VWO WB, 2018 - I   Bezem

 

Een familie van gebroken functies.
       

Voor elke positieve waarde van a is de functie fa met domein 〈0,→〉  gegeven door:
       

       
De grafieken van f1 en f3 zijn in onderstaande figuur getekend.
       

       
De grafieken van f1 en f3 snijden elkaar in één punt.
       

3p.

1.

 Bereken exact de x -coördinaat van dit punt.
       

De grafiek van f1 snijdt de x-as in de punten (1, 0) en (2, 0) . De grafiek van f1 en de x-as sluiten een vlakdeel in.
       

5p.

2.

 Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
       
Voor elke waarde van a, met a > 0 , heeft de grafiek van fa één top.
       

4p.

3.

 Bewijs dat al deze toppen dezelfde y-coördinaat hebben.
       
Het klimmen van een vliegtuig.
       

Een vliegtuig komt los van de grond en ‘klimt’ zo snel mogelijk. Naarmate het toestel hoger komt, wordt de lucht ijler. Hierdoor wordt het steeds moeilijker om hoger te komen. Op zekere hoogte is het niet meer mogelijk om verder te klimmen. Deze maximale hoogte wordt het absolute plafond genoemd.

In deze opgave gebruiken we het volgende model van de hoogte van een eenmotorig vliegtuig op een bepaald moment:
       

       

Hierin is:

- t de tijd in minuten vanaf het moment dat het vliegtuig los van de grond komt;
- h(t) de hoogte in ft  na t minuten;     (ft is één Engelse voet; 1 ft = 30,48 cm)
- A het absolute plafond in ft;
- k een positieve constante.

De waarden van A en k zijn afhankelijk van het type vliegtuig. In de figuur is een globale grafiek van h weergegeven.
       

       

Een vliegtuig voert een testvlucht uit. Om het absolute plafond te bepalen wordt tijdens het klimmen op verschillende tijdstippen de hoogte bepaald.
Na 10 minuten klimmen is de hoogte 10760 ft. Na 20 minuten klimmen is de hoogte 16650 ft. Met deze gegevens kan het absolute plafond van dit vliegtuig worden berekend.
       

4p.

4.

Bereken het absolute plafond van dit vliegtuig in ft. Rond je antwoord af op honderden ft.
       
Van een ander vliegtuig is bekend dat k = 13,6.
       

4p.

5.

Bereken hoelang na het opstarten dit vliegtuig zich op de helft van zijn absolute plafond bevindt. Rond je eindantwoord af op hele seconden.
       

Het zou veel vermogen van de motor vragen wanneer een vliegtuig op of vlak onder het absolute plafond zou vliegen. Er blijft dan te weinig vermogen over om zijwaarts te kunnen manoeuvreren. Daarom is de hoogte waarop een vliegtuig in de praktijk vluchten maakt, lager dan het absolute plafond.

Een vliegtuig vliegt meestal op een hoogte die wordt aangeduid als het praktische plafond P. Deze hoogte wordt gedefinieerd als de vlieghoogte waarop de klimsnelheid h' (t) gelijk is aan 100 ft per minuut.

Iemand beweert dat P uitgerekend kan worden, uitgaande van de waarden van A en k, met de volgende formule:

P = A - 100k
       

5p.

6.

 Onderzoek of deze bewering juist is
       
Stralen en Koorden.
       

Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een koorde AB , met AB < AM .
Op BM bevindt zich een punt C zo dat AC = AB .

∠BAC noemen we α . Zie de figuur.
       

       
Er geldt: ∠AMB = α.
       

4p.

7.

 Bewijs dit.  
       

In onderstaande figuur is de situatie uitgebreid. D is het snijpunt van het verlengde van lijnstuk AC met de cirkel. Ook lijnstuk MD is getekend.
       

       

4p.

8.

 Bewijs dat ∠AMD = 3α.
       
       
Paraboloïde.
       

De functie f is gegeven door  f (x) = 1 - x2.

De grafiek van f is een parabool met top T (0,1) . Verder is gegeven lijn k met vergelijking y = p , met p > 1. Deze lijn snijdt de y-as in punt R en de parabool in twee punten. Lijn l is de raaklijn aan de parabool in het linker snijpunt. Deze lijn snijdt de y-as in punt S.

Zie de  figuur.
     

6p.

9.

Bewijs dat T het midden is van lijnstuk RS.
       

Het gebied, begrensd door lijn k, raaklijn l en de y-as, wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een kegel. De inhoud van deze kegel is 2/3π • (p - 1)2

Het gedeelte van de parabool dat zich boven de lijn k bevindt, wordt ook om de y-as gewenteld. Zo ontstaat een zogenaamde paraboloïde. Zie de figuur hiernaast.

De verhouding van de inhoud van de paraboloïde en de inhoud van de kegel is onafhankelijk van p.

     

6p.

10.

 Bewijs dit.
       
Park-A-Kid
       

Een Park-A-Kid is een hekwerk dat dient ter bescherming van baby’s en peuters. Het kan
op verschillende plekken in huis worden neergezet. Zie de foto. Het hekwerk ontstaat door meerdere hekjes aan elkaar te bevestigen. Elk hekje is 60 cm breed.

Een standaard Park-A-Kid bestaat uit zes hekjes. Door de hekjes aan elkaar te bevestigen en ten slotte het einde van het laatste hekje te bevestigen aan het begin van het eerste hekje, ontstaat een box waar een peuter niet zelfstandig uit kan. Zie de figuur hiernaast. Als elke twee aan elkaar bevestigde hekjes niet in elkaars verlengde staan, heeft het bovenaanzicht de vorm van een zeshoek.

We bekijken opstellingen waarbij deze zeshoek kan worden verdeeld in een rechthoek en twee gelijkbenige driehoeken die tegen twee overstaande zijden van de rechthoek aan liggen. De driehoeken hebben tophoek x (in radialen) met 0 < x < π . In onderstaande figuur zijn twee mogelijkheden getekend.

 

       

       

Voor de oppervlakte A (in cm2) van dergelijke zeshoeken geldt:   A(x) = 7200sin(1/2x) + 3600sin(x)
       

5p.

11.

 Bewijs dat deze formule juist is.
       

De oppervlakte van zo’n zeshoek als hiervoor is maximaal voor een zekere waarde van x.
       

5p.

12.

 Bereken exact voor welke waarde van x de oppervlakte maximaal is.
       

In de rest van deze opgave bekijken we opstellingen waarbij de zes hekjes van een standaard Park-A-Kid worden gebruikt om een afzetting te maken in een rechte hoek van een kamer. Door ook de muren van de kamer te benutten, kan een groot grondvlak worden verkregen.

Er zijn meerdere opstellingen mogelijk. In de figuur hieronder zijn twee mogelijkheden in bovenaanzicht weergegeven.
       

       

Bij opstelling I is het grondvlak een vierkant. Bij opstelling II is het grondvlak te verdelen in zes gelijkbenige congruente driehoeken, zoals in de figuur hieronder is weergegeven.
       

       

Bij opstelling II is de oppervlakte van het grondvlak groter dan bij opstelling I.
       

6p.

13.

Bereken het verschil van de twee oppervlaktes. Rond je eindantwoord af op een geheel aantal cm2.
       

 

In Drieën.
       

Voor 0 ≤ x ≤ π is de functie f gegeven door f (x) = sin(x) .

De lijnen met vergelijking x = 1/2π - a en  x = 1/2π + a  met 0 ≤ a ≤ 1/2π  snijden de grafiek van f  in de punten P en Q. Zie de figuur.
Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f wordt door de twee lijnen in drie delen verdeeld. In de figuur zijn deze drie delen aangegeven met U, V en W.
       

       

Vanwege de lijnsymmetrie van de sinusgrafiek hebben U en W gelijke oppervlakte voor elke waarde van a.
Er is een waarde van a waarvoor U, W én V gelijke oppervlakte hebben.
       

7p.

14.

Bereken in dat geval de y-coördinaat van P en Q. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
       
Evenwijdig.
       

Gegeven is een driehoek ABC, waarin ∠B groter is dan ∠C . Hierop passen we de volgende constructie toe:
- we tekenen de omgeschreven cirkel van driehoek ABC;
- we tekenen de raaklijn in A aan de omgeschreven cirkel van driehoek ABC;
- het snijpunt van deze raaklijn met het verlengde van BC noemen we R;
- we tekenen de omgeschreven cirkel van driehoek ABR;
- we tekenen de raaklijn m in R aan deze omgeschreven cirkel.
     
Het eindresultaat van deze constructie staat in de figuur hiernaast.

Er geldt dat lijn m evenwijdig is aan lijn AC.
       

4p.

15.

 Bewijs dat lijn m inderdaad evenwijdig is aan lijn AC.
       

In de figuur hieronder  is voor een driehoek ABC de hierboven beschreven constructie toegepast. Van de driehoek is alleen zijde AC gegeven. Bovendien is het resultaat van de constructie gegeven: de lijn m met daarop punt R.
       

       

3p.

16.

 Teken in deze  figuur punt B. Licht je werkwijze toe.
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. x + 2/x - 3 = x/3 + 6/x - 3
vermenigvuldig met 3x:   3x2 + 6 - 9x = x2 + 18 - 9x
2x2 = 12
x2 = 6
x = √6  (x = - √6 voldoet niet, want zit niet in het domein)
   
2.

  = (-2 - 2ln2 + 6) - (-1/2 - 0 + 3)
=  4 - 2ln2 - 21/2
= 3/2 - 2ln2
   
3. fa ' = 0
1/a  - 2a/x2 = 0
x2 = 2a2
x = a√2 

y =  a√2/a + 2a/a√2 - 3
= √2 + 2/√2 - 3
= √2 + √2 - 3
= 2√2 - 3
Dat is constant, dus alle toppen hebben dezelfde y.
 
   
4. 10760 = A • (1 - e-10/k)
16650 = A • (1 - e-20/k )
twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Als je ze op elkaar deelt valt A weg:  (of als je van de eerste maakt A = .... en dat invult in de tweede)
 

  10760 • (1 - e-20/k) = 16650 • (1 - e-10/k)

het mag nu met intersect van de GR, maar algebraïsch is natuurlijk leuker:

noem e-10/k = p
10760 • (1 - p2) = 16650 • (1 - p)
10760 - 10760p2 = 16650 - 16650p
10760p2 - 16650p + 5890 = 0
ABC-formule:  p = (16650 ±√23716900)/21520  =   (16650 ± 4870)/21520 = 1  of  0,54739...
de eerste geeft  e-10/k = 1 dus -10/k = 0  en dat geeft geen oplossing.
de tweede geeft  e-10/k = 0,54739...
Dan is  10760 = A • (1 - 0,54739...)
10760 = A • 0,4526...
A = 23773,63...
Dat is ongeveer 23800 ft.
   
5. h = 1/2A  geeft:
1/2A = A • (1 - e-t/13,6)
1/2 = 1 - e-t/13,6
e-t/13,6 = 1/2
-t/13,6 = ln(1/2)
t = -13,6 • ln(1/2) = 9,4268 minuten
Dat is 9,4268... • 60 = 566 seconden.
   
6. h '= -A • e-t/k • -1/k = 100
A/k • e-t/k = 100
e-t/k =  100k/A     ....(1)

uit de formule voor h geldt:   h = P = A • (1 - e-t/k)
P/A = 1 - e-t/k
e-t/k = 1 - P/A    ......(2)

(1) en (2) combineren:  100k/A = 1 - P/A
100k = A - P
P = A - 100k
Dat klopt dus. 
   
7. ∠MBA = 90 - 0,5α  (gelijkbenige driehoek ABC)

∠MAB = ∠MBA want ABM is ook gelijkbenig want twee zijden zijn gelijk aan de straal van de cirkel.

∠ABM = 180 - (90 - 0,5α) - (90 - 0,5α) = α (hoekensom driehoek ABM.

 
   
8. ∠BMD is de middelpuntshoek van boog BD en dat is het dubbele van de omtrekshoek van boog BD.
De omtrekshoek van BD is ∠BAD = α
Dus ∠BMD = 2α

∠AMB = α  (vorige vraag)

Dus ∠AMD = α + 2α = 3α
   
9. y = p  geeft  1 - x2 = p
x2 = 1 - p  dus  x = -√(1 - p)  (minteken voor het linkersnijpunt).
y' =  -2x
y' in het raakpunt is dus -2 • -√(1 - p) = 2√(1 - p)
De raaklijn heeft vergelijking  y = 2√(1 - p) • x + b  en moet door  het raakpunt  (-√(1 - p), p) gaan.
Dat geeft  p = 2√(1 - p) • -√(1 - p) + b
p = -2(1 - p) + b
p = -2 + 2p + b
b = 2 - p
dus S = (0, 2 - p)
R = (0, p)   en  T = (0, 1)
1 ligt inderdaad midden tussen p en 2 - p.  (want (p + 2 - p)/2 = 1)
   
10. y = 1 - x2  geeft  x2 = 1 - y
 
  = π{1 - 1/2) - (p - 1/2p2)}
= π{1/2 - p + 1/2p2 }
1/2π {p2 - 2p + 1}
= 1/2π • (p - 1)2

de verhouding met de kegel is dus constant (want (p - 1)2 valt weg, en gelijk aan 1/2 : 2/3
Dat is 3 : 4
   
11. sin(1/2x) = BC/60  dus  BC = 60 • sin(1/2x)
cos(1/2x) = AB/60  dus  AB = 60 • cos(1/2x)

driehoek ABC heeft oppervlakte

 1/2 • 60cos(1/2x) • 60 sin(1/2x) = 1800cos(1/2x)sin(1/2x) 
Daar zijn er vier van en die hebben samen oppervlakte 7200cos(1/2x)sin(1/2x) 

De rechthoek heeft oppervlakte 60 • 2 • 60 sin(1/2x)

De totale oppervlakte is:
7200cos(1/2x)sin(1/2x) + 7200sin(1/2x)    ....(1)

maar
7200cos(1/2x)sin(1/2x)
= 3600 • 2sin(1/2x)cos(1/2x)
= 3600sin(2 • 1/2x)   (verdubbelingsformule)
= 3600sin(x) 

Dat geeft samen met (1) de gevraagde formule.

   
12. A(x) = 7200sin(1/2x) + 3600sin(x)
A' = 1/2 • 7200cos(1/2x) + 3600cos(x) = 0
3600cos(1/2x) = -3600cos(x)
cos(1/2x) = -cos(x)
cos(1/2x) = cos(π - x)
1/2x = π - x + k2π  ∨  1/2x = -π + x + k2π
3/2x = π + k2π  ∨  -1/2x = -π + k2π
x = 2/3π + k4/3π  ∨  x = π + k2π
De eerste geeft het maximum:  x = 2/3π
   
13. elke van die zes driehoeken is gelijkbenig met een basis van 60 cm en een tophoek van 90/6 = 15º
De basishoeken zijn dan (180 - 15)/2 = 82,5º
Voor de hoogte h geldt  tan(82,5) = h/30  dus h = 30tan(82,5) = 227,87....
De oppervlakte is 1/2 • 60 • 227,87... = 6936,178.... cm2
De zes driehoeken samen hebben oppervlakte 41017 cm2

Het vierkant heeft oppervlakte 1802 = 32400 cm2

Dat scheelt 41017 - 32400 = 8617 cm2
   
14. De hele oppervlakte is:
 
  Eén deel is een derde daarvan, dus:
 
  cos(1/2π - a) = cos(0) - 2/3 = 1/3
De y-coördinaat is  sin(1/2π - a)
sin2(1/2π - a) + cos2(1/2π - a) = 1
sin2(1/2π - a) = 1 - 1/9 = 8/9
sin(1/2π - a) = √(8/9) ≈ 0,943
   
15.

 

∠BCA = ∠BAR  (hoek tussen koorde en raaklijn is omtrekshoek van koorde AB
∠BRm = ∠BAR  (hoek tussen koorde en raaklijn is omtrekshoek van koorde BR)
Dus ∠BCA = ∠BRm  dus zijn m en AC evenwijdig (Z - hoeken)
   
16. Teken CR en AR.
Teken AB als je weet dat ∠RAB = ∠BRm (zie de vorige vraag)

B ligt op CR en op AB dus is het snijpunt van die twee.