VWO WB, 2021 - I

 

Parabool en twee lijnen.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = x - x2.
Het punt T(1/2, 1/4) is de top van de grafiek van f.
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong.
De lijn m staat loodrecht op lijn l en gaat door T.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn m en de grafiek van f.
Zie de figuur.
       

       
8p. 1. Bereken exact de oppervlakte van V.
     

   

Goniometrische functies.
       
De functies f en g worden voor 0 ≤ x ≤ 2π  gegeven door:

f
(x) = 2sin(x) - sin(2x)
g(x) = sin(2x)

De grafieken van f en g hebben vijf gemeenschappelijke punten. Drie van deze punten liggen op de x-as. De andere twee punten zijn P en Q. Zie de figuur.
       

       
4p. 2. Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
     

  

De grafiek van g wordt 1 omhoog geschoven. Zo ontstaat de grafiek van de functie h. Zie onderstaande figuur.
V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en h. In de figuur is dit gebied geel gemaakt.
       

       
De grafieken van f en h snijden elkaar in twee punten. De x-coördinaten van deze twee punten zijn afgerond 1,33 en 2,97.
       
5p. 3. Bereken de oppervlakte van V met behulp van primitiveren. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

  

De functie k wordt gegeven door k(x) = 1/2 tan(x). Zie onderstaande figuur, waarin de grafieken van k en f zijn weergegeven.
       

       
De grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat 1/3π
       
4p. 4. Bewijs dat voor x = 1/3π de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.
     

   

       
Aardbevingen
       
Een aardbeving ontstaat op een plek in de aarde. Het punt recht boven die plek, op het aardoppervlak, heet het epicentrum van die aardbeving. We bekijken in deze opgave een model over aardbevingen, waarbij we ervan uitgaan dat de aardbeving in het epicentrum ontstaat.

Bij een aardbeving ontstaan verschillende typen golven in de aarde: primaire golven en secundaire golven. Primaire golven zijn sneller dan secundaire golven. We nemen in deze opgave aan dat een primaire golf een constante snelheid van 6 km/s heeft en een secundaire golf een constante snelheid van 3,5 km/s.

Een seismograaf is een meetinstrument waarmee je primaire en secundaire golven van elkaar kunt onderscheiden. Bij een bepaalde aardbeving registreert een seismograaf in een meetstation dat de eerste secundaire golf 17 seconden na de eerste primaire golf bij het meetstation aankomt. Met deze gegevens kun je de afstand d (in km) van de seismograaf tot het epicentrum van de aardbeving bepalen.

       
4p. 5. Bereken deze afstand d.
     

  

Om de plaats van het epicentrum te bepalen worden de meetgegevens van verschillende meetstations gecombineerd. In een bepaald gebied staan twee meetstations: S en T. Meetstation T ligt 192 km oostelijker en 128 km noordelijker dan meetstation S. Uit de metingen in meetstation S volgt dat het epicentrum van de aardbeving op een afstand van 240 km van dit meetstation S ligt. Uit de metingen in meetstation T volgt dat het epicentrum op 80 km van dit meetstation T ligt.
Op grond van deze gegevens zijn er twee mogelijke plaatsen van het epicentrum aan te wijzen. Om deze plaatsen te bepalen worden de meetstations in een assenstelsel geplaatst, waarbij meetstation S in de oorsprong ligt. De coördinaten van meetstation T zijn dan (192, 128). Zie de figuur.
       

       
6p. 6. Bereken algebraïsch de coördinaten van de twee mogelijke plaatsen van het epicentrum in kilometers. Geef de coördinaten in je eindantwoord als gehele getallen.
     

  

De zwaarte van een aardbeving wordt uitgedrukt in een getal: de magnitude. Een zware aardbeving heeft een grote magnitude, een lichte aardbeving heeft een kleine magnitude. De United States Geological Survey heeft voor verschillende magnitudes onderzocht hoe vaak aardbevingen met die magnitude in een bepaald gebied voorkwamen. Zie de tabel.
       
magnitude gemiddeld aantal
aardbevingen
per jaar
6,0 - 6,4 210
6,5 - 6,9 56
7,0 - 7,4 15
7,5 - 7,9 3,1
8,0 - 8,4 1,1
8,9 - 8,9 0,3
       
De onderzoekers Gutenberg en Richter hebben een model ontwikkeld om het aantal aardbevingen per jaar in een gebied te voorspellen. Dit model is van de vorm:
       

N = 10a - bM

       
Hierin is M de magnitude en N het te verwachten aantal aardbevingen per jaar met deze magnitude M of groter. De waarden a en b zijn constanten.

Uit de tabel kun je afleiden dat er gemiddeld 285,5 aardbevingen per jaar zijn met een magnitude van 6,0 of groter. Ook kun je afleiden dat er gemiddeld 4,5 aardbevingen per jaar zijn met een magnitude van 7,5 of groter.
Met behulp van deze twee gegevens is het mogelijk de waarden van a en b uit te rekenen. Vervolgens kun je met dat model een voorspelling doen van het aantal aardbevingen per jaar met een magnitude van 6,5 of groter.

       
6p. 7. Onderzoek hoeveel die voorspelling afwijkt van de gegevens in de tabel. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   

       

 

Een vierkant en vier vectoren.
       
Gegeven is het vierkant OABC met hoekpunten O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) en C(0, 1).
Verder zijn gegeven het punt P(p , 0) en het punt Q (1/p , 0) , met 0 < p < 1.

 

van p weergegeven.
       

       
6p. 8. Bewijs dat voor elke waarde van p de hoek tussen de vectoren CP en CA gelijk is aan de hoek tussen de vectoren CA en CQ.
     

  

M is het midden van lijnstuk PB. Zie onderstaande figuur, waarin ook lijnstuk PB en vector QM zijn getekend.
       

       
In deze figuur is p zo gekozen dat vector QM loodrecht staat op lijnstuk PB.
       
7p. 9. Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   

Limiet van een verhouding.
       
De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
       

       
Gegeven is de lijn met vergelijking x = a, waarbij a > 0 .
Deze lijn snijdt de x-as in punt Q en de baan van P in de punten R en S, waarbij de y-coördinaat van S groter is dan de y-coördinaat van R. Zie de figuur.
       

       
Als a onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding QR/QS tot een limiet.
       
4p. 10. Bereken exact deze limiet.
     

   

 

Gebroken functie met een parameter.
       
Voor p > 0 wordt de functie fp gegeven door:
       

       
In de figuur is de grafiek van  f1 weergegeven.
       

       
De grafiek van f1 heeft een scheve asymptoot.
       
3p. 11. Bewijs dat de grafiek van f1 boven deze scheve asymptoot ligt.
     

  

Voor elke waarde van p > 0 heeft de grafiek van fp één top.
       
5p. 12. Bewijs dat er een lijn is waarop al deze toppen liggen.
     

   

Absolute natuurlijke logaritme.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = | ln(x) |.
Gegeven is verder de horizontale lijn met vergelijking y = q , met q > 0 .
Deze lijn snijdt de y-as in het punt A en de grafiek van f in de punten B en C met xB < xC . Zie de figuur.
       

       
Er is een waarde van q waarvoor de lengte van lijnstuk BC drie keer zo groot is als de lengte van lijnstuk AB.
       
6p. 13. Bereken exact deze waarde van q.
     

   

P en P'
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = 6√x.
Het punt P is een punt op de grafiek van f rechts van de y-as. Zie de figuur.
       

       
In de figuur is het punt P zo gekozen dat er een punt P' bestaat met de volgende eigenschappen:
- P' ligt op de negatieve x-as;
- Lijnstuk OP' heeft dezelfde lengte als lijnstuk OP
- POP' = 120°
       
6p. 14. Bereken exact de x-coördinaat van P' .  
     

   

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f ' = 1 - 2x  dus f '(0) = 1
l is de lijn  y = x
m
staat daar loodrecht op, dus heeft helling -1
m moet door (1/2, 1/4) gaan dus is de lijn  y = -x + 3/4
m snijden met f:   -x + 3/4 = x - x2
x2 - 2x + 3/4 = 0
(x - 1/2)(x - 3/2) = 0
x
= 1/2  ∨  x = 3/2
 

  =  0 - - 1/6 = 1/6
   
2. 2sin(x) - sin(2x) = sin(2x)
2sinx - 2sin(2x) = 0
2sinx - 4sinxcosx = 0   (want sin(2x) = 2sinxcosx)
2sinx(1 - 2cosx) = 0
2sinx = 0  ∨ 1 - 2cosx = 0
sinx = 0  ∨  cosx = 1/2
x = 0 + k2π  ∨  x = π + k2π  ∨  x = 1/3π + k2π  ∨  x = -1/3π + k2π
Dat geeft tussen 0  en 2π de oplossingen:
x = 0,  1/3π,  π,  12/3π en 2π
xP = 1/3π  en  xQ = 12/3π
   
3. h(x) = 1 + sin(2x)
 

 

   
4. f(1/3π) = 2 • 1/2√3 - 1/2√3 = 1/2√3
k(1/3π) = 1/2 • √3 = 1/2√3
f(1/3π) = k(1/3π)  dus ze gaan door het zelfde punt.

f '(x) = 2cos(x) - 2cos(2x)
f '(1/3π) = 2 1/2 - 2 • -1/2 = 2
k '(x) = 1/2 • 1/(cos2x)
k'(1/3π) = 1/2 1/1/4 = 2
f '(1/3π) = k '(1/3π)  dus de grafieken hebben in dat snijpunt dezelfde helling.
Dus raken ze elkaar.
   
5. Stel dat de eerste golf na t seconden aankomt, dan komt de tweede golf na t + 17 seconden aan.
Als d de afstand is, dan geldt:
eerste golf:  d = 6t
tweede golf:  d = 3,5(t + 17)
6t = 3,5(t + 17)
2,5t = 59,5
t = 23,8 sec.
Dan is d = 6 • 23,8 =
142,8 km
   
6. het epicentrum ligt 240 km vanaf S dus op de cirkel x2 + y2 = 57600     ....(1)

het epicentrum ligt op 80 km van T dus op de cirkel  (x - 192)2 + (y - 128)2 = 6400
x2 - 384x + 36864 + y2 - 256y + 16384 = 6400
x2 + y2 - 384x - 256y = -46848     ....(2)

trek (1) en (2) van elkaar af dan vallen de kwadraten weg:
384x + 256y = 104448
y = 408 - 1,5x
invullen in (1):   x2 + (408 - 1,5x)2 = 57600
x
2 + 166464  -  1224x + 2,25x2 = 57600
3,25x2 - 1224x + 108864 = 0
ABC-formule:  x = (1224 ± 288)/6,5 =  232,615...  ∨  x = 144
Dat geeft  y = 59,07... en y = 192
Afgerond 
(144, 192)  en  (233, 59)  
   
7. 285,5 = 10a - 6b
4,5 = 10a - 7,5b 
Deel deze twee vergelijkingen op elkaar:   63,4444 = 101,5b 
1,5b = log(63,444) = 1,80...
b
= 1,201... 
dan is  4,5 = 10a - 7,5 • 1,80...
a - 9,01... = log4,5 = 0,65...
a = 9,665....
Bij M = 6,5 is dan  N = 109,665...-6,5 • 1,201... = 71,5...
56 + 13 + 3,1 + 1,1 + 0,3 = 75,5
Dat wijkt dus 4 af.
   
8.
  Zie de figuur met de afmetingen op de x-as.
QRA en QCO zijn gelijkvormig, dus  AR/(1/p - 1) = 1/(1/p) 
Dat geeft AR1/p = 1/p - 1  dus  AR = 1 - p
AR
= PA dus de driehoeken ACR en ACP zijn congruent.
Dus de hoeken RCA en PCA zijn gelijk en dat zijn precies de gevraagde hoeken.
   
9. P = (p, 0)  en  B = (1,1)
PR heeft helling  1/(1-p)

M
is het midden van PR dus M =  (1/2 + 1/2p, 1/2)  en  Q = (1/p, 0)
 

  Als MQ en PR loodrecht op elkaar staan dan zijn hun richtingscoëfficiënten met elkaar vermeniogvuldigd -1.
Dat geeft
 

  Voer de linkerkant in bij Y1
Voer de rechterkant in bij Y2
calc - intersect levert dan p = 0,5398...  ∨  p = 1,675...  maar die vervalt want p < 1.
De oplossing is dus 
p ≈ 0,54
   
10. x = a  geeft  t2 = a  dus  t = √a  of  t = -√a
t
= √a geeft  y = a - 2√a
t
= -√a geeft  y = a + 2√a
 

  Als a naar oneindig gaat, dan gaan die breuken naar nul, en gaat de verhouding naar 1.
   
11. f1(x) = (x³+ 4)/x² = x + 4/x² 
Als x naar oneindig gaat, dan gaat die breuk naar nul.
de scheve asymptoot is dus de lijn y = x
omdat x2 > 0  is dus ook 4/  > 0  dus   x + 4/x²  > x
dus ligt de grafiek van f(x) boven de scheve asymptoot.
   
12. f(x) = (x³+ 4p)/x² = x + 4p/x² = x + 4px-2
f
'(x) = 1 - 8px-3
voor de toppen is f '= 0 dus  1 - 8px-3 = 0
1 = 8px-3
x3 = 8p
p =
1/8x3
invullen in f  geeft  f(x) = x + 4 • 1/8x3x-2  =  x + 1/2x = 3/2x
De toppen liggen op de lijn
 y = 3/2x
   
13.
  er geldt  f(p) = f(4p)  zie de figuur.
| lnp | = | ln(4p) |
Dat geeft:  lnp = ln4p of  lnp = -ln(4p)
De eerste heeft geen oplossing.

lnp = -ln(4p) = -ln4 - lnp
2lnp = -ln4
lnp = 1/2ln4 = ln41/2 = ln2
p = 2
Dan is q = | lnp |  =
ln2

   
14. P = (x, 6√x )
De helling van OP is 60 ° dus de r.c. is √3
dan is  6√x/x = √3
6/x√3
x = 6/√3
x =
36/3 = 12

OP
= √(122 + (6√12)2) = √(144 + 432) = 24
Dus P '= (-24, 0)
De x-coördinaat is dus -24.