VWO WB1,  2001 - II
Verschuivende geodriehoek
In de figuur hieronder is de parabool  y = 4 - x2 getekend. Ook is een geodriehoek getekend met de twee rechthoekszijden evenwijdig aan de x -as en de y-as; de schuine zijde maakt dus steeds een hoek van 45º met de x-as. Het midden M van de schuine zijde ligt op de y-as.
Bij elk van de volgende vragen wordt de driehoek verschoven in verticale richting; na de verschuiving ligt het punt M dus steeds op de y-as.

Na de eerste verschuiving snijdt de schuine zijde van de geodriehoek de parabool in het punt P(-3,-5) en in nog een punt Q.
6p 1. Bereken de lengte van het lijnstuk PQ

 
Na de tweede verschuiving is de schuine zijde van de geodriehoek raaklijn aan de parabool.
5p 2. Bereken de y-coördinaat van punt M.

 
Na de derde verschuiving ligt M op punt (0,2). De parabool en de schuine zijde van de geodriehoek sluiten een vlakdeel in.
6p 3. Bereken de oppervlakte van dat vlakdeel.

 
Tennis
In een tennistoernooi wordt bij elke partij gespeeld om de "best of three"; dat wil zeggen dat degene die het eerst twee sets gewonnen heeft de partij wint. Een partij in dit toernooi duurt dus twee of drie sets.
We werken in deze opgave met het volgende model:
  • beide spelers hebben kans 0,5 om de eerste set te winnen
  • de winnaar van de eerste set heeft kans 0,4 om de tweede set te winnen.
  • als de partij nog niet beslist is heeft de winnaar van de tweede set kans 0,4 om de derde set te winnen
5p 4. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal sets dat een partij duurt.

 
In ons model nemen we aan dat een set 30 minuten duurt. De baan is van 18.30 tot 22.00 beschikbaar. Op een avond kunnen dus maximaal zeven sets gespeeld worden.
5p 5. Bereken de kans dat op een avond drie volledige partijen gespeeld kunnen worden.

 
Het tennistoernooi wordt met acht deelnemers gespeeld volgens een afvalsysteem.
Voor het begin van het toernooi ligt het wedstrijdschema vast.
De deelnemers krijgen een nummer en worden daarmee in een schema geplaatst zoals in de figuur hieronder is aangegeven. Speler 1 speelt tegen speler 2, de winnaar gaat naar de halve finale en speelt tegen de winnaar van de wedstrijd tussen speler 3 en speler 4.
Het toernooi duurt drie ronden; in de derde ronde wordt de finale gespeeld.
Veronderstel dat de acht deelnemers even sterk zijn en dat de nummers willekeurig worden toegekend.
Wim en Alex doen mee aan het toernooi.
5p 6. Bereken de kans dat Wim en Alex elkaar in de halve finale ontmoeten.

 
Zwaartepunt
De coördinaten van het zwaartepunt van een vlakdeel kun je met de formule in het kader hieronder berekenen
Van vlakdeel V is Z het zwaartepunt.
De coördinaten van Z zijn xZ en yZ.
Er geldt:
Hierbij is h(x) de bij x behorende hoogte van V, voor  p £ x £ q
De berekening van yZ verloopt op een soortgelijke manier.
De vlakdelen in deze opgave zijn symmetrisch in de lijn y = x, dus geldt  xZ = yZ
De hoekpunten van driehoek OAB zijn  O(0,0), A(3,0) en B(0,3): zie de figuur hiernaast.
6p 7. Toon met de formule in het kader aan dat het zwaartepunt van driehoek OAB het punt (1,1) is.

 
Het vlakdeel OAPQB in de figuur hiernaast wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn x = 3 en de hyperbool  y = 3/x
8p 8. Bereken exact de x-coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel.

 
Rechte banen
Een punt P beweegt in een baan die gegeven is door de vergelijkingen:

In de figuur hiernaast is in een assenstelsel de cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 1 getekend. Op de cirkel is voor een waarde van a een boog met lengte a getekend.
6p 9. Teken in deze figuur de plaats van het punt P op de tijdstippen  t = 0 en t = π. Licht je werkwijze toe.

 
De beweging van P kan ook beschreven worden door de vergelijkingen:
4p 10. Toon dit aan.

 
Als je voor enkele waarden van a de baan van P tekent lijkt deze steeds een deel van een rechte lijn door (0,0)
5p 11. Toon voor a = 2 aan dat de baan van P inderdaad een deel van een lijn  y = mx is.

 
Wereldbevolking
Op 12 oktober 1999 werd de zesmiljardste wereldburger geboren. Naar aanleiding hiervan publiceerde de VN het jaarrapport Six billion - a time for choices. Hierin wijst de VN Sarajewo aan als de plaats waar de zesmiljardste wereldburger geboren werd. Dat is natuurlijk een symbolische daad: waar precies de zesmiljardste wereldburger geboren werd is helemaal niet bekend. Het zou, gezien de bevolkingsgrootte van Azië, meer voor de hand gelegen hebben de zesmiljardste wereldburger geboren te laten worden in Azië. Zie de figuur hieronder.
Op basis van deze figuur nemen we aan dat het aandeel van Azië in de wereldbevolking tussen 1998 en 2050 nagenoeg gelijk blijft.
De zevenmiljardste wereldburger verwacht de VN in 2013 en de achtmiljardste in 2028. Stel dat de VN door loting een continent aanwijst waarin symbolisch de zevenmiljardste wereldburger geboren wordt en dat hierbij voor elk continent de kans om aangewezen te worden gelijk is aan het aandeel van dat continent in de wereldbevolking. En zo ook bij de achtmiljardste wereldburger.
5p 12. Bereken met behulp van de figuur hierboven hoe groot in dat geval de kans is dat de VN voor tenminste één van deze twee geboorten Azië aanwijst.

 
De figuur hierboven komt uit het VN-rapport.
De grootte van de wereldbevolking voldoet bij benadering aan het volgende groeimodel:


Hierbij is:
  • W de wereldbevolking in miljarden
  • t het aantal jaren na 1804
  • g een constante met  0 < g < 1
  • L de limietwaarde van de wereldbevolking in miljarden; dat is de grenswaarde waar W op den duur naar toe zal groeien.
De groeisnelheid  dW/dt van de wereldbevolking is het grootst als  t = g log (1/(L - 1)) 
5p 13. Toon aan dat voor die waarde van t geldt:  dW/dt = -0,25 • L • ln(g)

 
De constante g is gelijk aan 0,983. De wereldbevolking t jaar na 1804 wordt dus gegeven door:

De limietwaarde L is niet precies bekend.

We zijn geïnteresseerd in de kans dat de voorspelde wereldbevolking in 2054, 250 na 1804, groter dan 10,5 miljard is, met andere woorden de kans dat W(250) > 10,5

W(250) > 10,5 komt overeen met  L > 12,1
5p 14. Leg dit uit.

 
Er zijn veel prognoses gemaakt. Daarin blijken de waarden van L normaal verdeeld te zijn met een verwachtingswaarde 10 en standaardafwijking 1,5.
4p 15. Bereken onder bovengenoemde aannames in hoeveel procent van de prognoses de voorspelde wereldbevolking in 2054 groter is dan 10,5 miljard.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De schuine zijde maakt een hoek van 45º met de x-as dus de richtingscoëfficiënt daarvan is 1.
De vergelijking is dus  y = x + b
Als de lijn door (-3,-5) moet gaan, moet gelden  -5 = -3 + b  dus  b = -2  en de vergelijking is y = x - 2
Snijden met de parabool:  4 - x2 = x - 2  ⇒  x2 + x - 6 = 0  ⇒  (x + 3) • (x - 2) = 0  ⇒  x = -3  of  x =  2
x = 2 levert het punt  Q(2,0)
De lengte vinden we met Pythagoras:  PQ = √(52 + 52) = √(50) = 5√2
2. Als de schuine zijde raaklijn is, dan moet de helling van de parabool -1 zijn. Dus de afgeleide is -1.
y ' = -2x = -1  geeft x = -0,5
Het raakpunt is dan het punt  (-0.5 , 3.75)
De vergelijking van de schuine zijde van de geo-driehoek is  y = x + b (zie vraag 1)
Het raakpunt invullen geeft b = 4,25
Dus de y = coördinaat van M is 4,25
3. De schuine zijde heeft dan de vergelijking y = x + 2
Snijden met de parabool:  x + 2 = 4 - x2 ⇒  x2 + x - 2 = 0  ⇒ (x - 1) • (x + 2) = 0  ⇒  x = 1 of  x = -2

={ (2 - 1/3 - 1/2) - (-4 + 8/3 - 2) } = 7/6 - -10/3 = 4,5
De oppervlakte is dus 4,5.
(de integraal kun je ook met CALC - ∫f(x)dx  berekenen)
4. De kans op 2 sets is 0,5 • 0,4 + 0,5 • 0,4 = 0,4 
De kans op 3 sets is dus  1 - 0,4 = 0,6
De verwachtingswaarde is dan  2 • 0,4 + 3 • 0,6 = 2,6 sets
5. Als er 3 volledige partijen gespeeld moeten worden mag er hoogstens één partij van 3 sets bij zijn.
P(222) = 0,43 = 0,064
P(322) = 3 • 0,6 • 0,42 = 0,288
Samen is dat  0,064 + 0,288 = 0,352

(Het kan ook binomiaal:  n = 3, p = 0.6,  BINOMCDF(3 , 0.6 , 1) = 0,352)
6. Als Wim geplaatst is, dan zijn er 2 mogelijke plaatsingen voor Alex over om Wim in de halve finale te kunnen ontmoeten. Van de 7 plaatsen, dus de kans dat de loting goed is is 2/7.
Ze moeten verder beiden hun eerste partij winnen. De kans daarop is  0,5 • 0,5 = 0,25 = 1/4
De totale kans wordt daarmee  (2/7) • (1/4) = 1/14
7. Lijn AB heeft vergelijking  y = 3 - x  dus  h = 3 - x
De oppervlakte van driehoek OAB is 4,5.

En dus ook  yZ = 1
8. Je kunt de oppervlakte verdelen in een rechthoek van 1 (breedte)  bij 3 (hoogte) + een deel onder de grafiek van y = 3/x.
De rechthoek heeft oppervlakte 3. De hele oppervlakte is dus gelijk aan:

Verder geldt:
9. x(0) = cos a + 1  en y(0) = sin a.  Dus P bevindt zich dan  1 rechts van het getekende punt (cos a , sin a) (op dezelfde hoogte)

x(p) = cos(a - π) - 1  en y(π) = sin(a - π)
Het punt (cos(a - π), sin(a - π) ) bevindt zich gespiegeld in de oorsprong t.o.v. het getekende punt (cos a , sin a)
Het punt P bevindt zich daar nog 1 links van (op dezelfde hoogte).
10. Kijk maar op de formulekaart.
11. a = 2 geeft  x(t) = 2 • cos(1) • cos(1 - t)   en   y(t) = 2 • sin(1) • cos(1 - t)
x en  y op elkaar delen geeft:


Dat is een constante dus de punten P liggen op een rechte lijn door de oorsprong met helling 
m = sin(1)/cos(1).
12. Het aandeel van Azië is ongeveer 60%
De kans op een keuze buiten Azië is dan 1 - 0,6 = 0,4
De kans op beide keuzes buiten Azië is  0,42 = 0,16  dus de kans op één van beide in Azië is 1 - 0,16 = 0,84
13.

Daarbij is het gedeelte (L - 1) • gt • lng afkomstig van de kettingregel.

substitueren in W' levert:
14.
⇒  L > 10,5•(1 + (L - 1) • 0,01375) ⇒   L > 10,5 • (1 + 0,01375 • L - 0,01375)
⇒  L > 10,5 + 0,14438 • L - 0,14438  ⇒  L > 10,3556 + 0,14438 • L  ⇒  0,8556 • L > 10,3556
 ⇒ L > 12,1

(het kan ook door middel van INTERSECT met de GR)

15. NORMALCDF(12.1 , 1E99 , 10 , 1.5) = 0,08075...
Deze kans is ongeveer 0,08 en dat is 0,08 • 100 = 8%