VWO WB1,  2001 - I
Oppervlakte
Gegeven is de functie:
f(x) = 6/(x + 2) - 3
Zie de figuur hieronder.
In de figuur is rechthoek OABC getekend met A(5,0) en C(0,-2). De raaklijn in O aan de grafiek van f  verdeelt rechthoek OABC in twee delen.
9p 1. Bereken exact de verhouding van de oppervlaktes van deze twee delen.

 
In deze tweede figuur is rechthoek OPQR getekend met R(0,-3) en P(b,0) met b > 0
De grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.
8p 2. Bereken b in twee decimalen nauwkeurig.

 
Water met koolzuur
Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.
DEN HAAG, 23 OKT
   De Consumentenbond verrichtte een smaaktest met een panel van 23 geoefende proevers. De proevers dronken het kraanwater van negen waterleidingbedrijven en negen gebottelde koolzuurvrije waters.
Op merkelijk was dat het lekkerste flessenwater werd verslagen door zes kraanwaters.
Tegelijkertijd met dit onderzoek werd een onderzoek onder

Water met
koolzuur

cafés gehouden. Wie in een café een glas mineraalwater bestelt krijgt vaak een glas leidingwater vermengd met koolzuur. Dat concludeert de consumentenbond in zijn gids van november. Onderzoekers kregen bij 11 van de

31 bezochte horecagelegenheden hetzelfde water geserveerd als uit de kraan van het toilet van de uitspanning. Achter de bar werd het water door een pompje van koolzuur voorzien.
In een reactie op de conclusies zegt directeur J.H. Peters van het Bedrijfschap Horeca dat de gesuggereerde omvang van het verschijnsel "schromelijk overdreven" is.
In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater werd verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een willekeurige volgorde worden geplaatst. Je kunt je nu afvragen hoe groot de kans is dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.
5p 3. Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

 
In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het verschijnsel schromelijk overdreven is.
Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we een "knoeier". Misschien heeft Peters wel gelijk en schetst het artikel een te somber beeld. Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de "knoeiers" behoort.
4p 4. Bereken in 4 decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés minstens 11 "knoeiers" voorkomen.

 
Het werkelijke percentage "knoeiers" is onbekend.
De kans dat je in een café kraanwater-met-koolzuur krijgt wanneer je om mineraalwater vraagt noemen we p.
5p 5. Onderzoek bij welke waarden van p de kans op minstens 11 "knoeiers" in een steekproef van 31 cafés kleiner is dan 5%. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
Laagste kosten
Een chauffeur moet met een vrachtwagen een traject van 100 km lengte rijden. Zijn firma wil weten bij welke snelheid de totale vervoerskosten het laagst zijn. Een vrachtwagen verbruikt bij een snelheid van 60 km/uur voor elke kilometer 0,5 liter brandstof. Bij toename van de snelheid neemt het verbruik exponentieel toe: bij elke toename van de snelheid van 10 km/uur stijgt het verbruik per kilometer met 10%.
Het arbeidsloon van de chauffeur is ƒ90,- per uur.
De brandstofkosten zijn ƒ3,- per liter.
De totale vervoerskosten bestaan uit brandstofkosten en het arbeidsloon van de chauffeur.
6p 6. Toon aan dat de totale vervoerskosten over het traject bij een snelheid van 80 km/uur ƒ294,- bedragen.
7p 7. Bereken bij welke snelheid de totale vervoerskosten het laagst zijn. Rond je antwoord af op hele kilometers per uur.

 
Geneesmiddelenonderzoek
Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed.
In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen Dt de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten.
Op de tijdstippen t0, t1 , t2, ...,tn is de gemeten concentratie c0, c1, c2, ... , cn. In de figuur hieronder zijn de punten Ck (tk,ck) weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel.
Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve)
In de figuur hieronder is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan worden. Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium tussen tk en tk+1 is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is een benadering van de AUC.
De vraag rijst natuurlijk: "Hoe nauwkeurig is deze methode?". Dit gaan we in deze opgave voor een speciaal geval onderzoeken.
3p 8. Toon aan dat de oppervlakte van het grijs gemaakte trapezium gelijk is aan  0,5 • (ck + ck+1)• Dt

 
4p 9. Bewijs dat de AUC tussen t0 en tn benaderd wordt door:

 
Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een voorbeeld te testen nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven wordt door  c = 32 • e(-0,5t + 0,5) met c in  mg/liter en t in uren , 1 ≤ t ≤ 5
5p 10. Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5 gelijk is aan  64 - 64/e2

 
Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de meetpunten inderdaad op de grafiek van c liggen.
7p 11. Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5, bepaald met de formule van vraag 9, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De hoeveelheid werkzame stof per tablet van het geneesmiddel mag niet te hoog zijn omdat er dan schadelijke bijwerkingen optreden. Maar ze mag ook niet te laag zijn omdat het middel dan onvoldoende effect heeft. De hoeveelheid werkzame stof in een tablet is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 mg en een standaardafwijking van 3 mg. Het medicijn is effectief en niet schadelijk als de hoeveelheid werkzame stof per tablet tussen de 90 mg en 110 mg ligt.
5p 12. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat een tablet effectief en niet schadelijk is.

 
Machten van sinus en cosinus
Gegeven is de functie  f(x) = (1 - √x)2  met  0 ≤ x ≤ 1
Verder is gegeven het lijnstuk AB met A(1,0) en B(0,1). Zie de bovenste figuur hiernaast.
Tussen de grafiek van f en het lijnstuk AB worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In de figuur zijn enkele lijnstukken getekend.
5p 13. Toon aan dat de lengte van een verticaal verbindingslijnstuk gegeven wordt door de formule  L = -2x + 2√x

 
4p 14. Bereken exact de maximale lengte van zo'n verbindingslijnstuk.

 
Voor elk positief geheel getal n bekijken we de baan Kn van een punt dat beweegt volgens:
Met 0 ≤ t ≤ 0,5π
In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K6.
5p 15. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K6 in punt P gelijk is aan -tan4t

 
In een punt P van K6 heeft de raaklijn aan K6 richtingscoëfficiënt  -9.
3p 16. Bereken de coördinaten van P.
Voor een bepaalde waarde van n liggen de punten van Kn op de grafiek van f en voor een bepaalde waarde van n liggen de punten van Kn op het lijnstuk AB.
6p 17. Onderzoek welke twee waarden van n dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

 

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. f (x) = 6•(x + 2)-1 - 3  dus f '(x) = -6 • (x + 2)-2
f '(0) = -1,5 dus de raaklijn is de lijn  y = -1,5x
De raaklijn snijdt de lijn y = -2 in het punt  S(4/3 , -2)
De oppervlakte van OABC = 10, de oppervlakte van OSC is  0,5 • (4/3) • 2 = 4/3
De oppervlakte van OSBA is dus  10 - 4/3 = 26/3
De verhouding is dan (4/3) : (26/3) = 2 : 13
2. De oppervlakte van de hele rechthoek is 3b dus de oppervlakte van het deel tussen de x-as en de grafiek van f moet 1,5b zijn.
Een primitieve van f(x) is de functie  F(x) = 6 • ln|x + 2| - 3x, dus:

Invoeren van het linkerdeel en het rechterdeel van deze vergelijking in de GR en de oplossing met INTERSECT vinden geeft  b ≈ 5,03
3. 1e opl. Er zijn in totaal  18! mogelijke volgorden
Als er eerst zes kraanwaters moeten komen en dan een flessenwater zijn er nog  9•8•7•6•5•4•9•11! volgorden mogelijk.
De gevraagde kans vind je door deze twee getallen op elkaar te delen en dat geeft  0,0034
2e opl. P(KKKKKKF) = (9/18)•(8/17)•(7/16)•(6/15)•(5/14)•(4/13)•(9/12) = 0,0034
4. Dit is een binomiaal experiment met n = 31 en p = 0,20.
P(X ≥ 11) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - BINOMCDF(31 , 0.20 , 10) = 1 - 0,9672... = 0,0327
5. Dan moet gelden  P(X ≥ 11) = 1 - P(X ≤ 10) < 0,05  ofwel  P(X ≤ 10) > 0,95
Invoeren in de GR:   Y1 = BINOMCDF(31 , 0.20 , X)  en Y2 = 0,95
INTERSECT levert  X = 0,21 en aan de grafiek zien we dan dat p ≤ 0,21  het juiste antwoord is.
6. Bij 80 km/uur is het verbruik  0,5 • 1,12  per km dus dat is  0,5 • 1,12 • 100 = 60,5 liter voor de hele rit.
Dat kost aan brandstof  60,5 • 3 = ƒ181,50
Bij 80 km/uur duurt de rit  100/80 uur en dat kost aan loon (100/80) • 90 = ƒ112,50.
De totale kosten zijn  ƒ181,50 + ƒ112,50 = ƒ294,- 
7. Stel de snelheid is 60 + 10x km/uur.
Het verbruik is dan 0,5 • 1,1x  en dat kost voor de hele rit  100 • 0,5 • 1,1x = 50 • 1,1x
De rit duurt  100/(60 + 10x) uur en dat kost aan loon  90 • 100/(60 + 10x) = 9000/(60 + 10x) = 900/(6 + x)
De totale kosten zijn dus  50 • 1,1x + 900/(6 + x)
Invoeren in de GR en met CALC - MINIMUM het minimum zoeken geeft  x = 1,42
De gevraagde snelheid is dus afgerond 74 km/uur
8. Het trapezium bestaat uit een rechthoek en een driehoek.
De rechthoek heeft oppervlakte  Δt • ck+1
De driehoek heeft oppervlakte  0,5 • Δt • (ck - ck+1)
De totale oppervlakte is  Δt • ck+1 + 0,5 • Δt • (ck - ck+1) = Δt • (ck+1  + 0,5•ck - 0,5 • ck+1) = Δt • 0,5 • (ck+1 + ck)
9. De som van alle trapezia is:
Dat is  Δt • 0,5 • { (c0 + c1) + (c1 + c2) + (c2 + c3) + ... + (cn-1 + cn-1) + (cn-1 + cn)}
= Δt • 0,5 • (c0 + 2c1 + 2c2 + 2c3 + ... + 2cn-2 + 2cn-1 + cn)
= Δt  • {0,5 • (c0 + cn) + (c1 + c2 + c3 + ... + cn-2 + cn-1)}
En dat is inderdaad de gevraagde formule
10.
11. Δt = 0,5 geeft een oppervlakte van
De laatste som is met de GR te bepalen. Bijvoorbeeld als volgt:
L1 = {1,2,3,4,5,6,7} en  L2 = 32*e^(-L1/4) en dan LIST - MATH - SUM(L2) geeft 93,0875...
De eerste term tussen haakjes is  18,1653......
Samen geeft dat  0,5 • (18,1653... + 93,0875...) = 55,62646...
Het exacte antwoord was  64 - 64/(e2) = 55,3385...  dus dat scheelt  0,2879...
en dat is  (0,2879/55,3385) * 100% = 0,5202... %  Afgerond dus 0,52%.
12. NORMALCDF(90 , 110 , 100 , 3) = 0,9991
13. AB heeft vergelijking   y = 1 - x
De lengte van het verbindingslijnstuk is het verschil van de y - coördinaten
L = (1 - x) - (1 - √x)2 = (1 - x) - (1 - 2√x + x) = 1 - x - 1 + 2√x - x = 2√x - 2x
14. L = 2 • x0,5 - 2x  dus  L'  = 2 • 0,5 • x-0,5 - 2 =  1/√x  -  2
L' = 0  geeft  1/√x = 2  ofwel  x = 1/4
L(1/4) is de maximale lengte en is gelijk aan 1/2
15.
16. -tan4t = -9  ⇒ tan2t = 3 ⇒ tant = √3  ∨  tant = -√3 ⇒ t = π/3 
(de andere oplossingen zitten niet binnen het interval [0,½π])
P heeft dan coördinaten (cos6(π/3) , sin6(π/3)) =(½6 , (½√3)6)  = (1/64 , 27/64)
17. De enige formule die we met  cosnx en sinnx kennen is  cos2x + sin2x = 1. Ofwel  sin2x = 1 - cos2x
Die proberen we dus maar te gebruiken...

y = 1 - x geeft sinnx = 1 - cosnx  en dat levert voor n = 2 direct op sin2x = 1 - cos2x

y = (1 - √x)2  geeft  sinnx = (1 - √(cosnx))2    dus    √(sinnx) = 1 - √(cosnx)
Voor n = 4 reduceert dat inderdaad tot sin2x = 1 - cos2x

De oplossingen zijn dus  n = 2 en  n = 4