VWO WISKUNDE B1, 2004 - I
Machten van een derdegraadsfunctie
Gegeven is de functie  f (x) = 3/4x2 - 1/4x3  op het domein [0,3]
4p 1. Toon algebraïsch aan dat het maximum van f gelijk is aan 1.
V is het gebied, ingesloten door de grafiek van f en de x-as.
5p 2. Bereken algebraïsch de exacte waarde van de oppervlakte van V.

 
Op het domein [0,3] bekijken we de functies  gp(x) = (f (x))p = (3/4x2 - 1/4x3)p,  waarbij p > 0
In de figuur hieronder zijn de grafieken van gp getekend voor  p = 10, p = 2, p = 1,  p = 0,5 en p = 0,1. 
Al deze grafieken gaan door de punten O(0,0), T(2,1) en S(3,0)
Voor elke positieve waarde van p gaat de grafiek van gp door O, T en S.
3p 3. Toon dat aan.

 
Grondprijs
Een nieuw industrieterrein grenst aan een recht kanaal en heeft de vorm van een rechthoek OABC.
OA = 400 m en OC = 200 m. Zie de figuur hiernaast.

De grondprijs is afhankelijk van de afstand tot het kanaal: hoe dichter bij het kanaal, hoe duurder de grond.
Het verband tussen de grondprijs P (in euro per m2) en de afstand tot het kanaal x (in meters) wordt gegeven door de formule:

P(x) = 100 • 0,998x
De punten waar P gelijk is aan 63 liggen op een lijn. Deze lijn is in de figuur hiernaast getekend.
4p 4. Teken in deze figuur de lijn waarop alle punten liggen waar P gelijk is aan 55. Licht je antwoord toe.

 
Iemand wil een schatting maken van de grondprijs van het hele terrein.
Hij maakt daartoe een berekening volgens twee verschillende benaderingsmethoden.
Methode I:  hij bepaalt P(200). Deze waarde gebruikt hij als prijs per m2 voor het hele terrein en daarmee berekent hij de totale grondprijs.
Methode II: hij bepaalt het gemiddelde van P(0) en P(400). Deze waarde gebruikt hij als prijs per m2 voor het hele terrein en daarmee berekent hij de totale grondprijs.
5p 5. Bereken de totale grondprijs volgens beide methoden. Geef je antwoord in miljoenen euro, afgerond op twee decimalen.

 
De totale grondprijs van het terrein is nauwkeuriger te bepalen. Daartoe verdelen we rechthoek OABC in rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte Dx meter. In de figuur hiernaast is één zo'n rechthoekje getekend op x meter van het kanaal. De totale grondprijs is dan bij benadering de som van de grondprijzen van deze rechthoekjes.

5p 6. Bereken op deze manier de totale grondprijs als Δx = 5 meter.
Geef je antwoord in miljoenen euro, afgerond op twee decimalen.

 
De totale grondprijs is nog nauwkeuriger te berekenen met behulp van een integraal.
4p 7. Bereken de totale grondprijs met behulp van deze integraal.

 
Krasloten
Deze opgaven gaat over krasloten waarmee je 3 euro of 6 euro of niets kunt ontvangen. Elk kraslot heeft drie vakjes die je open kunt krassen. Zie de figuur hieronder.
In één van de vakjes is een MIN (-) verborgen, in de andere twee een PLUS (+).
Je kunt het kraslot inleveren na één vakje of na twee vakjes te hebben opengekrast. Voor elke opengekraste PLUS ontvang je drie euro, maar als je de MIN hebt opengekrast is het lot waardeloos geworden. Zie de figuur hieronder.
Bij de mensen die krasloten kopen onderscheiden we twee typen krassers:
  • waaghalzen: krassen een tweede vakje open als het eerste vakje een PLUS oplevert.
  • angsthazen : krassen één vakje open en stoppen.
Je kunt je afvragen welk type krasser het slimst is.
4p 8. Bereken voor zowel de waaghalzen als de angsthazen welk bedrag zij naar verwachting per opengekrast lot zullen ontvangen.

 
Bij een bepaalde kiosk is gebleken dat 65% van de krassers een waaghals is en 35% een angsthaas.
Op zekere dag komen 500 mensen een lot kopen bij deze kiosk en krassen het open.
5p 9. Bereken hoeveel van deze mensen naar verwachting niets uitbetaald krijgen.

 
Van een groep mensen bestaande uit 65 waaghalzen en 35 angst hazen heeft ieder precies één lot opengekrast.
6p 10. Bereken de kans dat uiteindelijk meer dan 60 mensen van deze groep precies één vakje hebben opengekrast.

 
Een verzameling functies
Op het domein [0,2π] zijn gegeven de functies:
fn (x) = 1 + sin2x + cos nx  waarbij n  een positief geheel getal is.

Als je de grafiek van f2 door de GR laat tekenen, lijkt deze op een sinusoïde.
Er geldt inderdaad  f2(x) = a + bsin c(x - d)
6p 11. Geef een mogelijke combinatie van waarden voor a, b, c, en d. Licht je antwoord toe.

 
De grafiek van fn gaat voor bepaalde waarden van n door het punt (1/6π , 1/4)
4p 12. Onderzoek voor welke waarden van n tussen 0 en 50 dit geldt.

 
f4(x)  is te schrijven als  f4(x) = 11/2 - 1/2cos 2x + cos 4x
3p 13. Toon aan dat dit juist is.

 
Gegeven is de rechthoek OABC met  A(2π , 0) en C(0,3)
De grafiek van f4 verdeelt deze rechthoek in twee gebieden.
7p 14. Toon aan met behulp van integreren dat deze twee gebieden exact dezelfde oppervlakte hebben.

 
Munten
Bij de invoering van de euro op 1 januari 2002 is een aantal Europese munten ongeldig geworden. In het najaar van 2001 zijn inzamelingsacties van deze munten gehouden. In november 2001 heeft zich het volgende voorgedaan. Door een bepaalde groep zijn veel Franse munten ingezameld, waaronder 1700 munten van 10FF  (Franse Francs). Men is van plan deze munten van 10FF in 17 zakjes van 100 stuks bij een bank in te leveren.

De gang van zaken op de bank in dit soort gevallen is als volgt. Munten van dezelfde soort moeten in zakjes van 100 munten aan de bank worden aangeboden. Een bankbediende telt het aantal munten in een zakje niet, maar weegt het zakje met de munten. Het gewicht van een leeg zakje is verwaarloosbaar. Het gewicht van 100 munten van 10FF is normaal verdeeld met een gemiddelde van 650 gram en een standaardafwijking van 0,5 gram.
Hiermee kan aangetoond worden dat de kans dat een zakje met 100 munten van 10FF minder dan 649,5 gram weegt ongeveer gelijk is aan 0,16.
3p 15. Bereken deze kans in drie decimalen nauwkeurig.

 
Voor het inleveren bij de bank is een lid van de groep op het kwalijke idee gekomen om bij 8 van de 17 zakjes één munt van 10FF te vervangen door één munt van 1FF, die lichter is. Er zitten dan 99 munten van 10FF en 1 munt van 1FF in elk van die 8 zakjes.
Er worden nu dus 8 'valse' en 9 'goede' zakjes ingeleverd.
4p 16. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat van de eerste 5 zakjes die de bankbediende weegt, er 3 vals zijn.

 
Zakjes met een gewicht dat minder dan 649,5 is noemt men 'te licht'.
Het aantal te lichte zakjes van de 17 te wegen zakjes mag niet te groot zijn. De bank noemt dit aantal n, en wil dat de kans op precies n te lichte zakjes kleiner is dan 1%.
5p 17. Welke waarden kan n hebben?

 
Het menselijk oog
Om een voorwerp op verschillende afstanden scherp te kunnen zien heeft de mens de mogelijkheid om te accommoderen, dat wil zeggen de sterkte van zijn ogen aan te passen, zodat er een scherp beeld op zijn netvlies komt. Om een voorwerp op een afstand a van het oog scherp te kunnen zien is een bepaalde sterkte S van het oog nodig. Voor deze sterkte S gebruiken we het volgende model:

Hierbij is:
  • a de afstand in meters tussen het voorwerp en de ooglens.
  • b de afstand in meters tussen het netvlies en de ooglens.
  • S de sterkte in dioptrieën (dpt).
Zie de volgende figuur.
De afstand b hoeft niet voor beide ogen gelijk te zijn.

Iemand heeft een rechteroog met b = 0,018 m. Hij kan de sterkte van zijn rechteroog variëren van 58 tot en met 63 dpt.
5p 18. Bereken op welke afstanden dit rechteroog voorwerpen scherp kan zien. Rond de grenswaarden in je antwoord af op twee decimalen.

 
Voor zijn linkeroog geldt  b = 0,017 m.
Hiermee kan hij voorwerpen op afstanden van 15 cm en verder scherp zien.
4p 19. Bereken welke waarden S kan aannemen. Geef je antwoord in gehele dioptrieën.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De afgeleide nul stellen:  f '(x) = 1,5x - 0,75x2 = 0
 ⇒  x • (1,5 - 0,75x) = 0  ⇒  x = 0  ∨  x = 1,5/0,75 = 2
Een tekenbeeld van f' ziet er zó uit:   ------(0)+++++(2)-------
Daaruit volgt dat er bij x = 0 een minimum is, en bij x = 2 een maximum.
f(2) = 1 
   
2. f(x) = 0  ⇒  x2 • (0,75 - 0,25x) = 0  ⇒  x = 0   ∨  x = 3 

= (81/12 - 81/16) - (0) = 27/16 (=1,6875)  
   
3. gp(0) = (0,75 • 02 - 0,25 • 03)p = 0p = 0 dus de grafieken gaan allemaal door (0,0)
gp(2) = (0,75 • 22 - 0,25 • 23)p = 1p = 1 dus de grafieken gaan allemaal door (2,1)
gp(3) = (0,75 • 32 - 0,25 • 33)p = 0p = 0 dus de grafieken gaan allemaal door (3,0)
   
4. P = 55  ⇒  55 = 100 • 0,998x  ⇒  0,998x = 0,55  ⇒  x = log(0,55)/log(0,998) = 298,619...
P = 63  geeft op dezelfde manier x = 230,786...
De lijn P = 55 is hieronder zó getekend dat  CD/CE = 298,619/230,786
Ofwel  CD ≈ 1,29 • CE
   
   
5. P(200) = 67,00  Þ  prijs is  67,00 • 200 • 400 = 5,36 miljoen

P(0) = 100 en  P(400) = 44,90  Dus de gemiddelde prijs is 72,45
De totale prijs is dan 72,45 • 200 • 400 = 5,80 miljoen
   
6. De oppervlakte van één zo'n rechthoekje is 5 • 200 = 1000 m2
Op afstand x van het kanaal kost zo'n rechthoekje dan 1000 • P(x)
Er zijn 80 zulke rechthoekjes te maken.
De totale grondprijs wordt dan  1000 • (P(0) + P(5) + P(10) + ... + P(395))
= 1000 • (100 • 0,9980 + 100 • 0,9985 + 100 • 0,99810 + ... + 100 • 0,998395)
= 1000 • 100 • {0,9980 + 0,9980 • 0,9985 + 0,9980 • (0,9985)2 + ... + 0,9980•(0,9985)79}
Tussen accolades staat een meetkundige rij met beginwaarde 1 en reden r = 0,9985
De som S van de eerste 80 termen daarvan is 
De totale prijs wordt dan 1000 • 100 • 55,324 ≈ 5,53 miljoen euro.
   
7.

≈ (-4485200 + 9989997)= 5504797  ofwel ongeveer 5,50 miljoen euro.
   
8. waaghals:   P(prijs) = P(++) = 2/3 • 1/2 = 1/3 dus de verwachtingswaarde is 6 • 1/3 + 0 • 2/3 = 2 euro
angsthaas:  P(prijs) = 2/3  dus de verwachtingswaarde is  3 • 2/3 + 0 • 1/3 = 2 euro
   
9. De kans dat een waaghals niets krijgt is 2/3 en voor een angsthaas is dat 1/3
2/3 van de waaghalzen is  2/3 • 0,65 • 500 = 216,666  dus ongeveer 217 mensen
1/3 van de angsthazen is  1/3 • 0,35 • 500 = 58 mensen.
samen zijn dat  217 + 58 = 275 mensen.
   
10. De 35 angsthazen krassen in ieder geval elk één hokje open.
Dus van de 65 waaghalzen moeten er meer dan 25 één hokje openkrassen.
De kans dat een waaghals één hokje openkrast = P(MIN) = 1/3.
P(X > 25) = 1 - P(X ≤ 25) = 1 - BINOMCDF(65,1/3,25) ≈ 1 - 0,843 = 0,156
     
11. Een plot staat hiernaast.
We lezen af:

a = 1,5
b = 2 - 1,5 = 0,5
2π/c = π  ⇒  c = 2
d = 3/4π

   
12. 1/4 = 1 + sin2(1/6π) + cos(1/6πn)
 ⇒  0,25 = 1 + 0,25 + cos(1/6πn)  ⇒  -1 = cos(1/6πn)
 ⇒  1/6πn  = π  mod(2π)
 ⇒  n = 6  mod(12)
Tussen 0 en 50 geeft dat de oplossingen n = 6 , 18 , 30  en  42 
   
13. formulekaart:  cos 2x = 1 - 2 sin2x
substitueren geeft:
1,5 - 0,5 • cos2x + cos4x = 1,5 - 0,5 • (1 - 2sin2x) + cos 4x = 1,5 - 0,5 + sin2x + cos 4x
= 1 + sin2x + cos 4x  =  f4(x) 
   
14. Oppervlakte onder f4 is:

= (3π - 0 + 0) - (0) = 3π
De gehele rechthoek heeft oppervlakte 3 • 2p = 6π  dus de oppervlakte onder f4 is inderdaad de helft.
   
15. NORMALCDF(0 , 649.5 , 650 , 0.5) = 0,158655... ≈ 0,159
   
16. P(VVVGG) = 8/17 • 7/16 • 6/15 • 9/14 • 8/13 = 36/1105
Er zijn 5 nCr 3  = 10 zulke volgordes, dus de totale kans is  360/1105 = 72/221 ≈ 0,33
   
17. Er zijn 17 experimenten waarbij elke keer de kans op succes (= minder dan 649,5 gram) gelijk is aan 0,16.
P(X = n) = 0,01  dus moet BINOMPDF(17 , 0.16 , n) < 0,01
Voer in Y1 = BINOMPDF(17 , 0.16 , X) en kijk in de tabel wanneer dat voor het eerst kleiner is dan 0.01. Dat levert op  n = 7
Dus n ≥ 7  zijn de waarden die n kan hebben. 
   
18. S = 58  ⇒  (a + 0,018)/(a• 0,018) = 58  ⇒  a + 0,018 = 58 • a • 0,018
 ⇒  a + 0,018 = 1,044a  ⇒  0,018 = 0,044a  ⇒  a = 0,018/0,044 ≈ 0,409

S = 63 levert op precies dezelfde manier  a ≈ 0,134

Voor afstanden tussen  0,13 en 0,41 kan dit rechteroog scherp zien.
   
19. a = 0,15 en b = 0,017 geeft  S = 65,49...
a = ∞  geeft  S = 58,82
Dus S kan de waarden aannemen waarvoor geldt: 59 ≤  S  ≤  65