VWO WB, 2013 - II

 

Eerste- en derdegraadsfunctie.
       

De functies f en g zijn gegeven door f (x) = (x2 - 1)(x - 11/2) en  g(x) = -x + 11/2
De grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt A(0,11/2 ) en de x-as in het punt B(11/2, 0) .
De grafiek van g raakt in punt A aan de grafiek van f.
       
4p. 1. Toon dit aan met behulp van differentiėren.
     

 

In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend.
       

       
De grafiek van f verdeelt driehoek OAB in twee delen.
       
6p. 2.

Toon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het linkerdeel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechterdeel.
     

 

 

Verzadigingsgraad van Hemoglobine
       

Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de hemoglobine in het bloed. De zuurstof wordt in de longen aan de hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeven. Het percentage van de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de verzadigingsgraad van hemoglobine genoemd. Deze verzadigingsgraad hangt af van de partiėle zuurstofdruk; dit is het deel van de totale luchtdruk in de longen dat veroorzaakt wordt door de zuurstof.
In 1910 heeft de fysioloog Hill gevonden dat onder bepaalde omstandigheden het verband tussen de partiėle zuurstofdruk p en de verzadigingsgraad v van hemoglobine kan worden benaderd met de formule:
       

       

Hierin is:
v de verzadigingsgraad van hemoglobine in procenten en
p de partiėle zuurstofdruk in mmHg (millimeter kwik, de toen gebruikte eenheid voor druk).
       
3p. 3.

Bereken de partiėle zuurstofdruk als de verzadigingsgraad van hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmHg.
       

In de figuur is de grafiek getekend van v als functie van p volgens de benaderingsformule van Hill.
       

       
4p. 4.

Bereken met behulp van de afgeleide functie van v voor welke waarde van p de grafiek het steilst is. Rond je antwoord af op een gehele waarde.
     

 

Hill vond zijn formule doordat hij ontdekte dat   v/(100 - v)  evenredig is met p3.
De evenredigheidsconstante is 4 • 10-5.
Dat wil zeggen:  v/(100 - v) = 0,00004p3

       
4p. 5.
     

 

Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting.
       
De functie f is gegeven door:  f(x) = (1 + lnx)/x

Voor elke waarde van c is de functie gc gegeven door  gc(x) = (c + lnx)/x

De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Vervolgens wordt de zo verkregen grafiek ten opzichte van de y-as vermenigvuldigd met 1/e . 
Hierdoor ontstaat de grafiek van gc voor een waarde van c.
     

4p. 6. Bereken exact deze waarde van c.
   

 

In de figuur is de grafiek van g3 getekend. Ook de grafiek van f is in de figuur getekend.
W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g3 en de lijnen met vergelijking x = 1 en x = e.
     
4p. 7. Bereken exact de oppervlakte van W.
   

 

 
       
Gelijke hoeken.
       

Gegeven is een hoek A en een cirkel c. Een been van hoek A snijdt de cirkel c in de punten B en C. Het andere been van hoek A raakt de cirkel c in punt D. Zie de figuur.

De driehoeken ABD en ADC zijn gelijkvormig.

     
3p. 8. Bewijs dit.
     

 

In de figuur hiernaast  is de bissectrice van hoek A getekend. Deze snijdt lijnstuk BD in punt P en lijnstuk CD in punt Q.
     
4p. 9. Bewijs dat de hoeken PQD en QPD even groot zijn.
     

 

Een hartvormige kromme.
       

Voor 0 £ t £ 2p wordt de beweging van een punt P beschreven door de bewegingsvergelijkingen;

     
     

In de figuur hiernaast is de baan van P getekend.
Voor t = 0 en t = 2π bevindt P zich in (1, 0) .
     
8p. 10.

Bereken exact de maximale waarde van de y-coördinaat van P.
     

 

De lijn met vergelijking x = 1 snijdt de baan van P behalve in het punt
(1, 0) ook in de punten (1, a) en (1, -a) , met a > 0 .
Zie de figuur hiernaast.

     
6p. 11. Bereken exact de waarde van a.
     

 

De leeftijd van ons zonnestelsel.
       

Volgens sterrenkundigen zijn de meteorieten die op aarde terechtkomen tegelijk met ons zonnestelsel ontstaan.

Meteorieten bestaan onder andere uit de stoffen rubidium-87 (Rb-87), strontium-87 (Sr-87) en strontium-86 (Sr-86).
Het radioactieve Rb-87 vervalt tot Sr-87. De hoeveelheid Sr-86 verandert niet.

Om de leeftijd t (in jaren) van een meteoriet te bepalen gebruikt men onder andere de verhouding:

 
       

Deze verhouding verandert voortdurend vanaf het ontstaan van een meteoriet. Er geldt:   a(t) = a(0) • e-lt

Hierin is λ de vervalconstante van Rb-87. Die is 1,42 • 10-11 per jaar. De constante a(0) is de verhouding tussen de hoeveelheden Rb-87 en Sr-86 op t = 0 .
       
3p. 12.

Bereken op algebraļsche wijze in hoeveel tijd de waarde van a gehalveerd wordt. Geef je antwoord in miljarden jaren nauwkeurig.
     

 

De waarde a(0) is onbekend en verschilt per meteoriet. Daarom kunnen we de leeftijd van een meteoriet niet bepalen op grond van de gemeten waarde a(t) alleen. Leeftijdsbepaling is wel mogelijk door naast a(t) ook gebruik te maken van een tweede verhouding:
       

Omdat Rb-87 vervalt tot Sr-87 en Sr-87 zelf niet vervalt, verandert de waarde van de som van a(t) en b(t) voor een bepaalde meteoriet niet in de loop der tijd. Dit betekent dat a(t) + b(t) = a(0) +b(0) voor elke t ³ 0 .

Uit a(t) + b(t) = a(0) + b(0) en a(t) = a(0) • e-lt  volgt:   b(t) + (1 - elt)a(t) = b(0)

       
3p. 13. Toon dit aan.
     

 

Van twee even oude meteorieten, M1 en M2 , zijn de waarden a(t) en b(t) bepaald, waarbij t de leeftijd van deze meteorieten is. Zie de tabel.
       
meteoriet a(t) b(t)
M1 0,60 0,739
M2 0,20 0,713
       
Door gebruik te maken van:
- b(t) + (1 - elt)a(t) = b(0)
- de aanname dat b(0) voor elke meteoriet hetzelfde is en
- de gegevens uit de tabel

kan de leeftijd van de meteorieten (en volgens sterrenkundigen dus ook die van ons zonnestelsel) worden berekend.
       
4p. 14. Bereken deze leeftijd. Rond je antwoord af op miljarden jaren.
     

 

Koordenvierhoek.
       

Gegeven is een koordenvierhoek ABCD met diagonalen AC en BD.
Op diagonaal BD ligt het punt E zo dat EA = ED. Op diagonaal AC ligt het punt F zo dat FC = FB .
Zie de volgende figuur.
       

       
De punten A, B, F en E liggen op een cirkel.
       
5p. 15. Bewijs dit.  
     

 

In onderstaande figuur zijn ook het lijnstuk EF en de cirkel door A, B, F en E getekend.
       

       
4p. 16. Bewijs dat EF evenwijdig is aan DC.
     

 

Lijnstuk en parabool.
       
Op het domein [0, 4] is de functie f gegeven door  f(x) = 8 - 1/2x2.
De randpunten van de grafiek van f zijn P(0, 8) en Q(4, 0). Zie de figuur.
Verder is gegeven een lijnstuk PR met eindpunten P(0, 8) en R(a, 0) , waarbij a > 4. In de figuur is voor een waarde van a ook het lijnstuk PR getekend.

Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f en het lijnstuk PR elkaar snijden in het midden van PR.

     
4p. 17. Bereken exact deze waarde van a.
   

 

De lengte van boog PQ van de grafiek van f is gelijk aan
       
5p. 18.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig voor welke waarde van a de lengte van boog PQ van de grafiek van f gelijk is aan de lengte van lijnstuk PR.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiėle (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Als de grafieken van f en g elkaar raken in punt A, dan moet A op beide grafieken liggen, en bovendien moeten de grafieken in A dezelfde helling hebben.
f(0) = (02 - 1)(0 - 11/2) = -1• -11/2 = 11/2
g(0) = - 0 + 11/2 = 11/2
dus A ligt inderdaad op beide grafieken. 

f(x) = x2 • x - 11/2x2 - x + 11/2 = x3 - 11/2x2 - x - 11/2
f '(x) = 3x2 - 3x - 1  dus  f '(0) = -1
g '(x) = -1  dus ook g'(0) = -1

De grafieken van f en g hebben in A dezelfde helling, dus raken ze elkaar daar.  
   
2. Snijpunt met de x-as:  (x2 - 1)(x - 11/2) = 0
x2 = 1 ∨  x = 11/2
x = 1 ∨  x = -1 ∨  x = 11/2
Tussen O en B in snijdt de grafiek van f de x-as in (1,0)
 
  = (1/4 - 1/2 - 1/2 + 11/2) - (0)  = 3/4
De oppervlakte van de gehele driehoek is  1/2 • 11/2 • 11/2 = 9/8
De oppervlakte van het rechterdeel is dan  9/8 - 3/4  = 3/8 en dat is onderdaad de helft van de oppervlakte van het linkerdeel (3/4)
   
3.
  75(p3 + 25000) = 100p3  ⇒ 75p3 + 1875000 = 100p3  ⇒  1875000 = 25p3
⇒ p3 = 75000 ⇒  p = 750001/3  ≈ 42 mmHg
   
4.
  v ' is maximaal als de afgeleide ervan nul is.
 
  Dat is nul als de teller nul is;
15000000p(p3 + 25000)2 - 45000000p4(p3 + 25000) = 0
p • (p3 + 25000) • {15000000•(p3 + 25000) - 45000000p3} = 0
p = 0  ∨  p3 + 25000 = 0  ∨ 15000000p3 + 3,75•1011 - 45000000p3 = 0
Het gaat om de laatste vergelijking:
30000000p3 = 3,75•1011 ⇒  p3 = 12500  ⇒  p = 125001/3 ≈ 23
In de figuur zie je dat het daar inderdaad gaat om het steilste deel van de grafiek.

(Het kan natuurlijk ook door v' in Y1 van de GR  in te voeren en dan calc - maximum te gebruiken)
   
5. v/(100 - v) = 0,00004p3
v = 0,00004p3 • (100 - v)
1/0,00004 • v = p3  • (100 - v)
25000v = 100p3 - vp3
25000v + vp3 = 100p3
v(25000 + p3) = 100p3
 
   
6. vermenigvuldigen tov de x-as met factor e betekent de hele formule met e vermenigvuldigen.
Dat geeft  y =  e • (1 + lnx)/x  
vermenigvuldigen tov de y-as  met factor 1/e betekent elke x vervangen door ex
Dat geeft  y = e • (1 + ln(ex))/(ex)   = (1 + lnex)/x 
Dat moet gelijk zijn aan  g(x) dus moet gelden   c + lnx = 1 + ln(ex)
c + lnx = 1 + lne + lnx
c = 1 + lne = 1 + 1 = 2   
   
7.
   
8. ∠ADB is de hoek tussen koorde DB en raaklijn AD
Die is gelijk aan de omtrekshoek van koorde DB
De omtrekshoek van koorde DB is ∠BCD, dus  ∠ADB = ∠BCD

Verder hebben beide driehoeken ook nog ∠A gemeenschappelijk, dus hebben de driehoeken twee gelijke hoeken, dus zijn ze gelijkvormig (hh)
   
9. ∠QPD is de buitenhoek van driehoek APD, dus  ∠QPD = 1/2∠A + ∠ADB
∠PQD is de buitenhoek van driehoek AQC, dus  ∠PQD = 1/2∠A + ∠ACD
Maar omdat  ∠ADB = ∠ACD (zie vraag 8) geldt ook dat  ∠QPD = ∠PQD
   
10. Als de y-coördinaat maximaal is, is de afgeleide ervan nul.
y ' = 2cost - 2cos(2t) = 0
2cost = 2cos(2t)
cost = cos(2t)
t = 2t + k • π  ∨  t = -2t + k • 2π
t = k • 2π  ∨  3t = k • 2π
t = k • 2π ∨  t = k • 2/3π
De maximale y  wordt bereikt voor t = 2/3π
en die  is gelijk aan  2sin(2/3π) - sin(4/3π) = 2 • 1/2√3 - -  1/2√3 = 11/2√3
   
11. x = 1 geeft  2cost - cos(2t) = 1
2cost - (2cos2t  - 1) = 1
2cos2t - 2cost = 0
2cost • (cost - 1) = 0
cost = 0  ∨ cost = 1
t = 0  ∨  t = 1/2π   ∨   t = 1 1/2π  ∨  t = 2π
 t = 1/2π   en   t = 11/2π  zijn de gezochte twee punten
dan is  y = 2sin(1/2π) - sinπ  = 2  of  y = 2sin(11/2π) - sin3π = -2
Dat betekent dus dat  a = 2
   
12. a wordt gehalveerd als geldt  e-λt = 0,5
-λt = ln0,5  dus  t = ln0,5/λ = ln0,5/-1,42•10-11  = 4,9 • 1010 jaar, dus 49 miljard jaar
   
13. a(t) + b(t) = a(0) + b(0)
a(t) + b(t) - a(0) = b(0)

a(t) = a(0) • e-λt   geeft  a(0) = a(t)/e-λt  =  a(t) • eλt  en vul dat hierboven voor a(0) in:
a(t) + b(t) - a(t) • eλt = b(0)
a(t) • (1 - eλt ) + b(t) = b(0)
   
14. a(t) • (1 - eλt ) + b(t) = b(0) 

vul nu voor de eerste meteoriet in: b(t) = 0,739 en  l = 1,42 • 10-11  en a(t) = 0,60
0,739 + 0,60 • (1 - e-1,42• 10-¹¹• t) = b(0)

vul nu voor de tweede meteoriet in:  b(t) = 0,713 en  l = 1,42 • 10-11  en a(t) = 0,20
0,713 + 0,20 • (1 - e-1,42• 10-¹¹• t) = b(0)

Maar b(0) is voor elke meteoriet gelijk, dus moet gelden:   
 0,739 + 0,60 • (1 - e-1,42• 10-¹¹• t) = 0,713 + 0,20 • (1 - e-1,42• 10-¹¹• t)
0,739 + 0,60 -  0,60 • e-1,42• 10-¹¹• t = 0,713 + 0,20 - 0,20 •  e-1,42• 10-¹¹• t
0,739 + 0,60 - 0,713 - 0,20 = 0,60 • e-1,42• 10-¹¹• t - 0,20 • e-1,42• 10-¹¹• t 
0,426 = 0,40 • e-1,42• 10-¹¹• t
1,065 = e-1,42• 10-¹¹• t
ln1,065 = -1,42 • 10-11 • t
t = 4,43 • 109 jaar  dus ongeveer 4 miljard jaar.
   
15. ∠ADB = ∠ACB  (beiden de omtrekshoek van koorde AB)
∠ADB = ∠DAE  en  ∠ACB = ∠CBF  (beiden vanwege de gelijkbenige driehoeken)

dus is  ∠DAE = ∠CBF.

∠AEB = ∠DAE + ∠ADB  (buitenhoek driehoek ADE)
∠AFB = ∠CBF + ∠ACB (buitenhoek driehoek CFB)

Dus is ∠AEB = ∠AFB  (de roden zijn gelijk en de blauwen zijn gelijk)
Dus liggen de punten op een cirkel (constante hoek)
   
16. ∠ABE = ∠AFE  (beiden de omtrekshoek van koorde AE)
∠ABD = ∠ACD (beiden de omtrekshoek van koorde AD)
Dus  ∠AFE = ŠACD
Dan is  EF // DC  (F-hoeken)
   
17. Het midden van PR ligt bij x = 1/2a
Dan is  y = 8 - 1/2x2 = 8 - 1/2(1/2a)2 = 8 - 1/8a2
Maar dat moet zijn y = 4, want het is het midden van PR.
dus moet gelden 8 - 1/8a2 = 4
4 = 1/8a2  ⇒  a2 = 32   ⇒   a = √32
   
18. f '(x) = -x  dus  f '(x)2 = x2  
 
  Y1 = Ö(1 + X^2)  en dan calc - ņf(x)dx   met de grenzen X = 0 en X = 4 geeft lengte 9,2936

de lengte van PQ is gelijk aan √(a2 + 82) = √(a2 + 64)

dat moet gelijk zijn, dus moet gelden  √(a2 + 64) = 9,2936
a2 + 64 = 86,371
a2 = 22,371
a = 4,73