VWO WA12,   2001 - II
Vakkenkeuze
In het voorjaar van 1994 zijn bij een onderzoek naar vakkenkeuze 344 jongens en 493 meisjes ondervraagd die toen eindexamen deden.
Nederlands was voor iedereen verplicht. Havo-leerlingen moesten naast Nederlands nog tenminste 5 andere vakken kiezen.
In de tabel hieronder is te zien door hoeveel procent van de ondervraagden de andere vakken zijn gekozen.

vak jongens (in %) meisjes (in %)
Duits 31,1 46,7
Engels 98,8 97,6
Frans 10,2 38,5
Aardrijkskunde 19,2 28,2
Geschiedenis 25,3 30,2
Economie 60,2 47,9
Handelswetenschappen 43,0 29,8
Wiskunde A 43,3 62,3
Wiskunde B 54,7 22,3
Biologie 23,5 45,2
Natuurkunde 57,6 17,0
Scheikunde 42,2 24,5
Tekenen 7,0 15,2
Maatschappijleer 2,9 4,5
Muziek 0,9 3,4
Handenarbeid 2,3 4,9
Textiele werkvormen 0,0 0,4
Spaans 0,0 0,6
2p 1. Toon aan dat van de ondervraagde leerlingen meer meisjes dan jongens economie deden.

 
De meeste leerlingen hadden naast Nederlands 5 vakken gekozen. Sommige leerlingen hadden naast Nederlands 6 vakken gekozen. Geen van de leerlingen had naast Nederlands meer dan 6 vakken gekozen.
3p 2. Bereken hoeveel procent van de ondervraagde meisjes een extra vak deed.

 
Bij het onderzoek werd ook gevraagd of je, als je opnieuw zou mogen kiezen, weer precies hetzelfde vakkenpakket zou hebben gekozen. De onderzoekers vermoedden dat tenminste de helft van de kandidaten ontevreden was over hun huidige pakket.
Een onderwijsdeskundige was het daar niet mee eens. Kort voor het onderzoek beweerde hij dat minder dan de helft van alle HAVO-eindexamenkandidaten achteraf liever een ander pakket gekozen zou hebben.

Neem aan dat de groep van 837 ondervraagde leerlingen een aselecte steekproef vormt uit alle HAVO- eindexamenkandidaten. Van deze groep zouden 359 leerlingen een ander pakket gekozen hebben, zo bleek uit het onderzoek.
7p 3. Onderzoek of bij een significantieniveau van 1% het onderzoeksresultaat voldoende aanleiding geeft om de onderwijsdeskundige gelijk te geven.

 
De leerlingen moesten ook aangeven wιlke vakken ze zouden willen vervangen.
Voor enkele vakken staat het resultaat in de figuur hieronder. Bijvoorbeeld: van alle meisjes met wiskunde B zou ongeveer 21% dat vak achteraf liever niet hebben gekozen.
Aan de leerlingen die tenminste ιιn ander vak gekozen zouden hebben werd ook gevraagd welk nieuw vak of welke nieuwe vakken ze zouden kiezen. In de figuur hieronder staat voor enkele vakken het resultaat. Bijvoorbeeld: van de meisjes die tenminste ιιn ander vak gekozen zouden hebben zou ruim 25% wiskunde A kiezen. (Merk op dat veel leerlingen meer dan ιιn nieuw vak zouden kiezen, waardoor het totaal zelfs over deze zes vakken al ver boven de 100% komt).
Er waren 127 jongens en 232 meisjes die tenminste ιιn ander vak zouden kiezen.
Stel dat alle leerlingen het achteraf gewenste pakket hadden gekozen.
7p 4. Onderzoek of dan nog steeds meer meisjes dan jongens economie zouden doen. Maak hierbij gebruik van de resultaten van vraag 1 en van de beide figuren hierboven.

 
Persoonlijke lening
Iemand heeft bij een bank een persoonlijke lening afgesloten van ƒ 80.000,-. Voor rente en aflossing betaalt hij aan het eind van elke maand een vast bedrag, namelijk ƒ720,-. De bank brengt hem 0,7% rente per maand over het restant van de lening in rekening. L0 is het beginbedrag: ƒ80.000,- Lt is het restant van de lening direct na het eind van de tde maand. Lt berekent men als volgt:
Eerst wordt het restant aan het eind van de vorige maand (Lt-1) vermeerderd met de verschuldigde rente en daarna wordt de ƒ720,- er van af getrokken. Er wordt bij alle bedragen gerekend in guldens.
Het model dat hier bij hoort ziet er dus als volgt uit:
Lt = 1,007  • Lt-1 - 720
L0 = 80000

In de tabel hieronder kun je voor de eerste paar maanden zien hoe groot het restant van de lening is aan het eind van elke maand.

  t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
Lt 80000 79840,- 79678,88 79516,63 79353,25
3p 5. Bereken L6

 
Het maandbedrag van ƒ720,- bestaat voor een deel uit de verschuldigde rente en voor een deel uit aflossing. Met behulp van de tabel hierboven kunnen we bijvoorbeeld nagaan dat aan het eind van de eerste maand ƒ160,- van de lening is afgelost. De maandelijkse aflossing aan het eind van de tde maand geven we aan met At.
Dus hebben we de volgende formule:

At = 720 - 0,007 • Lt-1

Door deze aflossing wordt het restant van de lening elke maand kleiner.
In formulevorm:

Lt = Lt-1 - At

Met behulp van de tabel hierboven kun je nagaan dat A1 = 160.
Doordat het restant van de lening, en dus ook de verschuldigde rente, steeds kleiner wordt, wordt de aflossing steeds groter. Dit kan beschreven worden met de volgende formule:

At+1 = 1,007•At
4p 6. Toon met behulp van het voorgaande aan dat deze formule juist is.

 
Op een bepaald moment is het restant van de lening plus de rente daarover ƒ720,- of minder. Dit vormt dan het laatste maandbedrag en daarmee is de lening afgelost.
5p 7. Toon aan dat de lening na 216 maanden is afgelost.

 
Geboorte
In de kansrekening gaat men er vaak van uit dat bij een geboorte de kans op een jongen even groot is als de kans op een meisje, namelijk 0,5. In werkelijkheid worden er iets meer jongens geboren dan meisjes. Bij elke geboorte is de kans op een jongen ongeveer 0,51.

Wanneer we bijvoorbeeld de kans willen berekenen dat een gezin met 4 kinderen bestaat uit 2 jongens en 2 meisjes dan kunnen we gebruik maken van de bovengenoemde 0,5. Maar we kunnen die kans ook berekenen met behulp van de bovengenoemde 0,51. De twee uitkomsten die we krijgen zijn niet even groot.
4p 8. Bereken hoeveel beide uitkomsten van elkaar verschillen.

 
Ook bij de Europese vorstenhuizen is de kans dat een jongen wordt geboren 0,51. Toch zijn er bij de 500 geboortes die de afgelopen eeuwen bij de Europese vorstenhuizen plaatsvonden maar liefst 285 jongens geboren. De kans op zo'n groot aantal jongens is niet zo groot.
4p 9. Bereken de kans dat er bij 500 geboortes minstens 285 jongens zijn.

 
De Nieuw-Zeelandse arts Grant heeft onderzocht of de kans op een jongen, en daarmee dus ook de kans op een meisje, afhangt van persoonlijkheidskenmerken van de moeder. In het onderzoek deelde zij de moeders in vijf categorieλn in: zeer meegaand, meegaand, bescheiden, dominant en zeer dominant. Uit haar onderzoek bleek dat de kans op een meisje bij een zeer meegaande moeder vijf keer zo groot is als de kans op een meisje bij een zeer dominante moeder.
Als de uitkomst van het vervolgonderzoek van Grant juist is, is de kans op een jongen bij een zeer dominante moeder, zo valt na te rekenen, groter dan 0,8. Dat betekent dat deze kans dus zeker niet gelijk kan zijn aan bijvoorbeeld 0,75.
3p 10. Laat door een berekening zien dat deze kans inderdaad niet gelijk kan zijn aan 0,75

 
Uit de uitkomst van Grants vervolgonderzoek mag je niet de conclusie trekken dat de kans op een jongen bij een zeer dominante moeder vijf keer zo groot is als bij een zeer meegaande moeder.
3p 11. Laat met behulp van een getallenvoorbeeld zien dat je die conclusie inderdaad niet mag trekken.

 
Kavelkosten
Een gemeente wil uitbreiden door het bouwen van een nieuwe wijk. De plaats waar de nieuwe wijk gebouwd zal worden is vastgesteld. Voordat de gemeente het uitbreidingsplan laat uitvoeren doet de gemeente onderzoek naar de kosten van het plan. Er zijn twee soorten kosten voor de gemeente:
  • de kosten van aankoop van de grond. In deze situatie bedragen de kosten 170000 gulden per hectare (1 hectare = 10000 m2)
  • de kosten van het bouwrijp maken. Dit betreft kosten voor de aanleg van bijvoorbeeld wegen, rioleringen en groenvoorzieningen. Deze kosten zijn hoger naarmate het aantal woningen dat per hectare gebouwd zal worden groter is.
In de figuur hieronder zijn kosten van diverse vergelijkbare projecten door middel van plusjes weergegeven. Zowel langs de horizontale as als langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Hierbij is x het aantal woningen per hectare. B stelt voor de kosten per hectare van het bouwrijp maken in duizenden guldens. Op grond van de plusjes in de figuur is een grafiek (de lijn k in de figuur) getekend die het verband tussen x en B weergeeft.

De lijn k beschrijft een theoretisch model waarmee B kan worden berekend.
De werkelijke kosten bij de onderzochte projecten (de plusjes in de figuur) wijken soms aanzienlijk af van de kosten volgens dit model.
Kijk bijvoorbeeld maar naar de kosten van het project dat hoort bij x = 19
5p 12. Onderzoek of de werkelijke waarde van B van dit project meer dan 100% afwijkt van de waarde van B volgens het model.
Ga er in de rest van de opgave van uit dat  B = 0,4 · x1,8

We gaan er voor het gemak van uit dat alle woningen hetzelfde zullen zijn. De totale kosten per woning voor de gemeente bestaan uit de volgende onderdelen:
  • de aankoopkosten van de grond per woning:  KA = 170 • x-1
  • de kosten voor het bouwrijp maken van de grond  KB = 0,4 • x0,8
In deze formules zijn KA en KB in duizenden guldens.
4p 13. Laat zien hoe de formules van KA en KB tot stand zijn gekomen.

 
In de figuur hieronder zie je een schets van de grafieken van KA en KB.


Neem aan dat de gemeente ernaar zal streven om de totale kosten per woning zo klein mogelijk te maken.
6p 14. Stel een formule op voor de afgeleide van de functie die de totale kosten per woning weergeeft en onderzoek met behulp daarvan of het minimum van de totale kosten per woning bereikt wordt als KA en KB even groot zijn.

 
In de toekomst zal de gemeente nog meer stukken grond aankopen. De grondprijs per ha zal echter in de toekomst kunnen stijgen. Daardoor zal ook het aantal woningen dat per ha gebouwd moet worden om de totale kosten zo klein mogelijk te maken veranderen. Een ambtenaar onderzoekt dit probleem met zijn grafische rekenmachine. Hij gebruikt daarbij de volgende uitgangspunten:
  • de grondprijs per ha G (in duizenden guldens) zal tussen 170 en 250 liggen.
  • bij iedere grondprijs G kun je met de formule KT = G • x-1 + 0,4 • x0,8 berekenen hoe de totale kosten per woning KT afhangen van x, het aantal woningen per ha. Bij iedere waarde van G is er precies ιιn waarde van x die de minimale kosten per woning oplevert.
In zijn rapport vermeldt de ambtenaar dat het voor G = 230 het goedkoopst is om 39 woningen per ha te bouwen. Hij heeft daarbij het aantal woningen per ha afgerond op gehelen. Maar er zijn nog meer waarden van G waarbij de totale kosten per woning minimaal zijn wanneer er (afgerond) 39 woningen per ha gebouwd worden.
4p 15. Onderzoek voor welke waarden van G dit laatste het geval is. Geef de gevonden waarden van G in duizenden guldens nauwkeurig.

 
Kantine
In de kantine van een bedrijf worden twee warme lunches aangeboden: een 'exotische lunch' en een 'Hollandse lunch'. De kantinebeheerder mag hiervan zelf de prijs bepalen. De beheerder merkt dat de verkoopprijs van ιιn maaltijd van invloed is op de verkochte aantallen van beide maaltijden. We nemen aan dat het volgende stelsel vergelijkingen is op te stellen voor het verband tussen de verkoopprijzen en de aantallen verkochte maaltijden:

Hierbij is a het aantal verkochte exotische lunches per maand en b het aantal verkochte Hollandse lunches per maand. Verder is x de verkoopprijs (in guldens) van de exotische lunch en y de verkoopprijs (in guldens ) van de Hollandse lunch.

De totale kosten die de beheerder maakt zijn ƒ3,- voor een exotische lunch en ƒ2,- voor een Hollandse lunch.

De beheerder wil weten hoe groot de winst is als een exotische lunch voor ƒ3,25 en een Hollandse lunch voor ƒ2,25 verkocht wordt.
4p 16. Bereken in deze situatie de winst per maand op exotische lunches en de winst per maand op Hollandse lunches.

 

 
TK zijn de totale kosten per maand in guldens. W is de totale winst per maand in guldens. TK zowel als W kunnen worden uitgedrukt in x en y:
TK = 500y - 4000x + 17500
W = -3000x2 + 6000xy + 6500x + 4500y - 17500
4p 17. Toon de juistheid van de formule voor W aan. Gebruik daarbij eventueel de bovenstaande formule voor TK.

 
Het stelsel vergelijkingen voor het verband tussen x , y, a en b is slechts geldig voor  a ³ 0 en  b ³ 0. Bovendien worden de maaltijden niet verkocht onder de kostprijs dus x ≥ 3 en  y ≥ 2. Deze beperkingen leiden ertoe dat het hierboven omschreven model (het stelsel vergelijkingen voor het verband tussen x, y, a en b ) slechts geldig is op een beperkt gebied voor x en y.
7p 18. Teken dit toegestane gebied in een xy- assenstelsel.

 
Het doel van de beheerder is om de verkoopprijzen zodanig vast te stellen dat zijn maandelijkse winst zo hoog mogelijk is.

De beheerder rekent, uitgaande van de formule voor W, eerst een getallenvoorbeeld door.
Hij kiest y = 3
5p 19. Bereken bij welke verkoopprijs van een exotische lunch de winst in dat geval zo hoog mogelijk is.

 
In de tabel hieronder is voor een aantal andere keuzes voor y af te lezen bij welke verkoopprijs van een exotische lunch de winst zo hoog mogelijk is. Ook is steeds die hoogste winst berekend.
keuze y beste x getallenpaar (x,y) W
2,10 3,18 (3.18 ; 2,10) 300,80
2,20 3,28 (3.28 ; 2.20) 540,80
2,25 3,33 (3.33 ; 2.25) 645,80

In de hierna volgende tabel is voor een aantal keuzes van x af te lezen bij welke verkoopprijs van een Hollandse lunch de winst zo hoog mogelijk is. Ook hier is steeds die hoogste winst berekend.

keuze x beste y getallenpaar (x, y) W
3,10 2,31 (3.10 ; 2.31) 500,50
3,20 2,37 (3.20 ; 2.37) 664,50
3,30 2,43 (3.30 ; 2.43) 804,50

De punten die horen bij de getallenparen (x,y) uit de eerste tabel liggen op een rechte lijn. Ook de punten die horen bij de getallenparen (x,y) uit de tweede tabel liggen op een rechte lijn.
Het snijpunt van deze twee lijnen levert de verkoopprijzen met maximale winst.
6p 20. Bereken nu de maximale winst voor de beheerder.

 

 
OPLOSSINGEN
Het officiλle (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. Jongens met economie:  60,2% van 344 = 207
Meisjes met economie:  47,9% van 493 = 236
Dus er zijn meer meisjes met economie.
2. Als elk meisje precies vijf vakken zou hebben gekozen zou de rij percentages opgeteld 500% geven.
De optelling levert  46,7 + 97,6 + ... + 0,4 + 0,6 = 519,2%
Dat betekent dat 19,2% van de meisjes een extra vak heeft gekozen.
3. H0:  p = 0,5
H1:  p < 0,5  (de onderwijsdeskundige).  Dus de toets is ιιnzijdig.
 α = 0,01
De meting is 359 successen van de 837
Overschrijdingskans is  P(X ≤ 359 | n = 837 , p = 0,5) = BINOMCDF(837 , 0.5 , 359) = 0,000022031...
Dat is kleiner dan α dus H0 moet verworpen worden,  dus de onderwijsdeskundige krijgt wel gelijk.
4. Bij vraag 1 is berekend dat 207 jongens het vak economie hebben gekozen.
In de eerste figuur is af te lezen dat 7,5% daarvan, ofwel 16 jongens liever een ander vak hadden gekozen.
In de tweede figuur is af te lezen dat 34% van de 127 jongens die een ander vak hadden willen kiezen voor economie gekozen zouden hebben, dus dat zijn 43 jongens.
Het aantal jongens met economie zou dan 207 - 16 + 43 = 234 zijn geweest.

Dezelfde berekening voorde meisjes geeft  236 - 41 + 53 = 248 meisjes.

Dus ook als alle leerlingen het achteraf gewenste pakket hadden gekozen zouden meer meisjes economie doen.
5. L5 = 1,007 • L4 - 720 = 79188,72
L6 = 1,007 • L5 - 720 = 79023,04
6. At = 720 - 0,007 • Lt-1  is hetzelfde als  At+1 = 720 - 0,007 • Lt
Maar Lt = Lt-1 - At
Dus:  At+1 = 720 - 0,007•((Lt-1) - At)  dus  At+1 = 720 - 0,007 • Lt-1 + 0,007•At
De eerste twee termen zijn samen precies At, dus:  At + 1 = At + 0,007•At = 1,007•At
7. In de GR:  MODE - SEQ, en dan bij Y=:
nmin = 0
u(n) = 1,007 • u(n-1) - 720
u(nmin) = 80000
Kijk in de tabel wanneer u(n) minder dan nul wordt.
Dat geeft  u(215) = 443,43  en  u(216) = -273,46. Dus na 216 maanden is de lening afgelost.
8. 1e opl. P(2 meisjes en 2 jongens) = (4 nCr 2) • P(MMJJ)
In het ene geval geeft dat  6 • 0,54 = 0,3750
In het andere geval  6 • 0,492 • 0,512 = 0,3747
Het verschil is 0,0003 
2e opl. BINOMPDF (4 , 0.5 , 2) = 0,375  en  BINOMPDF (4 , 0.51 , 2) = 0,3747
Het verschil is 0,0003
9. Het aantal jongens A is binomiaal verdeeld met  n = 500 , p = 0,51.
P(minstens 285) = P(A ≥ 285) = 1 - P(A ≤ 284) = 1 - BINOMCDF (500 , 0.51 , 284) = 1 - 0,9959 = 0,0041
10. Stel dat de kans op een jongen bij een zeer dominante moeder 0,75 is.
Dan is de kans op een meisje 0,25
De kans op een meisje bij een meegaande moeder zou dan 5 • 0,25 = 1,25 moeten zijn.
Maar dat kan niet want een kans kan nooit groter dan 1 zijn.
Conclusie: een kans van 0,75 bij een zeer dominante moeder is niet mogelijk.
11. Stel dat de kans op een jongen bij een zeer dominante moeder 0,9 is
Dan is de kans op een meisje bij een zeer dominante moeder 1 - 0,9 = 0,1
Dan is de kans op een meisje bij een zeer meegaande moeder  5 • 0,1 = 0,5
Dan is de kans op een jongen bij een zeer meegaande moeder  1 - 0,5 = 0,5
0,9 is niet 5 keer zo groot als 0,5.
12. De modelwaarde en de werkelijke waarde van B kunnen worden afgelezen bij  x = 19
De modelwaarde is de hoogte van lijn k  en is ongeveer  B = 85
De werkelijke waarde is de plaats van het + teken en is B = 210
De werkelijke waarde is meer dan tweemaal de modelwaarde en wijkt dus meer dan 100% af.
13. De aankoopkosten van de grond per hectare zijn ƒ170.000,-. Als er x woningen op gebouwd worden is dat per woning  170000/x in guldens ofwel  170/x = 170 • x -1 in duizenden guldens. Dat is KA
Den kosten voor het bouwrijp maken zijn  B = 0,4 • x1,8 dus per woning is dat  (0,4•x1,8)/x = 0,4 • x0,8
en dat is KB
14. KA + KB = 170 • x-1 + 0,4 • x0,8
De afgeleide daarvan is  -1 • 170 • x-2 + 0,4 • 0,8 • x-0,2 = -170x-2 + 0,32x-0,2
Plot deze afgeleide en kijk wanneer hij nul is
Dat is bij x = 32,6629 
x is een aantal huizen en moet dus een geheel getal zijn.
x = 32 geeft  K = 11,7125
x = 33 geeft  K = 11,7110
Voor minimale kosten moet de gemeente dus 33 woningen per hectare bouwen.
In dat geval is  KA = 170 • 32-1 = 5,1515... en KB = 0,4 • 330,8 = 6,5595....
Die zijn dus niet gelijk.
15. Gewoon een beetje proberen!
Voer voor allerlei waarden van G rond de 230 de formule  KT = G • x-1 + 0,4 • x0,8 in in de GR en laat de GR met de functie CALC-minimum voor al die functies het minimum bepalen.
Dat geeft deze resultaten:
G KT minimaal bij x = x afgerond
228
229
230
231
232
...
...
238
239
240		 38,45
38,54
38,60
38,73
38,82
...
...
39,38
39,47
39,56		 38
39
39
39
39
39
39
39
39
40

Conclusie:  voor G = 229 tot en met 239 is KT minimaal bij x = (afgerond) 39
16. De winst per lunch is voor beide typen ƒ0,25
De winst per maand op exotische lunches = 0,25 • a = 0,25 • (2500 - 3000 • 3,25 + 3500 • 2,25) = ƒ 156,25
De winst per maand op Hollandse lunches = 0,25 • b = 0,25 • (5000 + 2500 • 3,25 - 5000 • 2,25) = ƒ 468,75
17. TO is de totale opbrengst per maand, dus  TO = x • a +  y • b
TO = x • (2500 - 3000x+ 3500y) + y • (5000 + 2500x - 5000y)
= 2500x- 3000x2 + 3500xy + 5000y+ 2500xy - 5000y2
= 2500x - 3000x2 + 6000xy + 5000y - 5000y2 
18. a ≥ 0  geeft  2500 - 3000x + 3500y ≥ 0 en delen door 500 geeft:  5 - 6x + 7y ≥ 0
b ≥ 0 geeft  5000 + 2500x - 5000y ≥ 0  en delen door 2500 geeft  2 + x - 2y  ≥ 0
De eerste grenslijn gaat bijv. door (2,1) en (9,7)  en de tweede grenslijn gaat bijv. door (0,1) en (6,4)
Het toegestane gebied wordt daarmee als hieronder:
19. Als y = 3 dan wordt de winstfunctie W gelijk aan:
W = -3000x2 + 18000x - 45000 + 6500x + 13500 - 17500
W = -3000x2 + 24500x - 49000
Dat is een bergparabool. De top vinden we als de afgeleide nul is:
W ' = -6000x + 24500  en dat is nul als  x = 24500/6000 = 4,08
De prijzen x = 4,08 en y = 3 liggen inderdaad in het toegestane gebied uit de vorige opgaven, dus een exotische lunch voor ƒ4,08 levert maximale winst.
20 De vergelijking van een lijn door de punten van de eerste tabel:
Twee punten zijn bijvoorbeeld  (3.18 , 2.10)  en  (3.33 , 2.25)
Hellinggetal = a = Δy/Δx = (2,25 - 2,10)/(3,33 - 3,18) = 0,15/0,15 = 1
De lijn heeft vergelijking y = 1 • x + b
b vinden we door een punt in te vullen. Bijv. (3.18 , 2.10) levert  2,10 = 1 • 3,18 + b  dus  b  = -1,08
De vergelijking is daarmee geworden   y = x - 1,08

De vergelijking van de lijn door de punten van de tweede tabel. Kan op dezelfde manier.
Kan ook zo met de GR:
Voer bij L1  (STAT- EDIT) de x -waarden 3,10  en  3,30 in  en ernaast bij L2 de y-waarden 2,31 en 2,43
Gebruik STAT-CALC-LinReg(ax + b) (L1 , L2)
Dat geeft in ιιn keer de vergelijking  y = 0,6x + 0,45

Snijden van beide lijnen:
x - 1,08 = 0,6x + 0,45  dus  x - 0,6x = 0,45 + 1,08  dus  0,4x = 1,53  dus  x  = 1,53/0,4 = 3,825
y = x - 1,08 = 3,825 - 1,08 = 2,745.
De prijzen zijn dus  x = ƒ3,83  en  y = ƒ2,75
Invullen in de winstfunctie geeft
W = -3000 • 3,832 + 6000 • 3,83 • 2,75 - 5000 • 2,752 + 6500 • 3,83 + 4500 • 2,75 - 17500 = 1145,80
De maximale winst is dus ƒ1145,80