VWO WB, 2012 - II

 

Een regenton.
       

Op het domein [0, 1] is de functie r gegeven door  r(x) = 1/10 • √(5 + 15x - 15x2).

W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x = h , met 0 < h ≤1. Zie de onderstaande figuur.
       

       

Voor het volume V van het omwentelingslichaam dat ontstaat door vlakdeel W om de x-as te wentelen, geldt:
       
5p. 1. Toon aan dat deze formule voor V juist is.
     

 

Als de grafiek van r om de x-as gewenteld wordt, ontstaat een figuur die lijkt op een regenton. Voor x, h en r nemen we de meter als eenheid, zodat de ton 1 meter hoog is.
V is dus het volume van het water in de ton als het water h meter hoog staat.

     
5p. 2.

Bereken de waterhoogte in de ton als deze voor drie vierde deel is gevuld. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.
     

 

Een ellipsvormige baan.
         
Punt P doorloopt in het Oxy-vlak een ellipsvormige baan volgens de bewegingsvergelijkingen

     
Hierin is t de tijd.
De baan van P is gegeven in de figuur hiernaast

Gedurende de beweging verandert de afstand van P tot de oorsprong.
     
3p. 3.

Bereken de maximale afstand van P tot de oorsprong. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
       

 
         
4p. 4. Bereken exact de snelheid van P als t = 0 .
       

 

De baan van P snijdt de lijn met vergelijking y = 2x in de punten A en B. Zie de figuur hiernaast.

     
6p. 5. Bereken exact de coördinaten van A en B.
   

  
Bissectrices en omgeschreven cirkel.
         

Gegeven is een driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel.
De bissectrice van hoek A snijdt de omgeschreven cirkel in punt P en de bissectrice van hoek B snijdt deze cirkel in punt Q. Het snijpunt van de bissectrices is S. Zie de bovenste figuur hiernaast.

Er geldt: driehoek CPQ is congruent met driehoek SPQ.

     
3p. 6. Bewijs dit.
       

 

In de middelste figuur hiernaast  is in driehoek ABC ook de bissectrice van hoek C getekend.
Deze gaat door S en snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek ABC in punt R.

Met behulp van de congruentie van de driehoeken CPQ en SPQ volgt: de lijnen PQ en CR staan loodrecht op elkaar.

         

In de onderste figuur hiernaast  zie je alleen een cirkel waarop drie punten P, Q en R liggen.

Bij deze punten P, Q en R is er een driehoek ABC waarvoor geldt: A, B en C liggen op de gegeven cirkel zó dat de lijnen AP, BQ en CR de bissectrices zijn van de hoeken van driehoek ABC.

     
3p. 7. Teken in de figuur deze driehoek ABC.
Licht je werkwijze toe.
 

 
         

 

Medicijn in actieve vorm.
         

Sommige medicijnen kennen een passieve en een actieve vorm. Ze worden in passieve vorm ingespoten en door het lichaam omgezet in actieve vorm.

De hoeveelheid medicijn in passieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten nog niet is omgezet in actieve vorm, noemen we p(t). Als 25 mg wordt ingespoten, geldt de volgende formule:

p(t) = 25 • e-kt

Hierbij is k een positieve constante waarvan de waarde afhangt van het type medicijn. Hoe groter k, hoe sneller het medicijn in passieve vorm wordt omgezet in actieve vorm.

Om de werkzaamheid van het medicijn te onderzoeken, meet men hoe lang het duurt tot 99% van de hoeveelheid medicijn in passieve vorm is omgezet naar medicijn in actieve vorm. Deze tijdsduur t99 hangt af van k.
         
3p. 8. Druk t99 uit in k
       

 

Het medicijn in actieve vorm wordt door de lever afgebroken. De omzetting van medicijn in passieve vorm naar medicijn in actieve vorm en de afbraak van medicijn in actieve vorm vinden gelijktijdig plaats.

Een patiënt krijgt een injectie met een dergelijk medicijn. De hoeveelheid medicijn in actieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten in het lichaam zit, noemen we a(t). Voor a(t) geldt:

a(t) = 25(e-0,1t - e-0,4t)

In de figuur hiernaast is de grafiek van a getekend.

         

Het maximum van a noemen we amax . Dit maximum wordt aangenomen op tijdstip tmax .
         
4p. 9. Bereken tmax met behulp van differentiëren.
       

 
 

Als maat voor de tijdsduur die een medicijn werkzaam is, wordt gekeken naar de zogenoemde FWHM (Full Width at Half Maximum). Dat is de breedte van de piek in de grafiek van a ter hoogte van 1/2amax . Anders gezegd: de FWHM geeft aan hoe lang de hoeveelheid medicijn in actieve vorm in het lichaam minstens 50% is van de maximale hoeveelheid amax .

In de figuur hiernaast is de FWHM aangegeven.
         
6p. 10. Bereken de FMHW in uren nauwkeurig
       

 
Onafhankelijk van p.
         

Voor elke positieve waarde van p is een functie f gegeven door:   f (x) = -x3 + 3px2
De grafiek van f heeft twee punten met de x-as gemeenschappelijk: O(0, 0) en punt A. Zie onderstaande figuur.
De top van de grafiek van f die rechts van de y-as ligt, noemen we T.
De horizontale lijn door T snijdt de y-as in punt C en snijdt de verticale lijn door A in punt B. De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van f  binnen rechthoek OABC is in de figuur grijs gemaakt.
         

         
8p. 11.

Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van het grijze gebied en de oppervlakte van rechthoek OABC onafhankelijk is van p.
       

 
Drie halve cirkels.
         

Op een lijnstuk AB met lengte 4 ligt het punt C zo dat AC =1.
Op AC, CB en AB zijn halve cirkels getekend, alle drie aan dezelfde kant van AB. D is een punt op de grootste halve cirkel, niet gelijk aan A of B. AD en BD snijden de andere halve cirkels respectievelijk in de punten E en F. Zie de onderstaande figuur. Hierin zijn ook de lijnstukken CE en CF getekend.
         

         

Op grond van de stelling van Thales zijn de hoeken ADB, AEC en CFB recht.
Hieruit volgt dat CFDE een rechthoek is.
De driehoeken ACE, CBF en ABD zijn gelijkvormig.
De lengte van CE noemen we x.
De oppervlakte van rechthoek CFDE is dan 3√(x2 - x4)
         
3p. 12. Toon dit laatste aan.    
       

 

Als D over de grootste halve cirkel beweegt, verandert de oppervlakte van rechthoek CFDE.
Er zijn twee situaties waarin deze oppervlakte gelijk is aan √2 . Voor één van deze situaties geldt dat E op de linker helft van de boog AC ligt.
         
5p. 13. Bereken exact de lengte van CE voor deze situatie.
       

 

Als D over de grootste halve cirkel beweegt, is er een situatie waarin de oppervlakte van CFDE maximaal is.
         
7p. 14. Ga op algebraïsche wijze na of rechthoek CFDE in deze situatie een vierkant is.
       

 
Kleinste amplitude.
         

Voor elke waarde van a, met a >1, is de functie  fa met domein [0, π ] gegeven door:

In de figuur hiernaast is voor enkele waarden van a de grafiek van  fa getekend.
Er is een waarde van a waarvoor de amplitude minimaal is. De grafiek van fa bij deze waarde van a is in de figuur rood getekend.

     
8p. 15.

Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as en de grafiek van fa met de kleinste amplitude.
   

  
Vier punten op een cirkel.
         

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een middellijn AB. k is de raaklijn aan de cirkel in punt B.
Op de cirkel liggen twee punten P en Q zodanig dat P en Q beide aan dezelfde kant van AB liggen én dat Q op de kleinste boog tussen B en P ligt.
De snijpunten van de lijnen AP en AQ met k zijn respectievelijk P' en Q' .
         

         
Er geldt:  ∠ABP =  ∠AP' B
         
4p. 16. Bewijs dit.    
       

 
4p. 17. Bewijs dat P, Q, Q' en P' op één cirkel liggen.
       

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. r2 = 1/100(5 + 15x - 15x2 )
 
  = π • (1/100 • (5h + 71/2h2 - 5h3 ) - (0) ) = π • 1/100 • (5h + 71/2h2 - 5h3 )
haal nu 21/2 buiten haakjes:
 π • 1/100 • 21/2 • (2h + 3h2 - 2h3 ) = π/40 • (2h + 3h2 - 2h3 )
   
2. h = 1 geeft  V = π/40 • (2 + 3 - 2) = 3π/40
Als de ton 3/4 deel gevuld is, dan is Vwater  = 3/4 • 3π/40 = 9π/160
Dus moet gelden:  9π/160 =  π/40 • (2h + 3h2 - 2h3 )
Voer inde GR in Y1 = 9*π/160  en Y2 = p/40 • (2X + 3X^2 - 2X^3)
Calc - intersect geeft dan  X = h = 0,72 m
   
3. De afstand van P tot de oorsprong is  (Pythagoras):
OP = √(xP2 + yP2) = √( (1/2sint)2 + (sin(t + 1/3p))2 )
Voer deze formule in bij Y1 van de GR
Gebruik calc - maximum, en dat geeft dan y = 1,04
De maximale afstand is dus 1,04.
   
4. dx/dt = x'(t) = 1/2cost
dy/dt = y'(t) = cos(t + 1/3p)
voor t = 0  geldt   dx/dt = 1/2cos0 = 1/2
voor t = 0 geldt  dy/dt = cos(0 + 1/3p) = 1/2
Dan is v = √(0,52 + 0,52) = √1/2 = 1/2√2.
   
5. In A en B is y = 2x
Dat geeft  sin(t + 1/3π) = 2 • 1/2sint
sin(t + 1/3π) = sint
t + 1/3π = t + k2π  ∨  t + 1/3π = π - t + k2π
0 = -1/3π   ∨  2t = 2/3π + k2π
t = 1/3π + kπ
tussen 0 en 2π geeft dat de oplossingen  t = 1/3π en  t = 11/3π
t = 1/3π  geeft  A = (1/4√3, 1/2√3)
t = 11/3π  geeft  B = (-1/4√3, -1/2√3)
   
6. ∠CPQ = ∠CBQ (constante hoek) dus ∠CPQ is ook een "kruisje"
∠QPS = ∠QBA (constante hoek)  dus ∠QPS is ook een "kruisje"

∠CQP = ∠CAP (constante hoek) dus ∠CQP is ook een "rondje"
∠PQB = ∠PAB  (constante hoek) dus ∠PQB is ook een "rondje"

De driehoeken CQP en SQP hebben beiden een hoek met een "kruisje" en eentje met een "rondje"
Verder hebben ze zijde QP gemeenschappelijk
Dus zijn de driehoeken congruent (HZH) 
   
7. Teken lijnen:

door P loodrecht op QR
door Q loodrecht op PR
door R loodrecht op PQ

Die lijnen snijden de cirkel verder in A,B en C. 

   
8. Als 99% is omgezet, dan is nog 1% over.
Dus moet gelden 0,01 = e-kt
-kt = ln(0,01)  = ln(100-1) = -ln100
kt = ln100
t = ln100/k
   
9. a'(t) = 25 • (-0,1e-0,1t + 0,4e-0,4t)
Voor het maximum moet gelden  a'(t) = 0

Dat mag met de GR via calc - zero, maar laten we het voor de grap algebraïsch doen:

25 • (-0,1e-0,1t + 0,4e-0,4t) = 0
-0,1e-0,1t + 0,4e-0,4t = 0
0,1e-0,1t = 0,4e-0,4t
 
  Daaruit volgt  t = ln4/0,3 = 31/3ln4 ≈ 4,62.
   
10. Voer de formule voor a in in de GR bij Y1
calc - maximum heeft een amax van  11,8
de helft daarvan is 5,9.
Y2 = 5,9 en dan intersect geeft  t = 1,0 en t = 14,3
FWHM is dan  14,3 - 1,0 ≈ 13 uur
   
11. punt A:  f(x) = 0 ⇒  -x3 + 3px2 = 0 ⇒  x2(-x + 3p) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x = 3p  Dus A = (3p, 0)

de rechthoek:
T:  f ' (x) = 0 ⇒ -3x2 + 6px = 0  ⇒  3x(-x + 2p) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x = 2p
x = 2p geeft  y =   -(2p)3 + 3p • (2p2) = -8p3 + 3p • 4p2 =  -8p3 + 12p3 = 4p3    dus  T = (2p, 4p3)
De oppervlakte van de rechthoek is dan   3p • 4p3  = 12p4

het grijze gebied:    
 
   
  de verhouding is dan  27/4p4 : 12p4 = 27/4 : 12 = 27 : 48 = 9 : 16  en dat is onafhankelijk van p
   
12. ACE en CBF zijn gelijkvormig met factor 3
Dus als EC = x dan is BF = 3x
Pythagoras:  CF2 = 32 - (3x)2 = 9 - 9x2    CF = √(9 - 9x2) = √(9(1 - x2)) = √9 • √(1 - x2) = 3√(1 - x2)
De oppervlakte van CFDE is dan  x • 3√(1 - x2) = 3√x2 √(1 - x2) = 3√(x2 (1 - x2)) = 3√(x2 - x4)
   
13. 3√(x2 - x4) = √2
kwadrateren:  9(x2 - x4 ) = 2  ⇒   9x2 - 9x4 = 2  ⇒  9x4 - 9x2 + 2 = 0
noem nu x2 = p  dan staat er  9p2 - 9p + 2 = 0
De ABC-formule geeft dan  p = (9 ± √(81 - 4•9•2)/18 = (9 ± 3)/18 = 1/3  ∨  2/3
Omdat E op de linkerhelft van boog AC moet liggen moet je de grootste waarde nemen.
p = x2 = 2/3 ⇒  x = √(2/3) = 1/3√6.
   
14. De oppervlakte van CFDE is maximaal als de afgeleide ervan nul is.
 
  Dat is nul als de teller nul is.
-1,5(2x - 4x3) = 0   ⇒  2x - 4x3 = 0   ⇒  2x(1 - 2x2) = 0     
⇒ x = 0  ∨   2x2 = 1   ⇒   x = 0  ∨  x = √(1/2) ∨   x = -√(1/2)  
De gezochte oplossing is  x = √(1/2)
De oppervlakte van de rechthoek is dan  3√(x2 - x4) = 3√(1/2 - 1/4) = 3√(1/4) = 3/2
 
  Dat is niet gelijk aan x = √(1/2) dus is de rechthoek geen vierkant.
   
15. De amplitude is  A =  a/lna en die moet minimaal zijn, dus de afgeleide ervan moet nul zijn.
Met de quotiëntregel:
 
  Dat is nul als de teller nul is:  lna - 1 = 0 ⇒   lna = 1 ⇒   a = e
 
   
16. ∠APB = 90º  (Thales)
Dus  ∠BAP + ∠ABP = 90º  (hoekensom driehoek

∠ABP'= 90º  (raaklijn aan cirkel)
Dus  ∠BAP + ∠AP'B = 90º  (hoekensom driehoek)

∠BAP is zowel met ∠ABP als met ∠AP'B samen 90º  dus zijn die twee hoeken aan elkaar gelijk.
   
17. Het is voldoende om aan te tonen dat twee hoeken van vierhoek PQQ'P' die tegenover elkaar liggen samen 180º zijn,
want dan is de vierhoek een koordenvierhoek dus liggen de punten op één cirkel.
We gaan aantonen dat ∠PQQ' + ∠AP'B = 180º

∠ABP = ∠AQP (constante hoek)
∠ABP = ∠AP'B  (vraagstuk 16)

Dus is ∠AQP = ∠AP'B

Maar ∠AQP + ∠PQQ' = 180º (gestrekte hoek)
dus zijn ook ∠AP'B + ∠PQQ' samen 180º.   q.e.d.