VWO WB, 2018 - II

 

Loodrecht in de perforatie.
       

Voor x 0 geldt: f (x) = h(x)
       

3p.

1.

Bewijs dat voor x 0 geldt: f (x) = h(x)
       

Er is een lijn k die voor x 0 samenvalt met de grafiek van g.

In de figuur linksonder zijn de grafieken van f en g weergegeven.
Punt P(0,1) is de perforatie van beide grafieken.
In de figuur rechtsonder zijn de grafiek van h en lijn k weergegeven en ook hun snijpunt P.

       

       

Er geldt:

 

de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar als de grafiek van h en lijn k in hun snijpunt P loodrecht op elkaar staan.

       

5p.

2.

Bewijs dat de grafieken van f en g in hun perforatie P loodrecht op elkaar staan.

       
IJsbol.
       

De snelheid waarmee een ijsklontje smelt, hangt foto onder andere af van de verhouding tussen de oppervlakte A in cm2 en het volume V in cm3 van het ijsklontje. Deze verhouding wordt uitgedrukt in het quotiënt  A/V

Voorbeeld: bij een kubusvormig ijsklontje met ribben van 3 cm is dit quotiënt gelijk aan 54/27 = 2

Er zijn ook bolvormige ijsklontjes ofwel ijsbollen. Zie de foto.

Voor een bol met straal r gelden voor A en V de formules A = 4πr2  en V = 4/3πr3.

Bij een ijsbol met hetzelfde volume als het genoemde kubusvormige ijsklontje met ribben van 3 cm is het quotiënt kleiner dan 2.

       

4p.

3.

Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.

       

Een ijsbol wordt in een glas water gedaan, waarna de ijsbol in het water drijft. Op het moment dat de ijsbol in het water wordt gedaan, heeft deze een straal van 1,5 cm.

Er geldt dat 92% van het volume van de ijsbol onder water zit en 8% erboven.
Het volume van de ijsbol is dan 4/3 • π • 1,53  ≈ 14,137 cm3

Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel met vergelijking x2 + y2 =  2,25 om de y-as.
Zie de figuur.

       

5p.

4.

Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt op het moment dat hij in het water wordt gedaan. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.

       

In een wiskundig model van het smelten van een ijsbol wordt ervan uitgegaan dat de ijsbol tijdens het smelten bolvormig blijft.
De straal van de ijsbol is afhankelijk van de tijd. De straal van de ijsbol op tijdstip t is r(t) , met t in minuten.

Het volume van de ijsbol op tijdstip t is dan V (t) = 4/3 • π • (r(t))3 . In het model wordt er verder van uitgegaan dat de formule van r(t) lineair is.
Een ijsbol heeft op tijdstip t =
0 een straal van 1,5 cm. Op tijdstip t =10 is het volume van deze ijsbol gehalveerd. Vanaf een bepaald tijdstip is er geen ijs meer aanwezig.

       

5p.

5.

Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer aanwezig is.

       
Constante verhouding.
       
Voor a > 0 wordt de functie fa gegeven door fa (x) = x - xln(ax) .
       

4p.

6.

Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt:
   

       

Voor elke positieve waarde van a geldt:

-

de grafiek van fa snijdt de x-as in precies één punt S (met x-coördinaat xS);

- de grafiek van fa heeft één top T (met x-coördinaat xT).
       

In de figuur zijn voor een waarde van a de grafiek van fa en de punten S en T weergegeven.

       

       

7p.

7.

       
Gekanteld vierkant.
       

Gegeven is het vierkant ABCD  met hoekpunten A(8, 0) , B(0, 4) , C(-4, -4) en D(4, -8) .
Op zijde AB ligt het punt P(2, 3) . Zie de figuur hiernaast.

De punten B, C en P liggen op één cirkel.

     

5p.

8.

Stel een vergelijking op van deze cirkel.

Over lijnstuk DP beweegt (van D naar P) een punt Q.

Er is een positie van Q waarvoor lijnstuk CQ loodrecht staat op  lijnstuk DP. Zie de figuur hiernaast.

     

5p.

9.

Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.

In de figuur hiernaast is driehoek CDQ rood gemaakt.

Er is een positie van Q waarbij de oppervlakte van driehoek CDQ een derde deel is van de oppervlakte van vierkant ABCD.

     

5p.

10.

Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.

       
Anderhalf keer zo groot.
       

De functie f is gegeven door f (x) = x2.

De raaklijn aan de grafiek van in een punt P(p, p2) met p > 0 snijdt de x-as in een punt A.

V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn OP.
Zie de figuur.

       

       

8p.

11.

Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte van V.

       
Een baan.
       

Een punt beweegt voor 0 t 2π volgens de bewegingsvergelijkingen:

     

     

De baan van het bewegende punt is weergegeven in de figuur hiernaast.

Voor t = 1/2π  en  t = 11/2π  bevindt het bewegende punt zich in O. Deze situatie laten we in de gehele opgave verder buiten beschouwing.

Pt is de positie van het bewegende punt op tijdstip t.
Er geldt: de lijn door
Pa en Pπ - a is voor elke in deze situatie mogelijke waarde van a verticaal.

       

3p.

12.

Bewijs dat die lijn inderdaad verticaal is.
       

Er zijn meerdere tijdstippen waarvoor geldt dat de afstand van Pt tot de x-as twee keer zo groot is als de afstand van Pt tot de y-as.

       

5p.

13.

Bereken exact het vierde tijdstip waarvoor dit het geval is.
       

Voor iedere waarde van t kunnen de snelheidsvector v vanuit punt Pt en de vector OPt worden getekend.

In de figuur hernaast zijn punt Pt , vector OPt en vector v getekend voor  t = 3/4π

     

5p.

14.

       
Buiten een vierkant.
       

Gegeven is het vierkant OABC met O(0, 0) , A(4, 0) en C(0, 4) .
Het snijpunt van OB en AC is het punt S. Het punt M(3, 2) is het middelpunt van een cirkel door A en B.
De punten F en G zijn de snijpunten van deze cirkel met CS respectievelijk OS. Zie de figuur.

       

       
Er geldt: F is het midden van CS.
       

5p.

15.

Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.
       

Verder geldt: G is het midden van OS.
In de volgende figuur zijn de cirkelsectoren BMF en GMA grijs gemaakt.

       

       

De oppervlakte van deze twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de cirkel.

       

3p.

16.

Bewijs dit.  
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.

  de eerste stap mag alleen als  x  ≠ 0  want in dat geval vermenigvuldig je met 0/0
   
2 h (x) = 2(1 + √(x + 1))-1  =  2 • (1 + (x + 1)0,5)-1
h' (x) = 2 •  -1 • (1 + √(x + 1))-21/2(x + 1)-0,5
h '(0) = 2 • -1 • 2-21/2 • 1-0,5  = -1/4 

de helling van k  is 4.
4 • -1/4 = -1 dus staan h en k in punt P loodrecht op elkaar.
dus f en g ook.
   
3. V = 27 geeft  4/3πr3 = 27
r3 = 6,445...
r = 1,861....
A = 4π • 1,8612 = 43,52....
Het quotiënt is dan  43,52.../27 =
1,61
   
4. 92% van 14,137  is 13,01 en dat moet het volume van het omwentelingslichaam zijn.
Noem de y-coördinaat van het wateroppervlak y = p
 

  (2,25p - 1/3p3)- (2,25 • -1,5 - 1/3 • (-1,5)3) = 13,01/π
2,25p - 1/3p3 + 2,25 = 4,14...
invoeren in de GR en dan intersect geeft  X = p = 0,98  (of p = 1,97... maar dat valt af, want is meer dan 1,5 cm)
Boven het water is dan  1,5 - 0,98 =
 0,52 cm
   
5. V(0) = 4/3π • 1,53 = 14,137...
De helft daarvan is  V(10) = 7,068....
4/3πr3 = 7,968...
r3 = 1,6875
r = 1,19055

(t, r) is lineair en gaat door  (0, 1.5) en (10, 1.19055...)
r.c. = (1,19055 - 1,5 )/(10 - 0) = -0,0309...
De vergelijking is dus  r(t) = 1,5 - 0,0309...t
0 = 1,5 - 0,0309t
t
= 48,473...
Dus vanaf
t = 49 minuten is er geen ijs meer aanwezig.
   
6. fa (x) = x - xln(ax) = x - xlnx - xlna .
f1/a (x) = x - xln(1/ax) = x - xlnx - xln(1/a)
fa (x) + f1/a (x) = x - xlnx - xlna + x - xlnx - xln(1/a)

maar ln(1/a) = ln(a-1) = -1 • lna  dus dan wordt dat:
fa (x) + f1/a (x) = 2x - 2xlnx
Delen door 2 geeft  x - xlnx in dat is inderdaad precies f1.
   
7.  fa (x) = x - xln(ax)
in het maximum geldt  f '= 0
f ' = 1 - 1 • lnax - x1/axa  = 1 - lnax - 1 = -lnax
f
'=  0  als  ax = 1 dus x = 1/a  
xT = 1/a

 x - xln(ax) = 0
x
(1 - lnax) = 0
x =
  lnax = 1
lnax = 1  geeft  ax = e  dus  xS = e/a

x
S/xT = (e/a)/(1/a) = e  en dat is inderdaad constant.
   
8. ∠CBP = 90º  dus is CP een middellijn van de cirkel.
C = (-4, -4) en P = (2,3)
Het midden van CP is dan  M = (-1, -1/2)
De straal van de cirkel is MP = √(32 + 31/22) = √211/4
De vergelijking van de cirkel is dus 
(x + 1)2 + (y + 1/2)2 = 211/4.
   
9. P = (2, 3) en D = (4, -8)
Dus PD heeft rc  (-8 - 3)/(4 - 2) = -11/2
PG is de lijn  y = -11/2 x + b
3 = -11/2 • 2 + b  geeft  b = 14  dus  PD:  y = -11/2 • x + 14

CQ staat loodrecht op PD dus heet r.c. 2/11
CQ is de lijn  y = 2/11x + b
-4 = 2/11 • -4 +geeft  b = -36/11

Q is het snijpunt :  -11/2x + 14 = 2/11x - 36/11
125/22x  = 190/11
x = 3,04
Dan is y =  2/11 • 3,04 - 36/11 = -2.72 
Q = (3.04,  -2.72)
   
10. Als CD de basis van de driehoek is, dan is het lijnstuk van Q loodrecht op CD de hoogte.
Als de oppervlakte van de driehoek een derde van het vierkant moet zijn, dan is de hoogte 2/3 deel van de zijde van het vierkant  (want dan is 1/2 • CD • 2/3CD = 1/3CD2)
Dan is  DQ = 2/3DP
 

  Dus  Q = (22/3, -2/3)
   
11. de rechte lijn OP is de lijn   y = px
de oppervlakte van V is dan:
 

   
  de raaklijn in (p, p2)  heeft helling  y' = 2x = 2p
raakpunt invullen:   p2 = 2p • p + b geeft  b = -p2
de raaklijn is  y = 2px - p2
snijden met de x-as:  2px - p2 = 0
2px = p2  
x =
1/2p
De oppervlakte van OAP is  1/21/2p • p2 = 1/4p2 

1/4p2  is inderdaad precies gelijk aan 1,5 • 1/6p2 .
   
12. Als de lijn verticaal is moeten de x-coördinaten gelijk zijn.
cos(a) • sin(2a)  =?=  cos(π - a) • sin(2(π - a))
cos(a) • sin(2a)  =?=  cos(π - a) • sin(2π - 2a)

cos(π - a) = -cos(a)
sin(2π - 2a) = - sin(2a)

cos(a) • sin(2a)  =?=  -cos(a) • -sin(2a)
qed.
   
13. 2x = of  2x = -y
2cos(t)sin(2t) = ± cos(t)
2cos(t)sin(2t) ± cos(t) = 0  of 
cos(t) • (2sin(2t) ± 1) = 0
cos(t) = 0  ∨  sin(2t) = ± 1/2   maar cos(t) = 0 telde niet mee....
2t = 1/6π + k2π  ∨  2t = 5/6π + k2π  ∨  2t = -1/6π + k2π  ∨  2t = 7/6π + k2π
t = 1/12π + kπ  ∨ t = 5/12π + kπ ∨  t = -1/12π + kπt = 7/12π + kπ
op volgorde zijn de oplossingen:

{1/12π, 5/12π, 7/12π, 11/12π....}
De vierde keer is 
t = 11/12π.
   
14. t = 3/4π  geeft 
x = cos(3/4
π)sin(3/2π) = -1/2√2 • -1 = 1/2√2
y = cos(3/4
π) = -1/2√2
 

  x ' = -sint • sin(2t) + cos(t) • 2cos(2t)   dus  x'(3/4π) = -1/2√2 • -1 + -1/2√2 • 2 • 0 = 1/2√2
y
'= -sint  dus y '(3/4π) = -1/2√2 
 

  ze zijn inderdaad gelijk.
   
15. C = (0, 4) en A = (4, 0) dus  S = (2, 2)  en dan is het midden = (1, 3)
M = (3, 2) dus de afstand van M naar het midden van CS is √(22 + 12) = √5
A = (4, 0) dus  MA = √(12 + 22 ) = √5
MA = MF dus F ligt op de cirkel.
   
16. Als de oppervlakte van de twee delen samen een halve cirkel is, dan moeten die twee grijze hoeken bij M elk 90º zijn.
 
 

  dus die staan inderdaad loodrecht op elkaar  (inproduct is nul)
   
 

  dus die staan ook loodrecht op  elkaar  (inproduct is nul)