Veel mensen denken erover om zonnepanelen aan te schaffen. Bedrijven spelen daarop in en geven daar allerlei informatie over op hun websites.
Op een dergelijke website tref je de volgende tekst aan:

1.

Hoeveel jaar duurt het, volgens de informatie op deze website, voordat de elektriciteitsprijs verdubbeld is?

In onderstaande tabel zie je een overzicht van de prijs en opbrengst van verschillende zonnepaneelsystemen van een ander bedrijf. Om de opbrengst in euro's te berekenen, rekent men met de prijs die de eigenaar van de zonnepanelen zou moeten betalen als hij de elektriciteit van een elektriciteitsbedrijf zou moeten kopen.

De terugverdientijd is de periode die het duurt tot het aankoopbedrag van het systeem is terugverdiend via besparing op de elektriciteitskosten.
In het begin van 2013 schafte iemand het systeem van 12 zonnepanelen aan met overheidssubsidie.

2.

Bereken, uitgaande van de verwachte elektriciteitsopbrengst, in welk jaar het aankoopbedrag volledig is terugverdiend.

Voor T, de terugverdientijd in jaren, kun je dan de volgende formule opstellen:

3.

Leid deze formule af uit de gegevens.

4.

Laat met behulp van de afgeleide van T zien dat de terugverdientijd daalt als je meer panelen aanschaft

In dit artikel wordt een model beschreven waarin per inkomensklasse aangegeven wordt hoe groot de kans is dat je, als je geboren bent in een gezin in die inkomensklasse, zelf terechtkomt in een bepaalde inkomensklasse. Zie onderstaande figuur. Er worden vijf even grote inkomensklassen onderscheiden. Dit model gebruiken we in de rest van de opgave.

De bewering "Amerikanen zitten vast op de sociale ladder" die in het artikel gedaan wordt, wekt de suggestie dat de kans heel groot is dat iemand in dezelfde inkomensklasse terechtkomt als zijn ouders.

5.

Bereken hoeveel procent van de mensen in de VS volgens de figuur in dezelfde inkomensklasse als hun ouders zal komen.

Iemand die in de laagste inkomensklasse geboren is, heeft (zie figuur) een kans van 0,57 om zelf in een hogere inkomensklasse terecht te komen. We kijken nu naar een groep van 200 mensen die allemaal in de laagste inkomensklasse geboren zijn.

6.

Bereken de kans dat meer dan de helft van deze mensen in een hogere inkomensklasse terechtkomt.

Er zijn wel kritische geluiden als het gaat om de gegevens uit de figuur.
Dat slechts 4% van alle kinderen van ouders uit de laagste klasse het tot de hoogste klasse zou brengen, vindt men wel erg weinig.
Om te onderzoeken of die 4% inderdaad te laag is ingeschat, heeft men een steekproef van 600 Amerikanen genomen van wie de ouders uit de laagste inkomensklasse kwamen. Hiervan bleken 34 personen nu tot de hoogste inkomensklasse te behoren.

7.

Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om te concluderen dat die 4% te laag is ingeschat. Neem een significantieniveau van 5%.

In het krantenartikel stond bij de figuur rechtsonder naast de 8%:  "8% kans dat je in de hoogste inkomensklasse geboren wordt en in de laagste inkomensklasse terechtkomt." Volgens Nico is die tekst niet juist: de kans dat een willekeurig iemand in de VS in de hoogste inkomensklasse geboren wordt en later in de laagste inkomensklasse terechtkomt, is niet 8%.

8.

Laat zien dat Nico gelijk heeft door te berekenen hoe groot deze kans dan wel is.

Een zeker hondenras heeft een gemiddelde hartslag van 125 slagen per minuut. Met behulp van de bewering kun je dan de gemiddelde levensduur van dit ras berekenen.

9.

Naar aanleiding van deze bewering kan een formule voor het verband tussen de hartslag en de levensverwachting opgesteld worden:

Hier is L de levensverwachting (in jaren) en H de hartslag (in slagen per minuut).

10.

Bij controle blijkt dat er dieren zijn waarvoor de formule ongeveer klopt, maar ook dieren waar de formule helemaal niet voor klopt, zoals de aap en de muis. In werkelijkheid is het verband anders. In de figuur is de hartslag van een aantal soorten zoogdieren uitgezet tegen hun levensverwachting. Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt.

Het verband tussen H (de hartslag in slagen per minuut) en L (de levensverwachting in jaren) is (bij benadering) exponentieel en is dus te schrijven als:  H = b • g^L

11.

Bereken met behulp van de gegevens van de hamster en de walvis g in drie decimalen en b in gehelen.

Met de formule H = 520 • 0,95^L kun je de hartslag berekenen als je de levensverwachting weet. Logischer is het om de levensverwachting te berekenen als je van een zoogdier de hartslag gemeten hebt.
Daarom willen we de formule H = 520 • 0,95^L herleiden tot de vorm:  L = a • log(H) + b

12.

Regelmatig maakt het KNMI, voorafgaand aan een bepaald jaar, een kansmodel van de verdeling van de hoogste temperatuur in dat jaar. Deze kansmodellen worden gebaseerd op de gegevens (de hoogste temperaturen) uit de voorgaande jaren. Het KNMI gaat ervan uit dat het daarbij steeds om normale verdelingen gaat. Twee van dergelijke modellen zie je in de volgende figuur. Je kunt zien dat het model van 2006 ten opzichte van dat van 1980 sterk naar rechts is verschoven. In de figuur is te zien dat de kans op een hoogste temperatuur van, bijvoorbeeld, 35 °C of meer in 2006 fors groter is dan in 1980.

13.

Bereken voor 2006 op basis van het model van 2006 de kans op een hoogste temperatuur van 35 °C of meer.

Voor 1980 was de kans op een hoogste temperatuur van 35 °C of meer veel kleiner. Die kans was slechts 0,01. De kans op een hoogste temperatuur van 31,0 °C of meer was toen 0,5.

14.

Bereken de standaardafwijking voor het jaar 1980. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Ook voor 1951 heeft het KNMI een normale verdelingscurve bepaald.
Voor die verdeling van 1951 geldt: μ = 29,8 en σ = 1,8.
In de figuur hieronder zijn, behalve de temperatuurverdelingen van 1980 en 2006, ook nog vier andere verdelingen A tot en met D getekend (blauw). Eén van deze vier hoort bij de verdeling van 1951.

15.

Welke van de vier grafieken A tot en met D  hoort bij 1951? Licht je antwoord toe.

Het is natuurlijk niet zo dat het warmste moment van een jaar ook altijd tijdens de Vierdaagse valt. Zoals te zien is in de figuur hieronder gebeurde dat wel in 1972 en in 2006. In deze figuur staat ook de trendlijn van de maximale temperaturen tijdens de Vierdaagse.

16.

Stel een formule op van deze trendlijn en bereken daarmee in welk jaar de trendlijn een maximale temperatuur van 28 °C zal geven tijdens de Vierdaagse.

De marathonloper Pete Riegel ontwikkelde een eenvoudige formule om te voorspellen welke tijd een hardloper nodig zou hebben om een bepaalde afstand af te leggen, op basis van zijn tijden op eerder gelopen afstanden.
Die formule luidt als volgt:

T₁ is de tijd, uitgedrukt in seconden, die gelopen is op de afstand d₁ en T₂ is de voorspelde tijd in seconden op de afstand d₂ . De formule is geldig voor afstanden vanaf 1500 meter tot en met 42195 meter, de marathon.
De formule is onafhankelijk van de gebruikte eenheden, dus d₁ en d₂ mogen bijvoorbeeld allebei in km worden ingevuld of allebei in m.

Harald loopt de 1500 meter in 4 minuten en 52 seconden.

17.

Bereken in minuten en seconden Haralds te verwachten tijd op de 10000 meter.

Het ligt voor de hand dat de gemiddelde snelheid lager wordt als de te lopen afstand groter wordt. Dat is ook in overeenstemming met de formule: als de afstand tweemaal zo groot wordt, dan geldt volgens de formule van Riegel dat de gemiddelde snelheid altijd met hetzelfde percentage afneemt.

18.

Een andere maat voor de snelheid is de kilometertijd K, het aantal seconden dat een hardloper gemiddeld per kilometer nodig heeft. In formulevorm:  K = ^T/_d  .
Hierbij is T de totale tijd in seconden en d de afstand in kilometers.

Als we naar de wereldrecords op de langere loopafstanden kijken, dan blijken de kilometertijden heel goed te voorspellen te zijn met de formule van Riegel. Dat is opmerkelijk want die afstanden werden door verschillende hardlopers gelopen.

Het wereldrecord op de 1500 meter is precies 3 minuten en 26 seconden. Uitgaande van dit wereldrecord kunnen de tijden voor de wereldrecords op de andere afstanden met behulp van de formule van Riegel berekend worden met

Hierbij is K de kilometertijd in seconden en d de afstand in kilometers.

19.

Laat zien hoe de laatste formule met behulp van de andere formules kan worden opgesteld.

20.

Laat, uitgaande van K = 133,49 • d^0,07, met behulp van de afgeleide K ′ zien dat de kilometertijden afnemend stijgen.