordt. De overige antwoorden tellen mee voor de score. Daarbij wordt de methode van vraag 11 gebruikt. Bij minder dan een kwart van de antwoorden goed wordt het cijfer 1 toegekend.

Wanneer een leerling van de 40 vierkeuzevragen er 30 goed heeft, gaat het als volgt: 10 goede antwoorden (een kwart van de 40) worden weggelaten. Van de overgebleven 30 vragen heeft de leerling er 20 goed en dat levert volgens de hierboven genoemde procedure het cijfer 7,0 op.

Annette heeft een proefwerk gemaakt van 48 vierkeuzevragen.

4p.

12.

Bereken hoeveel antwoorden Annette goed moet hebben om een 6,0 te krijgen.

Hieronder is een assenstelsel getekend. Langs de horizontale as staat het aantal goed beantwoorde vragen weergegeven dat hoort bij een proefwerk van 40 vierkeuzevragen. Langs de verticale as staat het proefwerkcijfer vermeld.

4p.

13.

Teken de grafiek die bij deze situatie hoort.

De uitkomsten in de tabellen worden berekend door gebruik te maken van een formule. Voor andere situaties, bijvoorbeeld vijfkeuzevragen (waarbij dus telkens van vijf antwoorden er precies één goed is), kunnen we ook een formule opstellen om het cijfer C te berekenen aan de hand van het aantal goed beantwoorde vragen G.
We gaan uit van een proefwerk met 45 vijfkeuzevragen en veronderstellen dat iemand minstens het vijfde deel van de vragen goed beantwoord heeft. Voor het berekenen van het cijfer als iemand minstens het vijfde deel van de vragen goed beantwoord heeft, wordt de methode van vraag 11 gebruikt. Je kunt dan een lineair verband opstellen tussen C en G.

5p.

14.

Stel deze formule op en herleid het antwoord tot de vorm C = a · G + b.

Rapido.

In Frankrijk kun je in sommige cafés het afbeelding kansspel Rapido spelen. Dit spel speel je door getallen aan te kruisen op een formulier. Zie de afbeelding. Van de bovenste 20 getallen (A) kruis je er 8 aan en van de onderste 4 getallen (B) kruis je er één aan.

Nadat de formulieren zijn ingeleverd, worden via een centraal systeem aselect 8 van de bovenste getallen als winnend aangewezen en wordt aselect één van de onderste getallen als winnend aangewezen.

Volgens de organisatie is de kans dat je alle negen getallen goed aankruist 2 op de miljoen.

4p.

15.

Laat zien dat deze kans (ongeveer) 0,000002 is.

In onderstaande tabel is aangegeven hoeveel euro je per ingezette euro uitbetaald krijgt en wat de bijbehorende kansen zijn.

Aantal goed in A	4	5	5	6	6	7	7	8	8
Aantal goed in B	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Uitbetaling per euro	1	2	6	10	30	50	150	1000	10000
Kans 1000000	68766	73351	24450	11003	3668	572	191	6	2

In deze tabel kun je bijvoorbeeld zien dat je met 6 cijfers in A goed en het cijfer in B goed 30 euro per ingelegde euro uitbetaald krijgt en dat de kans daarop gelijk is aan ³⁶⁶⁸/_1000000 = 0,003668.

4p.

16.

Bereken de winstverwachting per ingezette euro bij dit spel.

Volgens Wikipedia heeft een speler die 100 keer 1 euro inzet bij Rapido een kans van 0,42% om daarbij precies vijf keer 10 euro uitbetaald te krijgen.

3p.

17.

Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

Om een prijs te krijgen, moet je dus 4 of meer van de aangewezen getallen uit A juist aangekruist hebben. Zijn dat er 4, dan moet je bovendien ook het aangewezen getal uit B juist hebben aangekruist. Bij 5 of meer juist aangekruiste getallen in het bovenste gedeelte heb je altijd een prijs.

Volgens de organiserende instantie zijn er ongeveer 100 000 verschillende manieren om een formulier in te vullen die een prijs opleveren

5p.

18.

Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

Taalonderzoek.

In 2013 was er een onderzoek naar de woordenschat van mensen in Nederland en Vlaanderen. Iedereen kon meedoen met het onderzoek door een test te doen op internet. Bij deze test kreeg een deelnemer 100 willekeurig gekozen woorden te zien uit een lijst van 50 000 bestaande Nederlandse woorden en 20 000 door de onderzoekers verzonnen 'nepwoorden'. Van elk woord moest worden aangegeven of het een bestaand woord is of niet. Het aantal nepwoorden in een test is (bij benadering) binomiaal verdeeld. Marieke heeft de test gedaan. In haar test zaten 37 nepwoorden.

4p.	19.	Bereken de kans dat in een test van 100 woorden 37 of meer nepwoorden voorkomen.

Na afloop van de test wordt een score toegekend. Hiervoor wordt berekend:
-	het percentage bestaande woorden dat de deelnemer (terecht) als bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men A;
-	het percentage nepwoorden dat de deelnemer (ten onrechte) als bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men B.

Vervolgens geldt: score = A – B. Bij haar test van totaal 100 woorden heeft Marieke van de bestaande woorden in de test er 56 herkend. Van de 37 nepwoorden heeft ze er 5 ten onrechte als bestaand bestempeld.

3p.	20.	Laat met een berekening zien dat Marieke een score van 75 had voor de test.

Eind oktober 2013 was de test 572146 keer gemaakt door 368798 verschillende deelnemers. Er waren dus (flink wat) deelnemers die de test meer dan eens gedaan hadden.
-	de proevers: deze deelnemers maakten de test één keer;
-	de ambitieuzen: deze deelnemers maakten de test 2–10 keer;
-	de doorzetters: deze deelnemers maakten de test meer dan 10 keer.

Uit onderzoek bleek dat de deelnemers in drie groepen verdeeld konden worden: De verdeling van deze groepen over het totaal aantal deelnemers was: proevers 76%, ambitieuzen 21% en doorzetters 3%. Uit deze gegevens blijkt dat het gemiddeld aantal keren dat de ambitieuzen de test deden, minder dan 3 was.

4p.	21.	Bereken hoe groot dit gemiddeld aantal keren ten hoogste kan zijn. Rond je antwoord af op één decimaal.

Voor een vervolgonderzoek kiest men willekeurig 15 van deze 368798 deelnemers.

3p.	22.	Bereken de kans dat deze groep 2, 3 of 4 ambitieuzen bevat.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Voor de kleuren van de gekleurde ringen zijn er 8 • 8 = 64 mogelijkheden. Voor de plaats van de metalen ring zijn er 4 mogelijkheden In totaal geeft dat 64 • 4 = 256 mogelijkheden.

2.	Voor de plaats van de zilverkleurige ring zijn er 6 mogelijkheden. Voor de kleuren van de vijf gekleurde ringen zijn er 8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 32768 mogelijkheden Voor de plaats van de vlag zijn er 5 mogelijkheden. In totaal geeft dat 6 • 32768 • 5 = 983040 mogelijkheden.

3.	(ongeveer aflezen: 2010: Waddeneilanden 2600, Nederland 4300: ²⁶⁰⁰/₄₃₀₀ • 100% = 60% 2040: Waddeneilanden 2800, Nederland 6200: ²⁸⁰⁰/₆₂₀₀ • 100% = 45% Het percentage in 2040 is NIET groter dan het percentage in 2010.

4.	Neem 1980 t = 0 Dan is de beginwaarde B = 200 Eindwaarde is 2100 in een periode van 20 jaar. Dat geeft 2100 = 200 • g²⁰ g²⁰ = ²¹⁰⁰/₂₀₀ = 10,5 g = 10,5^1/20 = 1,1248 2010 is dan t = 30 en dat geeft 200 • 1,1248³⁰ = 6812 lepelaars De grafiek in de figuur geeft ongeveer 2600 lepelaars, dus het verschil is 6812 - 2600 = 4212 lepelaars. Dat is ongeveer 4200 lepelaars.

5.	5% onder die grenswaarde is 0,95 • 2780 = 2641 Y1 = 2641 Y2 = 2780 / (1 + 12,9 * 0,834^X) Intersect geeft X = t = 30,3 Dat is dus in het jaar 2010 (of in 2011: je weet niet precies op welk moment in het jaar er gemeten is)

6.	G = ^{(3 + 4 + 1 + 1)}/₄ = 2,25 en dat is afgerond 2 J = 3 V = 2 - 3 = -1

7.	Stel dat V in totaal x keer gelijk is aan -2 een y keer gelijk aan -1. Dan is x + y + 56 + 33 + 4 = 107 ofwel x + y = 14 .....(1) Verder is -2x - y + 0 • 56 + 1 • 33 + 2 • 4 = 26, ofwel 2x + y = 15 .....(2) Van de eerste vergelijking kun je maken y = 14 - x en vervolgens vul je dat in in de tweede vergelijking. Dat geeft 2x + 14 - x = 15 Dus x = 1 Dus V = -2 komt één keer voor

8.	Het aantal keer dat G = J is binomiaal verdeeld met n = 20 en p = ⁵⁶/₁₀₇ P(X = 11) = binompdf(20, ⁵⁶/₁₀₇, 11) = 0,1721

9.	normalcdf(10.5, 10⁹⁹, 9.8, 0.6) = 0,1217

10.	10 van de 16 punten voor het eerste proefwerk betekent dat hij een 6,6 haalde (tabel 1). een 6,6 voor het tweede proefwerk betekent dat hij 21 punten haalde (tabel 2)

11.	Het ontbrekende cijfer hoort bij 13 van de 16 punten. Dat is ¹³/₁₆ deel van de punten Dat betekent dat je 13/16 van de punten tussen 1 en 10 krijgt ¹³/₁₆ van 9 punten betekent 7,3 punten Je cijfer is dan een 1 + 7,3 = 8,3

12.	Van 48 vierkeuzevragen tellen er dus 12 niet mee. Er zijn dus 36 vragen over. In tabel 2 zie je dat je bij 36 punten voor een 6,0 een aantal van 20 goede antwoorden moet hebben Samen met die 12 die niet meetellen zijn dat 20 + 12 = 32 goede antwoorden.

13.
	Van 0-10 punten heb je een 1,0 De grafiek gaat verder door (10, 1.0) en (40, 10.0)

14.	9 vragen tellen niet mee. Bij 9 vragen goed heb je nog een 1,0 en bij 45 vragen goed heb je een 10.0 De grafiek is een rechte lijn door (9, 1) en (45, 10) De helling is a = ^Δ^y/_Δ_x = ^{(10 - 1)}/_{(45 - 9)} = 0,25 De lijn gaat door (45, 10) dus 10 = 0,25 • 45 + b 10 = 11,25 + b b = -1,25 De formule is C = 0,25 • G - 1,25

15.	Voor de bovenste getallen moet je er 8 kiezen uit de 20, en dat kan op 20 nCr 8 = 125970 manieren. Van de onderste getallen moet je er één kiezen en dat kan op 4 manieren. In totaal zijn er 125970 • 4 = 503880 manieren om negen getallen te kiezen. De kans op alle negen goed is dus ¹/₅₀₃₈₈₀ = 0,00000198 Dat is inderdaad ongeveer 0,000002

16.	De verwachte uitbetaling is de verwachtingswaarde van deze tabel. 0,0687766 • 1 + 0,073351 • 2 + 0,024450 • 6 + .... + 0,000002 • 10000 = 0,67 euro De winstverwachting is de verwachte uitbetaling min de inleg van 1 euro, dus dat is 0,67 - 1 = -0,33 euro

17.	Het aantal uitbetalingen is binomiaal verdeeld met n = 100 en p = 0,011003 P(X = 5) = binompdf(100, 0.011003, 5) = 0,0042

18.	4 juiste uit A aankruisen van de 8 aangezwezen getallen kan op 8 nCr 4 = 70 manieren. 4 foute daarna van de 12 niet-aangewezen getallen kan op 12 nCr 4 495 manieren Dus in totaal geeft dat 70 • 495 = 34650 manieren om op deze manier een prijs te krijgen. Je kunt ook een prijs krijgen bij 5, 6, 7 of 8 getallen uit A goed, en bij elk van dezen zijn er 4 mogelijkheden om B te kiezen (die doet er namelijk niet meer toe). 5 getallen: (8 nCr 5) • (12 nCr 3) • 4 = 49280 6 getallen: (8 nCr 6) • (12 nCr 2) • 4 = 7392 7 getallen: (8 nCr 7) • (12 nCr 1) • 4 = 384 8 getallen: (8 nCr 8) • (12 nCr 0) • 4 = 4 Het totaal aantal manieren is dan 34650 + 49280 + 7392 + 384 + 4 = 91710 manieren om een prijs te krijgen. Dat zijn inderdaad bijna 100000 manieren.

19.	n = 100 en p = ²/₇ P(37 of meer) = P(X ≥ 37) = 1 - P(X ≤ 36) = 1 - binomcdf(100, ²/₇, 36) = 0,0420

20.	Er waren 63 bestaande woorden en 37 nepwoorden A = ⁵⁶/₆₃ • 100% = 89% B = ⁵/₃₇ • 100% = 14% Haar cijfer is 89 - 14 = 75

21.	De proevers deden de test één keer dus dat zijn al 280286 tests. Het minst aantal tests voor de doorzetters zou zijn als ze de test allemaal precies 11 keer deden. Dat zijn 11 • 11064 = 121704 tests Voor de ambitieuzen blijven dus maximaal 572146 - 280286 - 121704 = 170156 tests over. Er zijn 77448 ambitieuzen, dus per persoon zijn dat maximaal ¹⁷⁰¹⁵⁶/₇₇₄₄₈ = 2,2 tests

22.	Omdat de groep zo groot is mag je doen alsof dit een trekking met terugleggen is, dus het aantal ambitieuzen is ongeveer binomiaal verdeeld. n = 15 en p = 0,21 P(X = 2, 3 of 4) = P(X ≤ 4) - P(X ≤ 1) = binomcdf(12, 0.21, 4) - binomcdf(15, 0.21, 1) = 0,6658 (het kan ook met binompdf(15, 0.21, 2) + binompdf(15, 0,21, 3) + binompdf(15, 0.21, 4))