VWO WA1, 2006 - II

 

Fooi.
Sandra is serveerster in een café. Gedurende 100 werkdagen heeft Sandra bijgehouden welk bedrag aan fooien ze op die dagen heeft gekregen. Het resultaat hiervan zie je in de volgende tabel.
bedrag aan fooien per dag, in euro's 0 tot 5 5 tot 10 10 tot 15 15 tot 20 20 tot 25
aantal dagen 2 17 48 29 4
Aan de hand van deze tabel kun je een schatting maken van het totale bedrag aan fooien dat Sandra in die 100 dagen heeft ontvangen.
3p

1.

 Maak een schatting van dat bedrag. Geef een wiskundige berekening.

 
Sandra heeft niet alleen bijgehouden welk bedrag aan fooien ze krijgt, maar ook hoeveel klanten haar een fooi geven. Daaruit bleek dat 80% van haar klanten een fooi geeft. We gaan ervan uit dat dit percentage ook geldt voor de klanten die Sandra in de komende tijd zal gaan bedienen.
3p

2.

 Bereken de kans dat van de eerstvolgende 10 klanten van Sandra er hoogstens 8 een fooi geven.

 
In de Verenigde Staten is men gewend in cafés en restaurants flinke fooien te geven. De psycholoog L. Green heeft onderzocht in welke mate de hoogte van de fooi afhangt van het bedrag van de rekening. Voor rekeningen tussen 3 en 100 dollar bleek het volgende verband te bestaan:
F = 0,127 • R + 1,21

In deze formule is F de hoogte van de fooi in dollars en R het bedrag van de rekening in dollars.

Met behulp van deze formule kun je bij elke rekening de hoogte van de fooi uitrekenen. Dan kan daarmee worden berekend hoeveel procent de fooi is van het bedrag van de rekening. Bij een rekening van 4 dollar is dit percentage hoger dan bij een rekening van 90 dollar.
4p

3.

 Bereken deze beide percentages.

 
We kijken nu naar de situatie waarin 4 mensen hebben gegeten in een restaurant. Zij kunnen op twee manieren de rekening betalen:
I:  Ze vragen samen één rekening
II: Ze vragen voor ieder afzonderlijk een rekening.
Veronderstel dat ze de rekening betalen met een fooi volgens bovenstaande formule. Degene die de fooi ontvangt krijgt bij manier I niet dezelfde fooi als bij manier II.
4p

4.

 Beredeneer welk van beide manieren het grootste bedrag aan fooien oplevert.

 
Niet alleen in de Verenigde Staten, maar ook in Nederland is onderzoek uitgevoerd naar de hoogte van de fooien. Voor rekeningen tussen 10 euro en 100 euro staat in de volgende figuur hoeveel procent fooi er gemiddeld gegeven wordt.
In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een rekening van 20 euro de Nederlander gemiddeld 11,5% fooi geeft.

Voor Nederland bestaat er, vergelijkbaar met de Verenigde Staten, een lineaire formule F = a • R + b die het verband aangeeft tussen het bedrag van de rekening R in euro's en de hoogte van de fooi F in euro's.
Met behulp van de figuur hierboven  kun je narekenen dat voor deze formule geldt:  a ≈ 0,08
Daarmee kun je dan ook b berekenen. Daarvoor moet je natuurlijk eerst voor enkele waarden van R de hoogte van de fooi berekenen.
5p

5.

 Laat met een berekening zien dat uit de figuur volgt dat  a inderdaad (ongeveer) 0,08 is en bereken de waarde van b.

 

 

Varkenspest.
Eind januari 1997 brak in Nederland de varkenspest uit. Om verspreiding van de ziekte te voorkomen is elk bedrijf waar deze ziekte werd geconstateerd, geruimd. Dat hield in dat alle varkens van zo'n bedrijf werden afgevoerd.
Vanaf het begin publiceerde het Ministerie van Landbouw,  Natuurbeheer en Visserij wekelijks bij hoeveel bedrijven er tot dan toe varkenspest was geconstateerd. Dit noemen we het aantal besmette bedrijven. De eerste telling op vrijdag 7 februari 1997 (we noemen dat n = 0) leverde 4 besmette bedrijven op. Vier weken later waren er in totaal 37 bedrijven besmet. Dat betekent dus dat er in de periode van 7 februari - 7 maart bij 33 bedrijven varkenspest werd ontdekt.
In de volgende tabel zie je enkele resultaten van die tellingen.
einddatum week 7 februari 7 maart 4 april 2 mei
aantal weken vanaf het begin n = 0 n = 4 n = 8 n = 12
aantal besmette bedrijven 4 37 68 151
Je kunt narekenen dat het aantal besmette bedrijven in de periode 7 maart - 4 april relatief minder toenam dan in de periode 4 april - 2 mei.
4p

6.

 Ga dit na door te berekenen met hoeveel procent het aantal besmette bedrijven toenam in elk van beide perioden.

 
Het resultaat van de wekelijkse tellingen zie je in onderstaande figuur weergegeven in de vorm van een globale grafiek.
De tijd waarop deze grafiek betrekking heeft beslaat bijna een jaar.

Het resultaat van de wekelijkse tellingen kunnen we ook weergeven in een toenamediagram.
In de volgende figuur staan vier toenamediagrammen over dezelfde periode als waarover de figuur hierboven is getekend. De wekelijkse toename van het aantal besmette bedrijven wordt met staafjes aangegeven.

Eén van deze  vier toenamediagrammen past goed bij de grafiek die gegeven is.
3p

7.

 Welk van de vier past goed bij de grafiek? Licht je antwoord toe.

 
Begin april 1997 zocht men naar een model waarmee het verdere verloop van de varkenspest voorspeld zou kunnen worden. Op basis van de aantallen besmette bedrijven voor n = 0,  n = 4 en n = 8 kwam men tot de volgende recursieformule:
Bn + 1 = -0,012 • Bn2 + 1,85 • Bn

In deze formule is Bn het aantal besmette bedrijven na n weken, gerekend vanaf 7 februari 1997.

Wanneer we met behulp van de GR de eerste afgeronde waarden van Bn volgens dit model berekenen en vergelijken met de werkelijke aantallen uit de tabel hierboven, krijgen we de volgende tabel:
n 0 1 2 3 4 8
Bn 4 7 13 22 34 70
werkelijke aantal 4       37 68
Je ziet dat voor n = 0, n = 4 en n = 8 de waarden volgens het model redelijk goed overeenkomen met de werkelijke waarden.
Voor hogere waarden van n geeft het model uitkomsten die nogal afwijken van de werkelijkheid. Voor bijvoorbeeld n = 12 is de afwijking al heel groot.
4p

8.

 Bereken hoeveel het aantal besmette bedrijven volgens dit model afwijkt van het werkelijke aantal op 2 mei 1997.

 
Een ander model waarmee het verdere verloop van de varkenspest in april 1997 voorspeld zou kunnen worden is gebaseerd op exponentiële groei. Met de aantallen besmette bedrijven op n = 4 en n = 8 uit de eerste tabel kan de groeifactor worden bepaald.
4p

9.

 Geef een schatting, op basis van deze exponentiële groei, van het aantal besmette bedrijven
op n = 16.

 
Zeep.
De firma Sanove fabriceert stukken zeep. De stukken zeep worden machinaal gemaakt. De machine is zo ingesteld dat het gewicht van de stukken zeep normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.

Volgens de norm die Sanove hanteert, mag het gewicht van hoogstens 2% van de stukken zeep minder zijn dan 90 gram.
4p

10.

 Ga met een berekening na of Sanove met de genoemde instellingen voldoet aan de norm.

 
Het kan gebeuren dat de machine niet goed functioneert. Dan hebben te veel stukken zeep niet het gewenste gewicht. De afdeling Quality Control (QC)  van Sanove gebruikt verschillende manieren om dit te controleren. Enkele van deze manieren komen hier aan de orde.

Wanneer het gemiddelde gewicht van de stukken zeep te laag is, mag de zeep niet verkocht worden. De afdeling QC neemt daarom elk uur uit de productie van dat uur aselect vijf stukken zeep. De productie van dat uur wordt afgekeurd wanneer het totale gewicht van de vijf stukken zeep minder is dan 460 gram.
Neem aan dat de machine in orde is, dus stukken zeep maakt waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.
Dan is het toch mogelijk dat van een zeker uur de productie wordt afgekeurd.
5p

11.

 Bereken de kans dat dit gebeurt.

 
De machine mag niet teveel stukken zeep afleveren waarvan het gewicht te laag of te hoog is. Om dit te controleren neemt QC elke dag aselect tien stukken zeep. Wanneer het gewicht van alle tien de stukken zeep aan dezelfde kant van het gemiddelde zit, dus alle tien stukken zeep wegen meer dan 93 gram of alle tien stukken zeep wegen minder dan 93 gram, moet de machine opnieuw worden ingesteld.
Neem weer aan dat de machine in orde is, dus stukken zeep maakt waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.
Dan kan het toch gebeuren dat QC na het controleren van de tien stukken zeep de machine opnieuw laat instellen.
4p

12.

 Bereken de kans dat dit gebeurt.

 
De tien aselect gekozen stukken zeep worden door QC ook nog op een andere manier gecontroleerd. Hierbij wordt gelet op stukken zeep die veel te licht of veel te zwaar zijn. Als van de stukken zeep er minstens één is waarvan het gewicht meer dan drie keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde, wordt de machine opnieuw ingesteld.
5p

13.

 Bereken de kans dat QC de goed ingestelde machine om deze reden opnieuw laat instellen.

 


Snelheden.
In september 2003 won de Keniaan Rono een hardloopwedstrijd over een afstand van 2000 meter. Hij liep deze afstand in 4 minuten en 57,76 seconden. Dat betekent dat Rono die afstand liep met een gemiddelde snelheid van ongeveer 24,18 km/uur.
Het is gebruikelijk om tijden als 4 minuten en 57,76 seconden te noteren als 4 : 57.76.

Met deze prestatie behaalde Rono geen wereld record. Dat stond op dat moment op naam van de Marokkaan El Guerrouj. Zijn recordtijd op de 2000 meter was 4 : 44.79
3p

14.

 Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur waarmee El Guerrouj dit wereldrecord liep. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
In de volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij de mannen tot en met september 2003 op een aantal afstanden.
Afstand (in meters) Tijd Gemiddelde snelheid (in km/uur)
100
200
400
800
1000
1500
2000
3000
5000
10 000		 9.78
19.32
43.18
1 : 41.11
2 : 11.96
3 : 26.00
4 : 44.79
7 : 20.67
12 : 39.36
26 : 22.75		 36,8
37,3
33,3
28,5
27,3
26,2
25,3
24,5
23,7
22,7
In de tabel zie je bijvoorbeeld dat het wereldrecord op de 1000 meter 2 : 11,96 was. Afgerond op één decimaal was daarbij de gemiddelde snelheid 27,3 km/uur.

Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheid uit de tabel kunnen we benaderen met de volgende formule:

In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer.

De gemiddelde snelheden volgens deze formule komen niet precies overeen met de uitkomsten uit de bovenstaande tabel.
3p

15.

 Bereken voor de 3000 meter (dus a = 3) hoeveel de gemiddelde snelheid volgens de formule afwijkt van de uitkomst uit de tabel.
Met deze formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor bijvoorbeeld een afstand van 2283 zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen.
3p

16.

 Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren.

 
In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter.
3p

17.

 Bereken in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v.

 
 
Amerikaans roulette.
Amerikaans roulette is een gokspel dat gespeeld kan worden in verscheidene Nederlandse casino's. Amerikaans roulette wordt met maximaal tien spelers gespeeld, die elk hun eigen kleur speelfiches - ook chips geheten - kiezen. Er zijn 10 verschillende kleuren chips beschikbaar. De chips stellen een bepaald geldbedrag voor.

Aan een tafel wordt Amerikaans roulette gespeeld. Er spelen al twee spelers A en B mee. A heeft rood en B heeft groen. Er zijn dus nog acht kleuren beschikbaar. Drie nieuwe spelers kiezen één voor één een kleur om mee te kunnen spelen.
3p

18.

 Bereken op hoeveel manieren de drie nieuwe spelers een kleur kunnen kiezen.

 
Een persoon die het spel leidt, de croupier, werpt een balletje in een bak met een draaiende schijf met 38 vakjes met nummers. De nummers zijn: de 0,  de 00 en de oneven en even nummers 1 tot en met 36. Voor alle duidelijkheid: 0 en 00 worden hier niet als even of oneven nummer gezien. Het nummer van het vakje waarin het balletje valt is het winnende nummer.

In de meeste gevallen zal het winnende nummer even of oneven zijn, en niet 0 of 00. De kans op even, en ook op oneven, is per spel dus iets kleiner dan 0,5. Toch is bij bijvoorbeeld 10 spellen de kans dat in precies de helft van het aantal spellen het winnende nummer even is, niet zo groot.
3p

19.

 Bereken de kans dat in 10 spellen het winnende nummer precies 5 keer even is.

 
In onderstaande figuur is het speelveld afgebeeld van Amerikaans roulette. Voordat de croupier het balletje werpt zet elke speler één of meer chips in op één van de nummers 1 tot en met 36 of op een combinatie van een aantal nummers,  bijvoorbeeld op alle even nummers. Een speler kan niet inzetten op de nummers 0 en 00. Als het winnende nummer een nummer is waarop de speler heeft ingezet dan krijgt de speler zijn inzet terug én een uitbetaling door de croupier. Zo niet, dan gaat de inzet van de speler naar het casino.

Erik speelt in het casino Amerikaans Roulette. Zijn favoriete nummer is 12. Erik begint met 10 chips en zet elke keer één chip in op nummer 12. Zodra het balletje op nummer 12 valt stopt hij direct met spelen en gaat hij met winst naar huis; in het andere geval speelt hij tot zijn tien chips op zijn en gaat hij met verlies huiswaarts.
5p

20.

 Bereken de kans dat Erik met winst naar huis gaat.

 
Er zijn verschillende manieren om in te zetten.
Een daarvan is 'straight up bet' : de speler legt een chip op één vakje met een nummer. Hij heeft dus de keus uit de vakjes 1 tot en met 36. Wanneer het winnende  nummer gelijk is aan dat nummer is de uitbetaling door de croupier gelijk aan 35 maal de inzet.
Een andere manier om in te zetten is 'split bet' . In dat geval legt ene speler een chip op twee vakjes tegelijk,  bijvoorbeeld 10 en 11, of 23 en 26. Zie de figuur hieronder. Wanneer het winnende nummer gelijk is aan een van deze nummers,  is de uitbetaling door de croupier 17 maal de inzet.

Bij het casino vraagt men zich af of het voor de winst van het casino uitmaakt of een speler inzet op 'straight up bet' of op 'split up bet' . We kunnen dit onderzoeken door zowel bij 'straight up bet' als bij  'split bet' de winstverwachting voor het casino uit te rekenen wanneer een speler 1000 dollar inzet.
4p

21.

 Voer dit onderzoek uit.

 
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De klassenmiddens zijn resp.  2.5  ,  7.5  ,  12.5  ,  17.5  en 22.5
Het gemiddelde is  (2.5 • 2 + 7.5 • 17 + 12.5 • 48 + 17.5 • 29 + 22.5 • 4)/100 = 13,375
2. binomiaal verdeeld met n = 10,  p = 0,8
P(X ≤ 8) = binomcdf(10, 0.8, 8) = 0,6242 
3. R = 4  ⇒  F = 0,127 • 4 + 1,21 = 1,718 dus dat zal 1,72 zijn.  Dat is  1,72/4 • 100% = 43%
R = 90 ⇒  F = 0,127 • 90 + 1,21 = 12,64. Dat is  12,64/90 • 100% ≈ 14%
4. Manier II zal de grootste fooi geven.
Er wordt altijd 0,127 • R gedaan, en het maakt niet uit of dat in twee porties of in één keer gaat.
Maar de 1,21 extra krijgt ze 4 keer als ieder apart betaalt, en anders maar één keer.
5. Probeer een paar punten af te lezen:
rekening R 10 15 35 70
fooi F in % 15 13 10 9
fooi F 1,50 1,95 3,50 6,30

a = hellinggetal = Δy/Δx  in dit geval  ΔF/ΔR
(10,1.50) en (15,1.95) geeft  a = (1.95 - 1.50)/(15 - 10) = 0,08
(15, 1.95) en (35, 3.50) geeft a = (3.50 - 1.95)/(35 - 15) = 0,0775
(35, 3.50) en (70, 6.30) geeft  a = (6.30 - 3.50)/(70 - 35) = 0,08
Dat is inderdaad steeds (ongeveer) 0,08

F = 0,08 • R + b met bijv.  R = 10 en F = 1,5 geeft  1,5 = 0,08 • 10 + b
Daaruit volgt  b = 0,7
6. 7 maart - 4 april:   toename 31 en dat is 31/37 • 100% = 84%
4 april - 2 mei:  toename 83 en dat is 83/68 • 100% = 122%
7. De grafiek loopt eerst vlak, daarna steiler, en dan weer vlakker.
De helling is dus eerst klein, daarna groter en dan weer kleiner
Dat past bij figuur A.
8. invoeren in de GR:
MODE - Seq
Y=
nMin = 0
u(n) = -0,012 • (u(n - 1))2  + 1,85 • u(n - 1)
u(nMin) = 4
Table levert dan bij n = 12 een aantal van 71 bedrijven (70,833...)
Dat wijkt dus maar liefst 80 af van de tabel (151)
9. De groei is van 37naar 68 en dat is een factor  68/37 = 1,837
n = 12 zal dan 68 • 1,837 ≈ 125 bedrijven geven
n = 16 zal dan 125 • 1,837 ≈ 230 bedrijven geven.
10. normalcdf(0, 90, 93, 1.4) = 0,016 en dat is inderdaad minder dan 2%. Sanove voldoet wel aan deze norm.
11. Als de machine in orde is, is het totale gewicht van vijf stukken ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 5 • 93 = 465 gram en een standaardafwijking van  1,4 • √5 = 3,13
De kans dat de productie wordt afgekeurd is dan  normalcdf(0, 460, 465, 1.4√5) = 0,055
12. De kans dat een willekeurig stuk kleiner (of groter) is dan 93 gram is 0,5.
De kans dat 10 stukken kleiner zijn is dan 0,510 = 0,0009766
De kans dat 10 stukken groter zijn is ook 0,0009776
Samen geeft dat een kans van 0,0009766 + 0,0009766 = 0,00195
13. Drie keer de standaardafwijking vanaf het midden:  93 - 3 • 1,4 = 88,8  en  93 + 3 • 1,4 = 97,2
De kans dat het gewicht daartussen valt is normalcdf(88.8 , 97.2, 93, 1.4) = 0,9973
De kans dat alle 10 de stukken er tussen liggen is dan  0,997310 = 0,9733
De kans op minstens één afwijkend stuk is dan 1 - 0,9733 = 0,0267
14. 4:44.79   is   4/60 uur + 44.79/3600 uur  = 0,0791 uur
2000 meter is 2 km.
de snelheid is dus  2/0,0791 = 25,28 km/uur.
(het antwoord staat trouwens in de tabel onder deze vraag)
15. v(3) = 24,30 dus dat wijkt 0,2 km/uur af van de tabelwaarde.
16. Vul de gegeven formule in bij Y1 in de GR. Neem Y2 = 30
window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 2,  Ymin = 0,  Ymax = 50
intersect levert X » 0,6080 km en dat is 608 meter.
(er is trouwens nog een oplossing: X = 0,037 maar dat is 37 meter en niet boven de 100 m dus die valt af)
17. Vul de gegeven formule in bij Y1 in de GR
neem bijv. hetzelfde window als bij vraag 17.
calc = maximum geeft  X ≈ 0,1506 dus dat is een afstand van ongeveer 151 meter.
18. 8 • 7 • 6 = 336 manieren
19. binomiaal met n = 10 en p = 18/38
binompdf(10, 18/38, 5) = 0,2427
20. Kans op nummer 12 is 1/38, dus kans op niet-12 is 37/38
Kans op 10 keer niet-12 is dan  (37/38)10 » 0,766
Kans op minstens één keer 12 is dan 1 - 0,766 = 0,234
21. straight up bet:
de kans op winst is 1/38 en de uitbetaling 35000,  de winst van het casino is dan -35000
de kans op verlies is 37/38 en de uitbetaling 0, de winst van het casino is dan 1000
de verwachtingswaarde van de casinowinst  is  1/38 • -35000 + 37/38 • 1000 = 52,63

split bet:
de kans op winst is 2/38 en de uitbetaling 17000, de winst van het casino is dan -17000
de kans op verlies is 36/38 en de uitbetaling 0,  de winst van het casino is dan 1000
de verwachtingswaarde van de uitbetaling is 2/38 • -17000 + 36/38 • 1000 = 52,63

conclusie: het maakt niet uit!