VWO WB, 2010 - I
 

 

Gelijke oppervlakten.
     
De parabool met vergelijking  y = 4x − x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4 ) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt A. Zie de volgende figuur.
       

       
A heeft  de coördinaten (4- a, 4a - a2)
       
4p. 1. Toon dat aan
     

 

Het deel van V boven de lijn OA heeft oppervlakte 1/6(4 - a)3
       
6p. 2. Toon dit aan.  
     

 

5p. 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
     

 

Onderzetter.
       
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.
       

       
In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O. De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . Zie de volgende figuur.
       

       
We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , waarbij 0 ≤ α ≤ π .
Er geldt:  l = 10cos(1/2a)  en  b = 6sin(1/2a)
       
3p. 4. Toon aan dat de formules voor l en b juist zijn.
     

 

4p. 5. Bereken exact de waarde van b als l = 8.
     

 

Als we α van 0 tot π laten toenemen, zal b toenemen en l afnemen.
       
5p. 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

 

       
5p. 7. Toon aan dat de formule voor OQ juist is.
     

 

Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt O liggen. Zie onderstaande figuur.
       

       
4p. 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

 

Aan een cirkel rakende rechthoeken.
       
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC.
In de volgende figuur is zo’n rechthoek getekend.
       

       
Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn.
       
4p. 9. Teken een cirkel met straal 3 en een punt A op de omtrek zoals bij de cirkel hierboven, en teken daarbij alle mogelijke punten E waarbij aan bovenstaande eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.
     

 

Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de volgende figuur.
       

       
Wanneer we D over c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Zie onderstaande figuur.
       

       
In dat geval geldt: ∠CMD = 90°
       
5p. 10. Bewijs dit.  
     

 

Condensatoren.
       
Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan.
Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt:  als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning volgens de formule:
       
 
       
Hierin is:
  U de condensatorspanning in Volt
t de oplaadtijd in seconden en
C de capaciteit van de condensator in Farad
       
Een condensator met een capaciteit van 0,01 farad wordt in dit circuit opgeladen. Voor deze condensator in dit circuit geldt dus:
 
       
In onderstaande figuur is de grafiek van deze U als functie van t getekend.
       

       
3p. 11. Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt op tijdstip t = 0 .
       
6p. 12. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. Rond je antwoord af op hele seconden.
     

 

Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten
C1, …, Cn heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit Cs , waarbij geldt:
       
Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad.
We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden een condensatorspanning van minstens 10 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad.
       
6p. 13. Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken.
     

 

Een rechthoek in stukken.
       
De punten A(1, 1) en B(3, 1/3 ) liggen op de grafiek van  y  = 1/x

We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as).

Een punt P( p,1/p) ligt op de grafiek van y = 1/x, tussen A en B.  De horizontale en
de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In onderstaande figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
       

       
5p. 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan 1/2 .
     

 

De som van de oppervlakten van de grijze stukken rechtsboven en linksonder is  4/3(-p + 4 - 3/p)
Er is een waarde van p waarvoor deze som van de oppervlakten maximaal is.
       
5p. 15. Bereken exact deze waarde van p.
     

 

 

Logaritmen en vierde macht.
       
De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 4 • lnx en g(x) = (lnx)4  met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten S en T.
Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f  in A en de grafiek van g in B. Zie de volgende figuur.
       

       
Er is een waarde van p waarvoor de lengte van lijnstuk AB maximaal is.
       
6p. 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
     

 

Een geodriehoek.
       
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt A er tussenin. Zie de volgende figuur.
       

       
Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt A de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt A op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is.

Op k zijn de punten B en C getekend zo dat AB ^ BC en AB = BC . Punt D is op m getekend zo dat DC ^ AC . Op k is vervolgens punt E getekend zo dat ∠ADE = 45° . Zie de volgende figuur.
       

       
Er geldt: vierhoek ACED is een koordenvierhoek.
       
4p. 17. Bewijs dit.
     

 

4p. 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Het snijpunt van y = ax  met  y = 4x - x2:
ax = 4x - x2  ⇒  x2 + ax - 4x = 0  ⇒ x(x + a - 4) = 0  ⇒  x = 0  of  x = 4 - a 
Als x = 4 - a dan is  y = ax = a(4 - a) = 4a - a2
   
2. Voor de oppervlakte van een vlakdeel tussen twee grafieken moet je de integraal van de bovenste min de onderste nemen:
 
  {2(4 - a)2 - 1/3(4 - a)3 - 1/2a(4 - a)2 } - {0}
Nu kun je alle haakjes wegwerken en van 1/6(4 - a)3 ook, en dan laten zien dat het gelijk is.
Het gaat sneller zo:
2(4 - a)2 - 1/3(4 - a)3 - 1/2a(4 - a)2
= (2 - 1/2a) • (4 - a)2  - 1/3(4 - a)3
= 1/2(4 - a) • (4 - a)2  - 1/3(4 - a)3
=  1/2(4 - a)3  - 1/3(4 - a)3
= (1/2 - 1/3)(4 - a)3
= 1/6(4 - a)3
   
3. 4x - x2 = 0 ⇒ x(4 - x) = 0 ⇒  x = 0  of  x = 4
 
  Dan moet het bovenste deel dus  51/3 zijn, dus  1/6(4 - a)3 = 51/3
(4 - a)3 = 32  ⇒  4 - a = (32)1/3  Þ   a = 4 - 321/3
   
4. Bekijk één zo'n ruit (zie hiernaast)
cos(1/2α) = AB/1 = AB
sin(1/2α) = BC/1 = BC

l  is  10 • AB = 10 • cos(1/2α)
b is  6 • BC = 6 •  sin(1/2α)

   
5. 10cos(1/2α) = 8  ⇒ cos(1/2α) = 4/5
Maar  sin2(1/2α) + cos2(1/2α) = 1  dus   sin2(1/2α) = 1 - cos2(1/2α) = 1 - (4/5)2 = 9/25
sin(1/2α) = √(9/25) = 3/5  (alleen de positieve oplossing want  0 < α < π)
Dan is  b = 6 • 3/5 = 18/5 = 33/5

of: Als cos(1/2α) = 4/5  dan is driehoek ABC bij vraag 4 een  3 - 4 - 5 driehoek, dus is BC = 3/5  enz....
   
6. Als ze even snel veranderen dan is de grootte van de afgeleides gelijk, immers de afgeleide is de snelheid.
Maar b neemt toe en l neemt af, dus l' is tegengesteld aan b':  l' =  -b'  
Met de kettingregel:
l'  =  10 • -sin(1/2α) • 1/2 = -5sin(1/2α)
b' =  6 • cos(1/2α) • 1/2 = 3cos(1/2α)
Dus moet gelden:   -5sin(1/2α) = -3cos(1/2α)

Voer in de GR in Y1 = -5sin(1/2α)  en Y2 = -3cos(1/2α)  en gebruik intersect.
Dat levert  α ≈ 1,08
   
7. Bekijk driehoek OPQ.  Noem het midden van OP punt M
Dan is OM = 1/2l = 2cos(1/2α)  en   QM = 1/2b = 3sin(1/2α)
Pythagoras:    OQ = √(QM2 + OM2) = √(9sin2(1/2α) + 4cos2(1/2α))
=  √(5sin2(1/2α) + 4sin2(1/2α) + 4cos2(1/2α))  =  √(5sin2(1/2α) + 4)   (het blauwe deel is 4)
   
8. Als de punten op een cirkel liggen moet gelden dat  OP = OQ
5cos(1/2α) = √(5sin2(1/2α) + 4)

twee methoden:
1.  met de GR>  Voer in  Y1 = 5cos(1/2α) en  Y2 = √(5sin2(1/2α) + 4)
    intersect levert  α = 1,98.

2. Algebraïsch:
   kwadrateren:  25cos2(1/2α)  = 5sin2(1/2α) + 4
   25cos2(1/2α) = 5(1 - cos2(1/2α)) + 4 ⇒   25cos2(1/2α) = 9 - 5cos2(1/2α)
   30cos2(1/2α) = 9 ⇒  cos2(1/2α) = 9/30 ⇒ cos(1/2α) = √(9/30)  (alleen de positieve want  0 < α < p)
   1/2α = 0,9911  ⇒  α = 1,9823 
   
9. Teken om punt D te vinden een cirkel met straal 4 en middelpunt A. Die snijdt de oorspronkelijke cirkel in twee mogelijke punten D

Omdat E het midden van de zijde van de rechthoek is die tegenover AD ligt, ligt E op de middelloodlijn van AD.

Elke middelloodlijn van AD geeft twee mogelijke snijpunten E met de cirkel. (die middelloodlijn gaat trouwens ook door M)

In totaal zijn er dus vier mogelijke plaatsen voor E.
 

   
10. Als N op de parabool ligt, is de afstand tot de richtlijn (NC) gelijk aan de afstand tot het brandpunt (NM)
Dus NC = NM.
Maar ook NC = ND want N is het midden van DC.
dus geldt  NC = ND = NM.
Dan is er een cirkel met middelpunt N waar M, D, en C op liggen.
DC is een  middellijn van die cirkel.
De stelling van Thales zegt dan dat ∠DMC gelijk is aan 90º.
   
11. Met de kettingregel:  U ' = 12 • e(-t/20) • -1/20 = -3/5 • e(-t/20)
Vul t = 0 in:  U'(0) = -3/5 • e0 = -3/5  (Volt/seconde)  
   
12. Vul t = ∞  in, dat geeft  U = 12 Volt  (de e-macht wordt nul), dus de limietspanning is 12 V.
90% daarvan is 10,8 Volt.
10,8 = 12 • (1 - e(-t/20))  ⇒ 10,8 = 12 - 12 • e(-t/20)   
⇒  12• e(-t/20) = 1,2  ⇒   e(-t/20) = 0,1   ⇒ -t/20 = ln(0,1)  ⇒   t = -20ln(0,1) = 46 seconden
   
13. Als elke C gelijk is aan 0,01 en er zijn n condensatoren, dan geldt:
(1/CS) = n • (1/0,01) = 100n  dus  CS = 1/(100n)
Deze vergelijking voor CS en t = 10  invullen in de formule voor U en gelijkstellen aan 10:
 
  Invullen in de GR:  Y1 = 10  en  Y2 = 12 * (1 - e ^ (-10/(2000/(100X))))
Intersect geeft  n = 3,58...
Er zijn dus 4 condensatoren nodig.
   
14. De breedte is gelijk aan  (1 - 1/p)
De lengte is gelijk aan (3 - p)
(1 - 1/p) • (3 - p) = 1/2
3 - p - 3/p + 1 = 1/2
vermenigvuldig met p:   4p - p2 - 3 + p = 1/2p
p2 - 3,5p + 3 = 0
ABC formule geeft  p = 2  of  p = 1,5 
   
15. Als de oppervlakte maximaal is moet de afgeleide nul zijn:
O = 4/3(-p + 4 - 3p-1 )  dus  O' = 4/3(-1 + 3/p2) = 0
dat geeft  3/p2 = 1 ⇒  p2 = 3  ⇒  p = √3.  (p = -√3 voldoet niet).
   
16. De lengte L  van AB is  L = f(p) - g(p)
L = 4lnp - (lnp)4
Dat is maximaal als de afgeleide nul is.
L' = 4 • 1/p  - 4(lnp)3 • 1/p = 0     (kettingregel)
1/p • (4 - 4lnp)3 = 0
4 - 4(lnp)3 = 0
(lnp)3 = 1
lnp = 1
p = e
Dan is  L = 4lne - (lne)4 = 4 - 1 = 3
   
17. AB = BC  dus ABC is gelijkbenig
∠CBA = 90º  dus  ∠BCA = 45º
∠ACE = 135º  want de hoeken bij C zijn samen 180º
∠ACE + ∠ADE = 135º + 45º = 180º  dus is de vierhoek een koordenvierhoek.
   
18. Omdat ACED een koordenvierhoek is liggen de punten A, C, D en E op een cirkel.
∠AED = ∠ACD = 90º   (omtrekshoek van AD)
∠DAE  = 45º  (in driehoek AED zijn de hoeken samen 180º)
Driehoek ADE heeft twee gelijke hoeken (van 45º) dus is de driehoek gelijkbenig.
Bovendien heeft de driehoek een rechte hoek (ÐAED)
Dus is het een geo-driehoek.