VWO WB12, 2006 - I
Sauna.
Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt:  S(t) = 200 - 180 • e-0,29t
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.

De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100ºC. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden. In onderstaande figuur staat de grafiek van  S.

4p

1.

 Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
 
4p

2.

 Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
 
Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruikten die t uitdrukt in S.
4p

3.

 Druk t uit in S.
 

 

Een tak van een hyperbool
Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M. Buiten de cirkel c1 ligt het punt F. De conflictlijn h van c1 en F is een tak van een hyperbool. Zie onderstaande figuur.
Bij elk punt A van h hoort een zogeheten voetpunt. Dat is het punt van c1 dat het dichtst bij A ligt.

In de figuur hierboven is van een punt A van h het voetpunt V getekend.
3p

4.

 Teken dat punt A. Licht je werkwijze toe.
 
De cirkel c2 met middellijn MF snijdt c1 in P en Q.
Het midden van PF is R. Punt T is de top van de hyperbooltak.
Bovendien is gegeven dat het middelpunt S van cirkel c2 op cirkel c1 ligt, zodat de cirkels even groot zijn. Zie onderstaande figuur.

7p

5.

 Bewijs dat driehoek RST gelijkzijdig is.
 
Knock-out-systeem
Een spelprogramma op televisie telt bij aanvang 16 deelnemers. Het spel wordt gespeeld in vier rondes. In elke ronde nemen de spelers het in een spelletje van één-tegen-één tegen elkaar op. Van elk tweetal gaat de winnaar door naar de volgende ronde; de verliezer doet niet meer mee. In elke ronde wordt het aantal deelnemers dus gehalveerd; men sprekkt van een knock-out-systeem.
De spelletjes zijn van zodanige aard dat de uitslag volledig bepaald wordt door het toeval. Bij elk spelletje hebben beide spelers dus kans 1/2 om te winnen.
Vooraf wordt een speelschema opgesteld; zie de volgende figuur.

Elke deelnemer krijgt door loting een nummer. Dit nummer is zijn plaats in het schema. Boven in het schema zie je wie tegen wie speelt in de eerste ronde. Na de eerste ronde zijn er nog acht spelers over. De winnaar van de spelers 1 en 2 speelt in de tweede ronde tegen de winnaar van de spelers 3 en 4, enzovoort. In de vierde ronde wordt de finale gespeeld door de twee overgebleven deelnemers.
4p

6.

 Bereken de kans dat speler 1 de finale speelt tegen speler 16 en speler 1 deze finale wint.
 
Elke deelnemer speelt 1, 2, 3 of 4 rondes.
4p

7.

 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rondes dat een deelnemer speelt.
 
In een jaar is het spelprogramma 52 keer op televisie geweest. Elke keer hebben er evenveel mannen als vrouwen meegedaan. Er is enige twijfel of elke deelnemer wel evenveel kans heeft om het spelprogramma te winnen. Misschien hebben vrouwen meer kans.
Daarom wordt het aantal keren geteld dat een vrouw het spelprogramma won. Daarna berekent men de kans op dat aantal of een hoger aantal, aangenomen dat alle deelnemers evenveel kans hebben om het spelprogramma te winnen. Het aantal wordt abnormaal hoog gevonden als deze kans kleiner is dan 5%.
5p

8.

 Bereken welke aantallen vrouwelijke winnaars abnormaal hoog worden gevonden.
 

 

Isolijnen, dichtbij en veraf.
Een gebied G wordt begrensd door de lijnstukken AB en BC, de halve lijn l met beginpunt A en de halve lijn m met beginpunt C. Zie onderstaande figuur.

Verder is gegeven AB = 6,  BC = 4, de hoek tussen l en AB is 60º, ÐABC en de hoek tussen BC en m zijn 120º
Uit deze gegevens volgt dat l evenwijdig is aan m.
5p

9.

 Bewijs dit.
 
De iso-a-lijn van G wordt gevormd door de punten die op afstand a van gebied G liggen. Elke iso-a-lijn van G bevat twee halve lijnen en een cirkelboog.
Voor kleine waarden van a bevat de iso-a-lijn daarnaast ook nog één of twee lijnstukken.
Voor een aantal waarden van a is in de figuur hiernaast een begin gemaakt met het tekenen van de iso-a-lijn.
6p

10.

 Teken in deze figuur de ontbrekende delen van deze drie iso-a-lijnen.
 
Voor waarden van a die groter zijn dan een zekere waarde bestaat de iso-a-lijn uitsluitend uit twee halve lijnen en een cirkelboog QP.
De eindpunten Q van deze cirkelbogen liggen op een halve lijn die loodrecht op l staat.
5p

11.

 Teken de verzameling van de eindpunten P. Beschrijf deze verzameling.
 
Oppervlakte van een trapezium.
In de figuur hieronder staat een kwart van de eenheidscirkel met O(0,0), A(1,0) en B(0,1).
Op tijdstip t = 0 start een punt P in A en beweegt langs de cirkelboog AB; op tijdstip t heeft P de coördinaten (cos t, sin t). Q is de loodrechte projectie van P op de y-as.
We bekijken de oppervlakte V van het trapezium OAPQ op tijdstip t waarbij t in het interval  〈0, 1/2π〉 ligt.

De oppervlakte V van het trapezium is  1/2sin t + 1/4sin 2t
4p

12.

 Toon dit aan.
 
5p

13.

 Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van t de oppervlakte V maximaal is.

 
De oppervlakte van het trapezium OAPQ verandert op het tijdsinterval  〈0, 1/2π〉   voortdurend. In de figuur hiernaast is de grafiek van V getekend als functie van t op dit tijdsinterval.
De gemiddelde oppervlakte van het trapezium OAPQ over het tijdsinterval  〈0, 1/2π〉   noemen we k. In de figuur hiernaast is de lijn y = k getekend.

Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van V, de t-as en de lijn t = 1/2π is gelijk aan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn y = k, de t-as , de y-as en de lijn t = 1/2π.

6p

14.

 Bereken met behulp van integreren de exacte waarde van k.
 

 

Een halve cirkel.
In een assenstelsel is de bovenste helft getekend van de cirkel met middelpunt (2,0) en straal 2. Deze halve cirkel is de grafiek van de functie  f(x) = √(4x - x2 ), op het domein [0,4]. Zie onderstaande figuur. Daarin is ook de lijn y = x getekend. Deze lijn snijdt de grafiek van f in O en in het punt (2,2)

In één punt van de grafiek van f is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn y = x.
5p

15.

 Bereken met behulp van differentiëren de x-coördinaat van dat punt. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
 

 
Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn y = x wordt gewenteld om de x-as.
6p

16.

 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
 
Voor startwaarden u0 tussen 0 en 8 is de rij u0, u1, u2, ... gedefinieerd door  un + 1 = f (1/2un).
2p

17.

 Bereken u4 voor het geval dat u3 = 4/5.
In de figuur hieronder zijn getekend: de grafiek van f, de lijn y = x en de lijn y = 1/2x.
Op de x-as is een zekere startwaarde u0 aangegeven.

4p

18.

 Teken in deze figuur met behulp van de drie grafieken de plaats van u2 op de x-as.
 
Voor elke startwaarde u0 tussen 0 en 8 convergeert de rij u0, u1, u2, ...  naar dezelfde positieve limiet.
5p

19.

 Bereken deze limiet op algebraïsche wijze.
 

 

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 100 = 200 - 180 • e-0,29t  ⇒  -100 = -180 • e-0,29t  ⇒  e-0,29t = 100/180  ⇒  -0,29t = ln(100/180) ≈ -0,588
 ⇒  t = -0,588/-0,29 ≈ 2,0268 uren en dat is  2,0268 • 60 = 121,6 minuten
Dus ongeveer 2 minuten over 5  (17:02) wordt het opwarmen gestopt.
2. S'(t) = -180 • e-0,29t • -0,29 = 52,2 • e-0,29t
S'(1) = 39,059 ºC/uur en dat is 0,65 ºC/minuut dus ongeveer 0,7 ºC/minuut.
3. S - 200 = -180 • e-0,29t  ⇒  (S - 200)/-180 = e-0,29t
4. De kortste afstand van een punt buiten een cirkel naar de cirkel is via de lijn naar het middelpunt.
Dus ligt A op de lijn MV.

5. r = FS = SM = MP = PS
Omdat FS = SP is driehoek FSP gelijkbenig.
Omdat R het midden van FP is, is SR de hoogtelijn in die driehoek, dus is ∠SRF = 90º
Omdat ∠SRF = 90º ligt R op een cirkel met middellijn FS.
Omdat FT = TS (T ligt op de hyperbooltak) is T het middelpunt van deze cirkel.
Dus TR = TS want dat is de straal van deze cirkel, dus TSR is gelijkbenig.
∠PSF = 180º- ∠MSP = 180º - 60º = 120º
SR is bissectrice van PSF, dus ∠FSR = 60º
TSR was gelijkbenig dus ook ∠SRT = 60º, dus ook ∠RTS = 60º dus de driehoek is gelijkzijdig.
6. Dan moet speler 1 vier wedstrijden winnen: kans (1/2)4 = 1/16
verder moet speler 2 de eerste drie wedstrijden winnen: kans (1/2)3 = 1/8
Samen geeft dat een kans van  1/16 • 1/8 = 1/128
7.
aantal wedstrijden 1 2 3 4
kans 1/2 1/2 • 1/2 = 1/4 1/2 • 1/2 • 1/2 = 1/8 1/2 • 1/2 • 1/2 = 1/8
De verwachtingswaarde is dan  1 • 1/2 + 2 • 1/4 + 3• 1/8 + 4 • 1/8 = 1,875

of:
Er worden 8 + 4 + 2 + 1 = 15 wedstrijden gespeeld, dus wordt 30 keer door iemand een wedstrijd gespeeld.
Er zijn 16 deelnemers, dus gemiddeld is dat 30/16 = 1,875 wedstrijden per persoon.
8. Stel V het aantal vrouwen dat wint, en g het grensgetal waarnaar we opzoek zijn;
P(V ≥ g , n = 52, p = 1/2) < 0,05
1 - P(V ≤ g - 1) < 0,05
Voer dus in Y1 = 1 - binomcdf(52, 0.5, X - 1) en kijk met TABLE wanneer de waarde voor het eerst kleiner is dan 0,05. Dat is bij X = 33 (P = 0,0352)
Dus 33 of meer vrouwelijke winnaars wordt abnormaal hoog gevonden.
9. Verleng AB en lijn m. Dat geeft driehoek BCD
∠DBC = 180º- ∠CBA = 60º
∠DCB = 180º- 120º = 60º
Dus is ook ∠CDB = 60º
Maar dan zijn ∠CDB en ∠A Z-hoeken dus zijn l en m evenwijdig.

10. Teken als hulplijnen de bissectrices van hoek C en hoek B, de loodlijnen vanuit A op AB en op l. Verleng AB en m en teken ook de bissectrice van de hoek die dan ontstaat.

De tekening hiernaast spreekt wel zoor zich. De cirkeldelen zijn getekend met middelpunt A.  

11. Zie hiernaast.
De punten P liggen op de loodlijn vanaf A loodrecht op AB. Tot het punt waar die loodlijn de bissectrice van AB en m snijdt.

Vanaf dat punt liggen de punten P even ver vanaf A als vanaf lijn m dus op een parabool met brandpunt A en richtlijn m.

12. Noem P' de projectie van P op de x-as.
Rechthoek OP'PQ heeft oppervlakte cos t • sin t
Driehoek PP'A heeft oppervlakte  1/2 • (1 - cos t) • sint
Samen is dat   cos t • sin t + 1/2 • (1 - cos t) • sint = cos t sin t + 1/2sint - 1/2cos t • sin t =
= 1/2sin t +  1/2cos t • sin t = 1/2sin t +  1/4 (2cos t • sin t) = 1/2sin t + 1/4sin 2t
13. V' = 1/2cos t + 2 • 1/4 cos(2t) = 1/2cos t +  1/2cos 2t
V' = 0 
⇒  cos t + cos 2t = 0 
⇒  cos t = -cos 2t = cos (π -2t)
 ⇒  t = π - 2t  ∨   t = 2π - (π - 2t)
 ⇒ t = π/3 
14. Voor de oppervlakte onder de grafiek van V geldt:

De oppervlakte onder de lijn y = k is  1/2π • k
1/2π • k  = 3/4  ⇒  k = 3/2π 
15. f '(x) = 1/2(4x - x2)-1/2• (4 - 2x)
f '(x) = 1 
⇒  1/2(4x- x2)-1/2 • (4 - 2x) = 1 
⇒  2 - x = Ö(4x - x2) 
⇒  (2 - x)2 = 4x - x2 
 ⇒  4 - 4x + x2 = 4x - x2 
⇒  2x2 - 8x + 4 = 0 
⇒  x2 - 4x + 2 = 0
⇒ (ABC-formule):     x = (4 + √8)/2  ∨  x = (4 - √8)/2
 ⇒  x =  2 -√2 ≈ 0,6  (de oplossing 2 + √2 voldoet niet) 
16.
17. u4 = f(1/2u3) = f(2/5) = √(4 • 2/5 - 4/25) = 1,2
18. Volg de rode pijlen hiernaast.

Via de lijn y = 1/2x en de lijn y = x kunnen we van een un naar 1/2un op de x-as komen.

Via de lijn y = x en de grafiek van f kunnen we van een 1/2un  naar 
f(1/2un ) = un + 1 komen.
19. f (1/2x) = x
⇒  √(4 • 1/2x - (1/2x)2 ) = √(2x - 1/4x2) = x
 ⇒  2x - 1/4x2 = x2 
⇒  11/4x2 - 2x = 0 
⇒  x(11/4x - 2) = 0 
⇒  x = 0  ∨  x = 1,6
De positieve limiet zal dus x = 1,6 zijn.