VWO WA, 1983 - II

 

OPGAVE 1.
       

       
Hierboven staat een grafiek uit het tijdschrift 'U.S. News and World Report' van 7 april 1975. De Engelse tekst erbij, vrij vertaald, luidt:  ''Ernstige misdaden nemen sneller toe dan ooit'.

Ga er bij beantwoording van de volgende vragen vanuit dat je de aantallen misdaden kunt aflezen uit de grafiek, door het midden van de dikke lijn te nemen.
       
  a. Hoe kun je aan de grafiek zien dat het aantal misdaden in het laatste jaar van de periode 1960-'74 inderdaad sneller is gestegen dan ooit tevoren in die periode?
       
  b. In een ander tijdschrift stond een grafiek van het aantal misdaden in de V.S. afgebeeld met 'drie jaar' in plaats van 'één jaar' als klassenbreedte en met de meetpunten 1962, '65, '68, '71 en '74.
Wekt de grafiek in dat tijdschrift ook de indruk van een versnelde stijging van het aantal misdaden aan het eind van de periode 1960-'74?
       
  c. Een statisticus beschrijft het aantal misdaden in de V.S., afhankelijk van de tijd, met de formule:  M = 0,5T + 3
(M is het aantal misdaden in miljoenen, T is de tijd in jaren na 1960)
In welke jaren geeft de formule het zelfde aantal misdaden (met een toegestane afwijking van 200000) als in de grafiek van  "U.S. News en World Report" wordt aangegeven?
       
  d. De bevolkingsgroei in de periode 1960-'74 in de V.S. wordt benaderd met de formule A = 2T + 180 (A is het aantal inwoners van de V.S. in miljoenen, T is de tijd in jaren na 1960).
Teken, uitgaande van  deze formule en de formule genoemd in c) de grafiek van het relatieve aantal misdaden ten opzichte van het inwoneraantal (in procenten) als functie van de tijd.
       
  e. In welk opzicht geeft de onder d) bedoelde grafiek (van het relatieve aantal misdaden) een betere voorstelling van zaken dan de grafiek in  "U.S. News en World Report" ?
       
OPGAVE 2.
         
Gegeven zijn de wegennetten I en II:
         

         
  a. Welk van de twee wegennetten heeft de grootste graad van verbondenheid?
         
C is de verbindingsmatrix van I.
         
  b. Beredeneer wat het grootste getal van C2 is, zonder C en/of C2 uit te schrijven.
         
  c. Verklaar waarom er nullen voorkomen in C4 .
         
D is de verbindingsmatrix van II.
         
  d. Het punt P in wegennet II correspondeert met de eerste rij en de eerste kolom van de matrix D; het punt Q correspondeert met de laatste rij en de laatste kolom van matrix D.
Bereken het getal dat op de eerste rij en de laatste kolom van D6 staat.
         
  e. De vetgetekende verbindingswegen in de figuur hiernaast zijn niet begaanbaar. Iemand gaat van P naar Q en weer terug naar P en maakt daarbij gebruik van 12 verbindingswegen. Voor de terugweg kiest hij niet precies dezelfde route als voor de heenweg. Uit hoeveel verschillende routes P-Q-P heeft hij de keus?

         
OPGAVE 3.
         
Opbrengst (= O) en kosten (= K) van een bepaald product zijn functies van de geproduceerde hoeveelheid (= q).
Op dubbellogaritmisch papier zijn de grafieken van O en K als functies van q getekend.
Neem aan dat die grafieken zich rechtlijnig voortzetten en elkaar ontmoeten in het punt (10000, 1000)
         

         
  a. Beschrijf O en K als functies van q met behulp van een formule.
         
  b. Teken de grafieken van O en K voor  0 < q < 10000 in een assenstelsel met gewone schaalverdeling langs de assen (neem de eenheid op de verticale as tien keer zo groot als op de horizontale).
         
  c. Bereken voor welke q de winst maximaal is; W = O - K
         
  d. Welke van de twee grafische voorstellingen, die met logaritmische schaalverdeling, respectievelijk lineaire schaalverdeling, leent zich het best voor het aflezen van de maximale winst?
         
OPGAVE 4.
         
Een wijnkenner beweert dat hij verschillende wijnjaren van de wijnsoort Medoc kan onderscheiden.
         
  a. Er worden hem tien glazen wijn voorgezet: 6 gevuld met Medoc 1975 en 4 met Medoc 1970. De glazen staan in willekeurige volgorde en de wijnkenner is gedurende de hele proef geblinddoekt. Het enige dat hij weet is dat er 6 glazen van de eerste soort en 4 glazen van de tweede soort zijn ingeschonken.
Veronderstel dat de wijnkenner een bluffer is en slechts raadt naar het wijnjaar.
Hoe groot is de kans dat hij tien keer het goede wijnjaar noemt?
         
  b. Nu worden de tien glazen stuk voor stuk 'ad random' met een van de wijnsoorten gevuld (er wordt steeds een geldstuk geworpen; bij 'kop' schenkt men 1975 in, anders 1970).
Neem opnieuw aan dat de wijnkenner alleen maar raadt.
Hoe groot is de kans dat hij tien keer het goede jaar noemt?
         
  c. De wijnkenner zwakt zijn bewering af en zegt dat hij weliswaar niet met zekerheid kan vaststellen met welk wijnjaar hij te doen heeft, maar dat hij vaker goed dan fout kiest. Hij krijgt opnieuw tien glazen wijn voorgezet, stuk voor stuk 'ad random' gevuld, en noemt achtmaal het goede jaar.
Is er op grond van deze uitslag reden genoeg om hem te geloven bij een significantieniveau van 5%?
         
  d. Een week later voert men opnieuw deze toets uit, maar nu met een ander aantal glazen (''ad random' met één van beide wijnsoorten gevuld). Bij een significantieniveau van 5% wordt de wijnkenner slechts geloofd als hij ten hoogste één keer een verkeerd jaar noemt.
Hoeveel glazen krijgt hij ten minste voorgezet?
         
OPGAVE 5.
         
Een bedrijf maakt vier modellen vliegtuigjes. Er worden twee uitvoeringen van een sportvliegtuig gemaakt: de Super (S) en de Economy (E). Daarnaast worden er twee versies gemaakt van een zweefvliegtuig: één echt zweefvliegtuig, de Zwever (Z), en één met hulpmotor: de Motorzwever (M).

Het schema voor de productie staat in de figuur hieronder. Daaruit blijkt onder anderen dat er naast het onderdelenmagazijn 5 productiehallen zijn die alle een maximale capaciteit hebben. Zo heeft hal I een productiecapaciteit van 10000 uur.
De productietijden per model per hal staan ook in het schema vermeld: bijvoorbeeld het in elkaar zetten van een 'Economy' 40 uur.
Tenslotte is ook de winst af te lezen uit het schema: bij de 'verkoop' blijkt de winst op een 'Super'  f 6000,- te bedragen.
         

         
  a. Stel een simplex-tableau op voor de berekening van de maximale winst (Je hoeft de berekening zelf niet uit te voeren).
         
De berekening wordt door een computer uitgevoerd. De laatste drie tableaus die de computer levert zien er als volgt uit (1e kolom: Super, 2e kolom: Economy, 3e kolom: Motorzwever, 4e kolom: Zwever):
         
het simplex tableau ziet er zó uit:
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00		 1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
25.00
0.00
0.00
2.00
3.00		 0.03
1.65
-0.06
0.00
0.04
0.08		 0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
-1.50
0.05
0.00
-0.15
-0.19		 -0.08
-1.50
0.05
0.07
-0.20
-0.17		 0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00		 62.50
3425.00
52.50
150.00
480.00
-1409.38
De waarde van de doelstellingsfunctie is 1409.38
         
het simplex tableau ziet er zó uit:
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00		 1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 0.03
0.07
-0.06
0.00
-0.09
-0.12		 0.00
0.04
0.00
0.00
-0.08
-0.12		 0.00
-0.06
0.05
0.00
-0.03
0.00		 -0.08
-0.06
0.05
0.07
-0.08
0.00		 0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00		 62.50
137.00
52.50
150.00
206.00
-1820.38
De waarde van de doelstellingsfunctie is 1820.38
         
het simplex tableau ziet er zó uit:
0.00
0.00
0,00
1.00
0.00
0.00		 1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 1.67
1.20
20.00
-1.33
1.60
-0.18		 0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00		 -0.07
0.00
-1.10
0.07
-0.18
-0.11		 0.00
0.04
0.00
0.00
-0.08
-0.12		 0.08
0.00
1.00
-0.07
0.05
-0.02		 0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00		 0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00		 150.00
200.00
1050.00
80.00
290.00
-1830.00
De waarde van de doelstellingsfunctie is 1830.00
De optimale oplossing is nu gevonden.

Aan de hand van deze tableaus moeten de directeuren een beslissing nemen over de te produceren aantallen toestellen.
De ene directeur (A) wil per se het productieschema uitvoeren dat tot maximale winst leidt. De andere directeur (B) oppert de mogelijkheid om te produceren volgens het middelste tableau: de winst is wat minder, maar alle vier modellen worden geproduceerd.
         
  b. Bepaal aan de hand van de simplex-tableaus hoeveel stuks er van ieder model gemaakt moeten worden, als directeur A zijn zin krijgt en hoeveel als directeur B zijn zin krijgt.
         
  c. Bepaal bij ieder van de onder b) genoemde productiemogelijkheden de gemiddelde winst per vliegtuig.
         

 

UITWERKING
   
1a.  
   
1b.  
   
1c.  
   
1d.  
   
1e.  
   
2a. 1/3 en 1/5.
   
2b. 4
   
2c.  
   
2d. 20
   
2e. 20
   
3a. K = q3/4  en   O = 10 •  q1/2
   
3b.  
   
3c. W = 148 voor q = 1975
   
3d. lineaire
   
4a. 1/210
   
4b. 1/1024
   
4c. 0,0547 dus NIET
   
4d. 8
   
5a.  
   
5b. A:  80 - 150 - 0 - 200
B:  150 - 62,5 - 52,5 - 137
   
5c  . A:  4256
B: 4528