Onbekende zijde.
Gegeven is driehoek ABC met AB = 4 en BC =12 . Punt M is het midden van lijnstuk BC. Verder geldt: AM = 5 .
4p.	1.	Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Spookje.
Op het domein  [-½π, 1½π]  worden de functies f en g gegeven door: f(x) = sin(x)cos(2x) g(x) = 2 + sin(x) Er geldt:  f '(x) = 6cos3x - 5cos(x)
6p.	2.	Bewijs dat inderdaad geldt:  f '(x) = 6cos3x - 5cos(x)
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven. De verticale lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. We bekijken de raaklijn aan de grafiek van f in A en de raaklijn aan de grafiek van g in B.
In de figuur is een waarde van p gekozen waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden. Er zijn meerdere waarden van p waarvoor dit het geval is.
6p.	3.	Bereken exact het aantal waarden van p waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.
Het functievoorschrift van f  kan worden herleid tot:   f(x) = 1/2sin(3x) - sin(x) Dit kan bijvoorbeeld worden bewezen door de vorm sin(t + u ) - sin(t - u) voor geschikte keuze van t en u te herleiden.
3p.	4.	Bewijs dat  1/2sin(3x) - sin(x) = sin(x)cos(2x)
De grafieken van f en g hebben twee gemeenschappelijke punten, namelijk  (-½π, 1) en (1½π, 1) V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g.
4p.	5.	Bereken exact de oppervlakte van V.

Hoog water.
De hoeveelheid water die door een rivier wordt afgevoerd, varieert van moment tot moment. De hoeveelheid water die de rivier maximaal kan afvoeren, noemen we de capaciteit van de rivier. Als de capaciteit te laag is, kan de rivier overstromen. Om te kunnen inschatten hoe vaak een overstroming plaatsvindt, gebruiken we het volgende model:
Hierin is C de capaciteit in m3/s en T de zogeheten herhalingstijd. De herhalingstijd is de periode in jaren waarin de waarde van C gemiddeld één keer wordt overschreden. Als bijvoorbeeld T = 40 , dan zal de rivier gemiddeld één keer in de 40 jaar overstromen. De waarden van a en b worden berekend met behulp van gegevens uit het verleden. Er geldt altijd: a > 0 en b > 0. Voor de Rijn geldt: a = 5734 en b = 1648. De capaciteit is 12000 m3/s.
5p.	6.	Bereken algebraïsch de herhalingstijd in jaren. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Uit formule 1 is af te leiden dat voor de afgeleide van C geldt:
5p.	7.	Bewijs dit.
Voor elke rivier geldt natuurlijk: hoe groter de herhalingstijd, des te groter is de capaciteit. De grafiek van C zou dus voor elke waarde van a en b (met a > 0 en b > 0) stijgend moeten zijn.
5p.	8.	Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is voor elke waarde van a en b (met a > 0 en b > 0).
Voor de Maas geldt:
-	Bij een capaciteit van 1700 m3/s is de herhalingstijd gelijk aan 4 jaar.
-	Bij een capaciteit van 2100 m3/s is de herhalingstijd gelijk aan 10 jaar.
Voor toekomstig beleid wil het ministerie van Infrastructuur en Waterstaat voor de Maas weten welke capaciteit hoort bij een herhalingstijd van 100 jaar.
4p.	9.	Bereken deze waarde van C in m3/s met behulp van formule 1. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Twee halve cirkels.
Gegeven zijn de twee halve cirkels c1 en c2 . Voor c1 geldt:  x2 + y2 + 12x = -32 , het middelpunt is M1 en y > 0. Voor c2 geldt: het middelpunt is M2 (5, 0), de straal is 5 en y > 0. Op de positieve y-as ligt een punt P. Zie de figuur.
P wordt zo op de y-as gekozen dat de afstand van P tot c1 twee keer zo groot is als de afstand van P tot c2 .
7p.	10.	Bereken de y-coördinaat van P voor deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Twee bewegende punten.
Voor t ≥ 0 beweegt het punt P1 volgens de bewegingsvergelijkingen
Tegelijkertijd beweegt het punt P2 volgens de bewegingsvergelijkingen:
In onderstaande figuur zijn beide banen getekend met daarop de punten P1 en P2 op een tijdstip t.
Voor de snelheid v2 van P2  geldt:   v2 = 4√(t2 + 1)  Er is één tijdstip t waarop de punten P1 en P2 gelijke snelheid hebben
5p.	11.	Bereken exact dit tijdstip.
In onderstaande figuur zijn nogmaals beide banen getekend. Op twee tijdstippen, namelijk t = 0 en t = 2, vallen P1 en P2 samen. Op alle andere tijdstippen kun je de lijn l door P1 en P2 tekenen. In de figuur is dit voor twee tijdstippen gedaan.
De richtingscoëfficiënt van l is gelijk aan -2 voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2 ).
3p.	12.	Bewijs dit.
Voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2 ) is P3 het snijpunt van l met de x-as. Zie de figuur, waarin P3 is aangegeven voor twee verschillende tijdstippen.
4p.	13.	Bereken exact op welk tijdstip de x-coördinaat van P3 gelijk is aan 3.

Een derdegraadsfunctie.
De functie f wordt gegeven door f(x) = x3 + 6x2 + 12x + 9 Deze functie heeft een inverse functie f inv . Er geldt:
3p.	14.	Bewijs dit.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de y-as. Zie de figuur. Deze figuur is niet op schaal.
Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam.
3p.	15.	Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Op de grafiek van f  ligt een punt P waarin de raaklijn aan de grafiek van f  horizontaal is. Op de grafiek van  f inv  ligt een punt Q waarin de raaklijn aan de grafiek van f inv verticaal is. De lijn door P en Q snijdt de y-as in punt S.
6p.	16.	Bereken exact de y-coördinaat van S.

 

UITWERKING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1.	cosinusregel in ABM: 52  = 42 + 62 - 2 • 4 • 6 • cosB 25 = 52 - 48cosB 48cosB = 27 cosB = 27/48 B = 55,77113... cosinusregel in ABC AC2 = 42 + 122 - 2 • 4 • 12 • cos(55,77113...) AC2 = 160 - 96 • 27/48 AC2 = 106 AC = √106 = 10,3
2.	sin(x)cos(2x) met de productregel: f ' = cosx • cos2x + sinx • -sin(2x) • 2 = cosx • cos(2x) - 2sinx • sin(2x) = cosx • (2cos2x - 1) - 2sinx • 2sinxcosx     (regels voor cos2x en sin2x) = 2cos3x - cosx - 4sin2x • cosx = 2cos3x - cosx - 4(1 - cos2x)• cosx     (sin2x + cos2x = 1) = 2cos3x - cosx - 4cosx + 4cos3x = 6cos3x - 5cosx
3.	Als de lijnen loodrecht op elkaar staan dan is rc1 • rc2 = -1 Dus  f '(p)• g'(p) = -1 (6cos3x - 5cosx) • cosx = -1 6cos4x - 5cos2x = -1 noem cos2x = q  dan staat er  6q2 - 5q + 1 = 0 q = (5 ± √1)/12 = 1/2  of 1/3 cos2x = 1/2  ∨  cos2x = 1/3 cosx = 1/2  ∨  cosx = -1/2  ∨  cosx = 1/3 ∨ cosx = -1/3 Elke geeft twee oplossingen tussen -½π en  1½π In totaal dus 8 oplossingen
4.	1/2(sin(3x) - sin(x)) = 1/2(sin(2x + x) - sin(2x - x)) = 1/2((sin2xcosx + cos2xsinx) - (sin2xcosx - cos2xsinx)) = 1/2(sin2xcosx + cos2xsinx - sin2xcosx + cos2xsinx) = 1/2 • 2cos2xsinx  = sin(x)cos(2x)
5.
	= (3π - 0 + 0 - 0) - (-π - 0 + 0 - 0) = 4π
6.	12000 = 5734 - 1648 • ln(ln(T/(T - 1))) 6266 = - 1648 • ln(ln(T/(T - 1))) -3,80... = ln(ln(T/(T - 1))) e-3,80... = 0,02232... = ln(T/(T - 1)) e0,02232... 1,0225... = T/(T - 1) 1,0225...(T - 1) = T 1,0225T - 1,0225 = T 0,0225T = 1,0225 T = 45,3... De herhalingstijd is dus 45 jaar.
7.	De afgeleide van lnx is 1/x De afgeleide van ln(lnx) is dan  1/lnx • 1/x  (die laatste komt van de kettingregel) De afgeleide van  ln(ln(U)) is dan  1/ln(U) • 1/U • U'  (de laatste alweer van de kettingregel) In dit geval is  U = T/(T - 1)  dus geeft de quotiëntregel:   U'= (1 • (T - 1) - T • 1)/(T-1)² =  -1/(T - 1)² Alles tezamen geeft dat:
	delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde, dus
8.	Als D stijgt, dan moet D ' positief zijn. T > 1 en is dus positief T > 1 dus  T - 1 is positief T is groter dan T - 1 dus  (T/T-1) is groter dan 1. dan is ln(T/T-1) groter dan nul, en dus positief. b is positief. Wat wil je nog meer: alle factoren uit D' zijn positief, dus D' ook positief
9.	Vul de gegevens is: 1700 = a - b • -1,24... 2100 = a - b • -2,25... Uit de eerste volgt  a = 1700 - b • 1,24.... Dat kun je invullen in de tweede:  2100 = (1700 - b • 1,24...) - b • -2,25... 2100 = 1700 + b • 1,01... 400 = b • 1,01... b = 398,22.... Dan is a = 1700 - b • 1,24.... = 1203,85.... Dat geeft  C = 1203,85  - 398,22 • ln(ln(100/(100-1)) = 3036 m3
10.	c1:  x2 + 12x + 26 - 36 + y2 = -32 (x + 6)2 + y2 = 4  dus  M1 = (-6,0) en r1 = 2 Stel P = (0, p) PM1 = √(p2 + 62)  dus de afstand van P tot c1 is  √(36 + p2) - 2 PM2 = √(p2 + 52) dus de afstand van P tot c2 is  √(25 + p2) - 5 √(36 + p2) - 2 = 2(√(25 + p2) - 5) Dat kan natuurlijk met de GR opgelost worden, maar algebraïsch is uiteraard veel leuker: √(36 + p2) = 2√(25 + p2) - 8 36 + p2 = 4(25 + p2) - 32√(25 + p2) + 64 32√(25 + p2) = 128 + 3p2 1024(25 + p2) = 16384 + 768p2 + 9p4 9p4 - 256p2 - 9216 = 0 p2 = (256 ± √397312)/18 = 49,24... (of  -20,79... maar die vervalt) p = 7,01714... p = 7,02
11.	v1 = √(x1' 2 + y1'2) = √((2t + 2)2 + 16) v1 = v2  geeft dan    √((2t + 2)2 + 16) = 4√(t2 + 1) (2t + 2)2 + 16 = 16(t2 + 1) 4t2 + 8t + 20 = 16t2 + 16 12t2 - 8t - 4 = 0 t = 1  ∨  t = -1/3 Alleen t = 1 voldoet.
12.	P1 = (t2 + 2t, 4t)  en P2 = (4t, 2t2) De helling daartussen is:
	Waarbij die laatste stap alleen geldt als t niet 0 of 2 is.
13.	P2 = (4t, 2t2) lijn met helling -2 door P2 :   2t2  = -2 • 4t + b geeft  b = 2t2 + 8t de lijn is dan  y = -2x + 2t2 + 8t y = 0  geeft  0 = -2 • 3 + 2t2 + 8t 2t2 + 8t - 6 = 0 t2 + 4t - 3 = 0 t = (-4 ± √28)/2 = -2 ± √7 Alleen de plus-oplossing voldoet, dus t =  -2 + √7
14.	Als (x, y) op de grafiek van f  ligt, dan ligt (y, x) op de grafiek van finv. Dus geldt x = -2 + 3√(y - 1) x + 2 = 3√(y - 1) (x + 2)3 = y - 1 (x + 2)(x + 2)2 + y - 1 (x + 2)(x2 + 4x + 4) = y - 1 x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = y - 1 y = x3 + 6x2 + 12x + 9 Dat klopt!
15.	x = 0  geeft  y = 9
	invoeren in de GR en dan calc - integraal geeft inhoud ongeveer 33,9
16.	Die twee punten zijn elkaars gespiegelde in de lijn y = x f  heeft helling nul als f ' = 3x2 + 12x + 12 = 0 x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)2 = 0 x = -2 dus dat is het punt  (-2, 1) De lijn tussen beide punten staat loodrecht op y = x dus heeft helling -1. Het is de lijn  y = -x - 1 x = 0  geeft snijpunt S(0, -1)