Uit het CVO blijkt dat 80,7% van de CVO-populatie in 2016 ten minste één keer op vakantie is geweest. Deze 80,7% ging maar liefst 35,5 miljoen keer op vakantie: een gemiddelde van 2,78 vakanties per persoon.
Met behulp van deze gegevens is de omvang van de CVO-populatie in 2016 te berekenen.

3p.

1.

Bereken de omvang van de CVO-populatie in 2016. Geef je antwoord in gehele duizendtallen.

In het vervolg van deze opgave zullen we de CVO-populatie gewoon ‘Nederlanders’ noemen. Uit het CVO blijkt dat het aantal vakanties naar het buitenland in de loop van de jaren behoorlijk veranderd is. In onderstaande figuur is het verloop van het aantal buitenlandse vakanties weergegeven.

Hoewel het CVO pas sinds 1990 plaatsvindt, is er, gebruikmakend van de trendlijn tot en met 2001, toch een uitspraak te doen over het aantal buitenlandse vakanties in de periode voorafgaand aan 1990.

4p.

2.

Bereken met behulp van lineair extrapoleren het aantal buitenlandse vakanties in 1985.

In onderstaande figuur is nogmaals het aantal buitenlandse vakanties weergegeven.
Verder is ook het verloop van het totaal aantal vakanties (in binnen- en buitenland samen) weergegeven. Bovendien is voor beide een model opgesteld en weergegeven. Die modellen komen pas na de volgende vraag aan de orde.

3p.

3.

Onderzoek met behulp van de werkelijke aantallen in deze figuur of het percentage buitenlandse vakanties als percentage van het totaal aantal vakanties in de periode 2002–2016 is toe- of afgenomen.

B = -10,1t² + 587t + 10200 en T = -20,3t² + 951t + 24800

In dit model is B het aantal buitenlandse vakanties per jaar, T het totaal aantal vakanties per jaar en t de tijd in jaren
met t = 0 in het jaar 1990. B en T zijn beide in duizenden.

Volgens bovenstaand model had het aantal binnenlandse vakanties ook een maximum.

4p.

4.

A = 0,0136t + 2,43 en  L = -0,024t + 9,3

In dit model is A het gemiddelde aantal vakanties per jaar per Nederlander, L de gemiddelde lengte van een vakantie in dagen, en t is weer de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990.

Volgens dit laatste model blijft het aantal dagen per jaar dat een Nederlander gemiddeld op vakantie gaat, de rest van deze eeuw stijgen.

4p.

5.

Bereken vanaf welk jaar een Nederlander gemiddeld minstens 25 dagen op vakantie gaat per jaar.

We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten L₁, L₂ en L₃. Bij elkaar opgeteld geven deze drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In de volgende figuur staan de drie componenten L₁, L₂ en L₃ en is ook de som van de drie getekend.

In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten L₂ en L₃ voor de lengte verwaarloosbaar en is L₁ alleen een goede benadering voor de lengte. De formule voor L₁ is:

L1 = 76,4 - 19,4 • 0,9704^w   met L₁ in cm en w de leeftijd in weken

De formule die hoort bij L₁ heeft een grenswaarde.

4p.

6.

Bereken na hoeveel weken de waarde van L₁ 10 cm van deze grenswaarde verwijderd is. Geef je antwoord in gehele weken.

3p.

7.

Bereken met behulp van de afgeleide van L₁ de groeisnelheid in cm/week van een jongen een half jaar na zijn geboorte, dus als w = 26 . Geef je antwoord in twee decimalen.

Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component L2 niet meer te verwaarlozen.
De formule voor L2 is:

L₂ = -0,235t² + 9,5t - 4,7 met L₂ in cm en t de leeftijd in jaren

Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol.
De component L₃ is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die jongens in de pubertijd ondergaan.
De formule voor L3 is:

3p.

8.

Met behulp van de afgeleide van L₃ kun je op elk moment in de pubertijd berekenen hoe groot de extra groeisnelheid als gevolg van die groeispurt is.

3p.

9.

Bereken met behulp van die afgeleide hoe groot de extra groeisnelheid in cm/jaar maximaal is. Geef je antwoord in één decimaal.

De som van L₁, L₂ en L₃ levert de lengte L van een jongen. L kan met de volgende formule beschreven worden:

4p.

10.

Laat zien hoe deze formule met behulp van de drie genoemde componenten kan worden opgesteld.

Omdat het verschil tussen de echte groeigegevens en die van het model zo klein is, is die afwijking tussen de echte groeigegevens en de lengte volgens het model nog eens weergegeven als de gestippelde, groene grafiek. Hierbij moet de rechter verticale as gebruikt worden. Zo is uit de onderstaande figuur bijvoorbeeld af te lezen dat de werkelijke lengte op 8-jarige leeftijd 0,15 cm afwijkt van de lengte volgens het model.

In deze figuur is af te lezen bij welke leeftijd de absolute afwijking van de berekende gemiddelde lengte met de KKP-formule ten opzichte van de echte groeigegevens het grootst is.

5p.

11.

Bepaal met behulp van de figuur bij welke leeftijd die afwijking relatief het grootst is. Licht je antwoord toe.

Ruim 50 jaar geleden maakte de kunstenaar Peter Struycken het werk ‘Wetmatige beweging’.
Dit kunstwerk is opgebouwd uit 625 zwarte vormen: vierkanten en andere rechthoeken, die met een bepaalde regelmaat verdeeld zijn over een wit vlak.

- het middelste vierkant in zo’n 3×3-rooster is altijd zwart;
- een vorm bestaat uit 1, 2, 3, 4, 6 of 9 zwarte vierkanten;
- een vorm is een rechthoek (en kan dus ook een vierkant zijn).

Zie onderstaande figuur voor vier voorbeelden.

De twee vierkante vormen in deze figuur worden als verschillende vormen opgevat, omdat ze op verschillende plaatsen in het 3×3-rooster staan.

5p.

12.

Bereken hoeveel verschillende vormen de kunstenaar op deze manier kan maken.

Om de totale oppervlakte te berekenen van de 625 gebruikte zwarte vormen, verdelen we het werk in 9 delen. Zie de volgende figuur

In elk deel komt slechts één type vorm voor.
- Het middelste deel bestaat uit één vorm met oppervlakte 4 cm².
- Er zijn 4 delen die elk uit 12 dezelfde vormen bestaan.
- Er zijn 4 driehoekige delen met elk evenveel vormen.

4p.

13.

Bereken de totale oppervlakte in cm² van de 625 gebruikte zwarte vormen door uitsluitend gebruik te maken van bovenstaande gegevens en de figuur.

In het midden van het kunstwerk staat dus één vorm met oppervlakte 4 cm². Dat is tevens de enige vorm met oppervlakte 4 cm² die in het kunstwerk voorkomt. Je kunt het kunstwerk opgebouwd zien vanuit het midden door vanuit dat midden naar de rand van het kunstwerk te ‘lopen’.
Je komt dan steeds een volgende zogeheten schil tegen, een rechthoekige rand van vormen. Zie ook onderstaande figuur. Vanuit het midden is het werk opgebouwd uit 12 schillen.

In het vervolg van deze opgave bekijken we delen van dit kunstwerk, waarbij het aantal schillen variabel is. Het aantal schillen noemen we n.
Voor het originele kunstwerk geldt dus n = 12.

Met bijvoorbeeld n = 2 krijgen we het deel van het kunstwerk zoals in de figuur hiernaast. In deze figuur zie je ook de 2 verschillende schillen plus de middenvorm met oppervlakte 4 cm².

In deze figuur zijn in totaal 24 vormen rondom de vorm met oppervlakte 4 cm² in het midden gerangschikt. Deze 24 vormen zijn als volgt onderverdeeld:

4p.

14.

De totale oppervlakte in cm² van de gebruikte vormen bij n schillen noemen we O(n) .

Voor O(n) is een formule opgesteld:

(1)     O(n) = 1 • 4 + n • (2 + 2 + 6 + 6) + ¹/₂n • (1 + 2n - 1) • (1+ 3 + 3 + 9)

(2)      O(n) = (4n + 2)²

3p.

15.

Laat zien dat beide formules (1) en (2) te herleiden zijn tot dezelfde formule.

Formule (2) is een directe formule. We kunnen deze formule ook gebruiken om een recursieve formule op te stellen voor O(n) .

Zo’n formule heeft de vorm:  O(n +1) = O(n) + an + b met O(0) = 4

4p.

16.

Twee voorbeelden van zo’n vuistregel zijn de zogeheten 72-regel en de zogeheten bankenformule:

- volgens de 72-regel geldt: T = ⁷²/_p

- volgens de bankenformule geldt: T = ⁷⁰/_p

In beide vuistregels is p het rentepercentage per jaar en is T de verdubbelingstijd in jaren.

Een bank biedt een spaarrekening met een rente van 1,00% per jaar aan.
Met behulp van de bankenformule kan geschat worden welke verdubbelingstijd hierbij geldt. Om met de 72-regel tot dezelfde verdubbelingstijd te komen, zou er een iets hoger rentepercentage moeten gelden.

3p.

17.

De schatting van de verdubbelingstijd volgens de 72-regel valt altijd hoger uit dan de schatting volgens de bankenformule. Hoe hoger het rentepercentage echter is, hoe kleiner het verschil in verdubbelingstijd wordt tussen beide vuistregels.

3p.

18.

Bereken vanaf welk rentepercentage de schattingen ten hoogste een maand van elkaar verschillen.

Het werkelijke verband tussen p en T is  (1 + 0,01p)^T = 2 .

Bij een rentepercentage van 1,10% per jaar is het verschil tussen de schatting van de verdubbelingstijd volgens de bankenformule en de werkelijke verdubbelingstijd slechts enkele maanden.

4p.

19.

De schatting volgens de 72-regel en de schatting volgens de bankenformule worden beide gegeven door een formule van de vorm p • T = c met c = 72 bij de 72-regel en c = 70 bij de bankenformule.
Deze waarden voor c zijn onder andere zo gekozen om het rekenwerk te vergemakkelijken.
Door in de formule p • T = c met een andere waarde van c te rekenen, kan er een nauwkeurigere schatting van de verdubbelingstijd gegeven worden.

Hiervoor bekijken we nogmaals het werkelijke verband tussen p en T.
Dit verband kan ook geschreven worden als:   ln ((1+ 0,01p)^T ) = ln(2)

Bij economen is bovendien bekend dat – voor de gangbare waarden van p die in de economie gelden – de volgende benadering gebruikt mag worden:  ln(1+ 0,01p) = 0,01p

Met behulp van het verband ln((1+ 0,01p)^T ) = ln(2) en de aanname  ln(1+ 0,01p) = 0,01p kan nu een nauwkeurigere waarde van c berekend worden.

4p.

20.

Onderzoek met behulp van ln ((1 + 0,01p)^T ) = ln(2)  en ln(1+ 0,01p) = 0,01p of deze nauwkeurigere waarde hoger of lager is dan de gekozen waarde c = 70 in de bankenformule.

OF

Het totaal blijft gelijk, en het aantal buitenland stijgt, dus het percentage zal stijgen.