VWO WISKUNDE A1,  2004 - I
Bevolkingsgroei
Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren A, B, C en D afgebeeld.
In figuur A zie je de groei van de totale wereldbevolking; in figuur B de verdeling van de wereldbevolking over de verschillende regio's en 1950 en de verwachte verdeling in 2025.
In figuur B lijkt het erop alsof het aantal mensen in Europa in 2025 naar verwachting kleiner zal zijn dan in 1950. Uit de gegevens van de figuren A en B samen blijkt echter dat dit niet klopt.
4p 1. Toon dit laatste met een berekening aan.

 
In het genoemde artikel werd vermeld dat de bevolkingsgroei in Afrika 3% per jaar was.
5p 2. Onderzoek of het volgens de figuren A en B mogelijk is dat gedurende de gehele periode van 1950 tot 2025 de bevolkingsgroei in Afrika 3% per jaar is.

 
In figuur C zie je de leeftijdsopbouw in de ontwikkelingslanden in 1985 (binnenste deel van de figuur) en de verwachte leeftijdsopbouw in 2025 (gehele figuur).

Voor de ontwikkelingslanden geldt dat de verwachte gemiddelde leeftijd in 2025 hoger is dan de gemiddelde leeftijd in 1985.
3p 3. Leg uit hoe dit blijkt uit figuur C. Een berekening is hierbij niet vereist.

 
In figuur D zie je dat de hoeveelheid bewoonbare aarde per persoon in de periode 1750 - 2050 afneemt.
4p 4. Onderzoek of de afname van de hoeveelheid bewoonbare aarde per persoon in deze periode uitsluitend het gevolg is van de groei van de wereldbevolking.

 
Examenresultaten
Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2000 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde A was de maximale score 90 punten. Zoals bij elk examen werden de behaalde resultaten onderzocht door middel van een grote landelijke steekproef. Van de 2255 kandidaten in de steekproef was er één met 0 punten en één met 88 punten. Niemand behaalde meer dan 88 punten. De uitkomst van de steekproef is in de vorm van een cumulatieve frequentiepolygoon weergegeven in de volgende figuur.
Uit deze figuur blijkt bijvoorbeeld dat 29% van de kandidaten een score van 45 punten of minder behaalde.
3p 5. Bereken met behulp van de figuur hoeveel kandidaten een score hadden die hoger was dan 65.

 
De uitkomst van de steekproef zou ook in de vorm van een boxplot gegeven kunnen worden.
5p 6. Maak zo'n boxplot met behulp van de figuur hierboven. Licht je werkwijze toe.

 
De gemiddelde score in deze steekproef was 52,5 punten met een standaardafwijking van 14,7 punten.

Vóór de tweede fase kwam het vrij vaak voor dat iemand zowel in wiskunde A als in wiskunde B examen deed. In deze steekproef gold dat voor 546 kandidaten. We noemen deze groep voor het gemak de A&B-groep. De scores voor wiskunde A voor deze A&B-groep waren bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 63,8 punten.

De leerlingen in de A&B-groep verschillen in aanleg voor wiskunde minder van elkaar dan de leerlingen in de hele steekproef. Daarom is het waarschijnlijker dat hun scores een kleinere spreiding vertonen.
Van de 546 kandidaten uit de A&B-groep haalde 6% een score van 44 punten of minder voor wiskunde A, zodat voor de score X geldt:  P(X ≤ 44) = 0,06.
5p 7. Onderzoek of hieruit volgt dat de standaardafwijking van de scores van de A&B-groep kleiner is dan die van de hele steekproef.

 
In 2000 was er een apart examen wiskunde A voor 125 kandidaten die waren opgeleid volgens een experimenteel programma ter voorbereiding op de tweede fase. Zo mochten ze, anders dan de overige kandidaten, een grafische rekenmachine gebruiken. De examenopgaven waren grotendeels hetzelfde.

Ter vergelijking kijken we naar het aantal onvoldoendes. Bij het gewone examen had 29% van de kandidaten een onvoldoende. Bij het experimentele examen waren er 30 kandidaten met een onvoldoende.
3p 8. Bereken de kans dat van 125 aselect gekozen deelnemers aan het gewone examen ten hoogste 30 deelnemers een onvoldoende behaalden.

 
De 125 deelnemers van het experimentele examen scoorden gemiddeld 54,92 punten. We willen dit vergelijken met de resultaten van het gewone examen. Hierbij nemen we aan dat de scores van het gewone examen normaal verdeeld zijn met gemiddelde 52,5 punten en standaardafwijking 14,7 punten.
5p 9. Bereken de kans dat 125 aselect gekozen deelnemers aan het gewone examen gemiddeld tenminste 54,92 punten behaalden.

 
Kleine ondernemers
Over de meeste goederen en diensten is BTW (Belasting op de Toegevoegde Waarde) verschuldigd. Ondernemers ontvangen deze BTW van hun klanten, maar ze dragen ook BTW af aan hun leveranciers. Wanneer ze in een jaar meer BTW ontvangen dan ze afdragen, moeten ze het verschil afdragen aan de Belastingdienst.
Voor kleine ondernemers geldt een verminderingsregeling. In een brochure van de Belastingdienst uit 2000 staat het als volgt beschreven:
Hoeveel belastingvermindering u precies kunt krijgen hangt af van het BTW-bedrag dat u aan de Belastingdienst zou moeten afdragen als u de regeling niet zou toepassen.
Hieronder leest u voor hoeveel vermindering u in aanmerking kunt komen.
Vermindering voor kleine ondernemers in guldens.
Hoeveel BTW zou u per jaar moeten
afdragen aan de Belastingdienst?		 Hoeveel vermindering kunt u krijgen?
Meer dan ƒ 4150 Geen vermindering
ƒ 4150 of minder,
maar meer dan ƒ 2964		 Vermindering van af te dragen BTW:
2,5 • (ƒ 4150 - (BTW-bedrag))
ƒ 2964 of minder De vermindering is gelijk aan het BTW-bedrag
U hoeft dus geen BTW af te dragen.
We kijken naar twee ondernemingen die BTW afdragen over het jaar 2000. Zonder de hierboven beschreven regeling zou ondernemer A 3500 gulden BTW moeten afdragen en ondernemer B 3700 gulden. Dankzij de regeling hoeven beide ondernemers slechts een deel hiervan af te dragen. Toch is ondernemer B niet helemaal tevreden. Zonder de regeling zou hij 200 gulden meer moeten afdragen dan ondernemer A, maar door toepassing van de regeling wordt het verschil groter.
5p 10. Bereken hoeveel gulden B uiteindelijk meer moet afdragen dan A.

 
In de volgende figuur staat de grafiek van het verband tussen het bedrag dat zonder de regeling moet worden afgedragen en het bedrag dat na toepassing van de regeling afgedragen moet worden.
Voor de volgende vraag stelt x het bedrag voor dat zonder de regeling moet worden afgedragen. Zie de horizontale as in de figuur hierboven. En y is het bedrag dat mét deze regeling moet worden afgedragen. Zie de verticale as in de figuur hierboven. Beide bedragen zijn in guldens. Voor waarden van x tussen 2964 en 4150 is het verband tussen x en y te beschrijven met een formule van de vorm  y = ax + b.
4p 11. Stel die formule op.

 
De regeling voor kleine ondernemers bestond al langer. Echter, in de loop der jaren zijn sommige bedragen gewijzigd. Tot en met 1987 luidde de regeling als volgt:
Vermindering voor kleine ondernemers in guldens.
Hoeveel BTW zou u per jaar moeten
afdragen aan de Belastingdienst?		 Hoeveel vermindering kunt u krijgen?
Meer dan ƒ 4150 Geen vermindering
ƒ 4150 of minder,
maar meer dan ƒ 2500		 Vermindering van af te dragen BTW:
ƒ 4150 - (BTW-bedrag)
ƒ 2500 of minder, maar meer dan ƒ 2300 Vermindering van af te dragen BTW:
ƒ 2300
ƒ 2300 of minder. De vermindering is gelijk aan het BTW-bedrag.
U hoeft dus geen BTW af te dragen.
Ook bij deze regeling is een grafiek getekend: zie de volgende figuur.
Men vond deze regeling onrechtvaardig voor ondernemers die zonder de regeling iets meer dan 2500 gulden zouden moeten afdragen.
3p 12. Leg met behulp van de figuur hierboven uit waarom deze regeling voor hen onrechtvaardig gevonden werd.

 
Voor bedragen van 2300 tot 4150 gulden verschillen de regelingen uit 1987 en 2000 van elkaar.
4p 13. Bereken het grootste verschil dat voorkomt. Licht je antwoord toe.

 
Vierkeuzevragen
Bij vierkeuzevragen staan bij elke vraag vier mogelijke antwoorden: A, B, C en D. Slechts één daarvan is juist. Een kandidaat kan één van de vier antwoorden kiezen of de vraag onbeantwoord laten. Bij keuze van het juiste antwoord wordt 1 punt toegekend, in alle andere gevallen 0 punten. Als een kandidaat absoluut niet weet welk antwoord juist is en welke antwoorden onjuist zijn, doet hij er daarom verstandig aan om toch een antwoord te geven. Dit leidt tot gokgedrag.
Een voorbeeld kan dit verduidelijken. Neem aan dat Tim en Tom, een tweeling, allebei niets snappen van scheikunde. Zij hebben voor een proefwerk dan ook allebei niets geleerd, omdat dat in hun ogen toch geen zin heeft. Bij het proefwerk, dat uit 20 vierkeuzevragen bestaat, vult Tim niets in. Hij heeft dan ook 0 punten. Tom heeft elke vraag gegokt.
3p 14. Bereken het aantal punten dat Tom kan verwachten.

 
Er is ook wel eens geopperd om bij een onjuist antwoord strafpunten te geven. Een kandidaat heeft dan twee keuzes: niets invullen levert 0 punten op; wel iets invullen levert 1 punt op bij een juist antwoord en -0,5 punt (0,5 strafpunt) bij een onjuist antwoord.
3p 15. Bereken de verwachtingswaarde van de score per vraag bij dit strafpunten systeem als een kandidaat gokt.

 
Subjectieve kansen
We kijken nu naar een andere manier van toetsen met vierkeuzevragen. Hierbij hoeft de kandidaat niet meer één antwoord te kiezen. In plaats daarvan vraagt men de kandidaat achter elk van de vier mogelijke antwoorden A, B, C en D de subjectieve kans op te schrijven.
Een kandidaat die bijvoorbeeld noteert  pA = 0,2;  pB = 0,8;  pC = 0;  pD = 0 geeft daarmee aan dat hij er vrij zeker van is dat B juist is, maar dat A ook nog zou kunnen, en dat C en D volgens hem zeker fout zijn.
De opgeschreven getallen pA, pB, pC, en pD mogen natuurlijk niet negatief zijn en moeten bij elkaar opgeteld 1 zijn.

Bij iedere vraag wordt een score berekend die aangeeft 'hoe dicht je bij het juiste antwoord zit'.
Als bijvoorbeeld C het juiste antwoord is, dan wordt de score berekend met de volgende formule:

score = 1 - (pA2 + pB2 + (1 - pC)2 + pD2)

Voor de gevallen waarbij A, B of D het juiste antwoord is, gelden soortgelijke formules.
De maximale score is 1 en de minimale score is -1.

Bij een bepaalde vraag is het juiste antwoord B. Een kandidaat die niet helemaal zeker van zijn zaak is, noteert bij deze vraag de subjectieve kansen:
              pA = 0,2;  pB = 0,7;  pC = 0;  pD = 0,1
4p 16. Bereken de score voor deze kandidaat bij deze vraag.

 
Stel dat bij een andere vraag C het juiste antwoord is. Een kandidaat haalt bij deze vraag de minimale score.
3p 17. Welke subjectieve kansen kan de kandidaat opgeschreven hebben achter de antwoorden A, B, C en D? Vermeld alle mogelijkheden.

 
Een  kandidaat moet een vraag beantwoorden maar heeft geen idee welk antwoord juist is en welke antwoorden onjuist zijn. Er zijn heel veel mogelijkheden voor de kandidaat om die vraag te beantwoorden:
  • Mogelijkheid I:
    De kandidaat zou kunnen gokken op een antwoord door daar 1 achter te schrijven (en dus 0 achter de andere antwoorden). Het antwoord waarbij de kandidaat 1 heeft gezet kan goed zijn, Dan is de score 1. Als het niet goed is, os de score -1. De verwachte score is dan :  1/4 • 1 + 3/4 • -1 = -0,50.
  • Mogelijkheid II:
    Hij kan ook op twee antwoorden gokken door achter ieder van die twee antwoorden 1/2 te schrijven.
  • Mogelijkheid III:
    Hij kan ook op drie antwoorden gokken door achter ieder van die drie antwoorden 1/3 te schrijven.
  • Mogelijkheid IV:
    En tenslotte kan hij ook op alle vier de antwoorden gokken door achter alle antwoorden 1/4 te schrijven. Deze laatste mogelijkheid levert hem een score van 0,25 op.
Er zijn nog veel meer mogelijkheden om de vraag te beantwoorden. We kijken echter alleen naar de bovengenoemde vier mogelijkheden.
De score bij mogelijkheid IV is hoger dan de verwachte score bij mogelijkheid I.
Mogelijkheid IV is daarmee een 'verstandiger' strategie dan mogelijkheid I.
7p 18. Onderzoek welke van de mogelijkheden II, III en IV de meest verstandige strategie is.

 
Koerssprint
Verschillende financiële instellingen adverteren op grote schaal met aandelen-leaseplannen. Daarbij kun je aandelen kopen met geleend geld. Het voorbeeld hieronder is gebaseerd op zulke advertenties.
Met Koerssprint laat u het peloton achter u
Doe mee voor slechts € 150 per maand
Het mooie van Koerssprint is dat u niet over een eigen kapitaal hoeft te beschikken. Zodra u besluit mee te doen, schieten wij u een bedrag van € 22500 voor. Dit bedrag beleggen wij direct voor u in solide aandelen.
U betaalt slechts € 150 per maand als vergoeding (rente) voor het voorgeschoten bedrag.
U hebt direct plezier van de mogelijke waardestijging van het hele pakket. Zo kan uw geld veel sneller groeien dan wanneer u maandelijks een klein bedrag zou beleggen. Na 5 jaar wordt de waarde van de belegging uitgekeerd, verminderd met het door ons voorgeschoten bedrag. De uitkering na 5 jaar is hoger naarmate de aandelen meer in waarde zijn gestegen. In de tabel hieronder ziet u enkele voorbeelden.
Jaarlijkse waardestijging
 van de aandelen		 Uitkering na 5 jaar Uw jaarrendement
13% € 18955 30,3%
12% € 17153 26,1%
11% € 15414 21,7%
10% € 13736 16,9%
In bovenstaande tabel gaat men ervan uit dat de waarde van de aandelen jaarlijks met een vast percentage stijgt. Er is dan dus sprake van exponentiële groei.

Bij aanschaf waren de aandelen € 22500 waard. Als de waarde van de aandelen jaarlijks met 12% stijgt, dan krijgt volgens de tabel de klant na 5 jaar een uitkering van € 17153.
3p 19. Laat met een berekening zien hoe men aan deze € 17153 komt.

 
De tabel vermeldt ook het jaarrendement. Zo is volgens de advertentie bij een uitkering na 5 jaar van  € 17153 het jaarrendement 26,1%. Daarmee wordt aangegeven wat een bank aan rente zou moeten geven om dezelfde opbrengst te leveren. De klant betaalt nu namelijk iedere maand € 150 maar hij zou ook iedere maand € 150 bij een bank op een spaarrekening kunnen storten. Volgens de advertentie zou de bank op deze spaarrekening dan 26,1% rente per jaar moeten geven om te zorgen dat er na 5 jaar € 17153 op de rekening staat. We willen controleren of dat klopt.

Omdat er aan het begin van iedere maand een bedrag op de rekening wordt gestort, moeten we ook het rentepercentage per maand weten. 26,1% rente per jaar komt niet overeen met 26,1/12 = 2,175% per maand, maar wel met 1,95% per maand.
3p 20. Toon met een berekening aan dat een groeipercentage van 1,95% per maand een groeipercentage van 26,1% per jaar oplevert.

 
Stel dat de klant aan het begin van iedere maand € 150 op een spaarrekening stort en dat zijn spaarbedrag iedere maand met 1,95% groeit. Dan is zijn totale spaarbedrag na 5 jaar gegroeid tot: 
150 • 1,019560 + 150 • 1,019559 + ... + 150 • 1,01952 + 150 • 1,1095
Volgens de advertentie  moet dit bedrag €17153 zijn. Het kan vanwege afrondingen enkele euro's verschillen.
4p 21. Bereken het verschil met €17153 in gehele euro's nauwkeurig. Je kunt hierbij gebruik maken van de somformule voor meetkundige rijen.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. aflezen: de wereldbevolking neemt tussen 1950 en 2025 toe van 3 miljard naar 8 miljard.
15,6% van 3 miljard is  0,156 • 3 = 0,46 miljard
6,1% van 8 miljard is 0,061 • 8 = 0,49 miljard
Het aantal zal dus in 2025 groter zijn dan in 1950.
   
2. 8,8% van 3 miljard is 0,088 • 3 = 0,26 miljard
18,8% van 8 miljard is  0,188 • 8 = 1,50 miljard.
1,50 = 0,26 • g75  ⇒  g75 = 5,769...  ⇒  g = 5,76...(1/75) = 1,0236
Dat is dus niet (ook niet afgerond) 3% per jaar, maar ongeveer 2,4% per jaar.
   
3. In 2025 zijn t.o.v. 1985 de klassen met hoge leeftijden meer gegroeid dan de klassen met lage leeftijden.
Daardoor zal de gemiddelde leeftijd stijgen.
   
4. In 1750 was er 2025 m2 per persoon en waren er 0,75 miljard personen.
Dus de hoeveelheid bewoonbare aarde was  0,75 • 2025 = 1519 miljard m2.
Een zelfde berekening voor 2050 geeft  9 • 144 = 1296 miljard m2.
De afname is dus NIET alleen het gevolg van de bevolkingsgroei: ook de totale absolute hoeveelheid neemt af.
   
5. aflezen: bij score 65 zit ongeveer 78%.
Dus 22% heeft score hoger dan 65.
Dat zijn ongeveer 0,22 • 2255 = 496 kandidaten.
   
6. Aflezen uit de grafiek bij 25% en 50% en 75% resp. 42 en 25 en 63 punten.
Uit de tekst halen we dat 0 punten de laagste en 88 punten de hoogste score is.
Dat geeft de volgende boxplot:
   
7. normalcdf(0, 44.5 , 63.8 , X) = 0,06
Y1 = normalcdf(0, 44.5 , 63.8 , X) en Y2 = 0,06
Levert via intersect (bijv. met window  [10,20] × [0 , 0.1])  dat X = 12,4
Dat is dus kleiner dan die van de hele steekproef want die was 14,7  
   
8. Het aantal is binomiaal verdeeld met n = 125 en p = 0,29
binomcdf(125, 0.29 , 30) = 0,12755...
   
9. Voor 125 kandidaten zal gelden  σ = σ/√n = 14,7/√125 = 1,31
normalcdf(54.92 , 90 , 52.5 , 1.31) = 0,03
   
10. Voor A is de vermindering 2,5 • 650 = 1625, dus hij moet afdragen 3500 - 1625 = 1875 gulden
Voor B is de vermindering 2,5 • 450 = 1125, dus hij moet afdragen 3700 - 1125 = 2575 gulden
B moet dus  2575 - 1875 = 700 gulden meer afdragen dan A.
   
11. Een rechte lijn door  (2964 , 0) en (4150 , 4150)
richtingscoëfficiënt is  (4150 - 0)/(4150 - 2964) = 3,5
punt (2964,0) invullen:  0 = 3,5 • 2964 + b  ⇒  b = -10374
Daarmee wordt de vergelijking   y = 3,5x - 10374
   
12. Bij 2500 zit een sprong in de grafiek, dus iemand die iets meer moet afdragen zonder regeling moet ineens veel meer afdragen zonder regeling.
   
13. Beide grafieken:


Het verschil (verticale afstand) is maximaal bij x = 2964
De oude regeling geeft dan 1186 korting, dus te betalen 1778
De nieuwe regeling geeft 0
Het verschil is dan 1778 gulden.
   
14. Hij zal een kwart goed hebben, dus 0,25 • 20 = 5 goede antwoorden verwachten.
   
15. P(1 punt) = 0,25 en P(-0,5 punt) = 0,75
De verwachtingswaarde is dan 1 • 0,25 + -0,5  • 0,75 = -0,125
   
16. Voor het juiste antwoord B geldt de formule:  score = 1 - (pA2 + (1 - pB)2 + pC2+ pD2)
Invullen geeft  score = 1 - (0,22 + 0,32 + 02 + 0,12) = 1 - 0,14 = 0,86 
   
17. Er zijn drie mogelijkheden:
pA pB pC pD
1
0
0		 0
1
0		 0
0
0		 0
0
1
   
18. Twee antwoorden, dan is de kans op de goede 0,5 en op geen goede dus ook 0,5
Met de goede erbij levert het 1 - (0,52 + 0,52)  = 0,5 punt op
Zonder de goede levert het  1 - (0,52 + 0,52 + 12) = - 0,5 punt op
De verwachtingswaarde van het aantal punten is  0,5 • 0,5 + 0,5 • -0,5 = 0

Drie antwoorden, dan is de kans op de goede erbij 0,75 en de kans op niet de goede 0,25
Met de goede erbij levert het 1 - (1/32 + 1/32 + 2/32) = 1 - 6/9 = 1/3
Zonder de goede levert het  1 - (1/32 + 1/32 + 1/32 + 12) = -1/3
De verwachtingswaarde van het aantal punten is dan 0,75 • 1/3 + 0,25 • -1/3 = 1/6

Conclusie: mogelijkheid IV is de beste keuze.
   
19. 22500 • 1,125 = 39653
De inleg moet daar weer vanaf:  39653 - 22500 = 17153
   
20. 1,95% is een groeifactor van 1,0195
Per jaar is dat 1,019512 = 1,261 dus dat is ongeveer 26,1%
   
21. Er staat een meetkundige rij met begingetal 150 • 1,0195 en reden  1,0195
Gevraagd wordt de som van de eerste 60 termen

Het verschil met 17153 is afgerond 10 euro.