VWO  WA1,  2002 - I
Vogels die voedsel zoeken
Vogels die voedsel zoeken op de grond vertonen vaak een karakteristiek patroon van lopen en stilstaan. In de figuur hieronder is dit patroon voor twee vogelsoorten schematisch weergegeven.
Het patroon van soort I heeft de volgende drie kenmerken:
  • het stilstaan duurt telkens 2,5 seconden.
  • tussen twee stops legt de vogel telkens 20 cm af
  • tussen twee stops loopt de vogel met een snelheid van 4 cm per seconde
4p 1. Lees uit figuur 1 af wat deze drie kenmerken zijn van het patroon van soort II.

 
Om van een andere vogel (soort III) dit patroon te bepalen is zo'n vogel gedurende een reeks van 24 keer lopen-en-stilstaan geobserveerd.
De vogel stond in totaal 180 seconden stil.
De afgelegde afstand was in totaal 480 cm.
Het geheel duurde 420 seconden.
5p 2. Teken een grafiek zoals hierboven van het patroon van deze vogel voor tenminste 45 seconden. Geef een toelichting.

 
Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken doen dat vaak bij voorkeur op een specifieke hoogte.
Gedurende een winter zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In de tabel hieronder staat de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij pimpelmezen.

hoogte in meters <1,5 1,5 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 10 10 - 15 >15
aantal waarnemingen 24 26 51 72 122 92 13
8p 3. Toon aan dat de waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn; maak gebruik van normaal waarschijnlijkheidspapier. Lees uit je tekening af hoe groot het gemiddelde en de standaardafwijking van deze verdeling zijn. Geef beide antwoorden in dm nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.

 
De hoogtes waarop boomklevers en glanskoppen werden waargenomen waren ook bij benadering normaal verdeeld. Per soort staan het gemiddelde en de standaardafwijking van deze waargenomen hoogtes in de tabel hieronder in meters vermeld.

soort gemiddelde hoogte standaardafwijking
boomklevers
glanskoppen		 10,0
4,5		 4,0
1,5

Uit de gegevens kun je afleiden dat ongeveer 15% van de boomklevers werd waargenomen op een hoogte tussen 6,0 en 8,0 meter
4p 4. Toon aan met een berekening dat bij glanskoppen ook ongeveer 15% werd waargenomen op een hoogte tussen 6,0 en 8,0 meter.

 
Sparen
De ouders van Suze openen bij haar geboorte een spaarrekening voor haar. De rente op deze spaarrekening is 4% per jaar en we gaan er in deze opgave van uit dat dit 18 jaar lang zo blijft. Ze willen dat Suze 18 jaar later, op haar 18e verjaardag, de beschikking krijgt over dit geld. Er moet dan 10000 euro op de rekening staan.
Suze's ouders overwegen twee mogelijkheden om voor haar te gaan sparen.
De eerste mogelijkheid is bij de geboorte van Suze een eenmalig bedrag te storten zodanig dat dit na 18 jaar met rente is aangegroeid tot 10000 euro.
4p 5. Bereken welk bedrag de ouders van Suze daartoe bij haar geboorte moeten storten.

 
De tweede mogelijkheid is om jaarlijks een vast bedrag te sparen. De eerste keer wordt bij de geboorte van Suze een bedrag gestort. Elk volgend jaar wordt op haar verjaardag weer datzelfde bedrag gestort. In totaal storten haar ouders 18 keer dat bedrag. Uiteindelijk moet er weer 10000 euro op haar 18e verjaardag op de rekening staan.
De vader van Suze denkt te weten hoe hij het jaarlijkse bedrag b moet uitrekenen. Hij lost daartoe de volgende vergelijking op:
3p 6. Bereken de waarde van dit jaarlijkse bedrag b in deze vergelijking.

 
Later bedenkt Suze's vader dat de gevonden oplossing niet juist is. Hij komt daar achter doordat hij bedenkt
dat hetzelfde is als de volgende optelling:

b · 1,0417 + b · 1,0416 + ... + b · 1,042 + b · 1,04 + b

Hij had zich laten misleiden doordat deze optelling wel het juiste aantal termen (namelijk 18) bevat. Toch geeft de oplossing b van de vergelijking niet het juiste jaarlijks te storten bedrag, omdat er na de laatste storting nog een jaar rente op de rekening wordt ontvangen.
5p 7. Bereken het juiste jaarlijks te storten bedrag zodat Suze op haar 18e verjaardag 10000 euro op haar rekening heeft staan.

 
Jongen of meisje
In 1988 vond het Onderzoek Gezinsvorming plaats. Hierbij werd onder andere de gezinssamenstelling onderzocht (hoeveel kinderen, hoeveel meisjes, enzovoort). Men waagde zich vervolgens ook aan voorspellingen hoe gezinnen in de toekomst samengesteld zullen zijn. Daarbij beperkten de onderzoekers zich tot een voorspelling over de gezinnen van vrouwen die geboren zijn in 1960. De resultaten staan in de tabel hieronder.
verwachte uiteindelijke gezinssamenstelling van vrouwen geboren in 1960
  % van alle vrouwen % van vrouwen met kinderen
geen kinderen 18,5 -
1 kind (totaal) 15,2 18,7
  1 jongen
1 meisje		 7,9
7,3		 9,7
9,0
2 kinderen (totaal) 40,1 49,2
  2 jongens
1 jongen en 1 meisje
2 meisjes		 10,1
20,9
9,1		 12,4
25,6
11,2
3 kinderen (totaal) 18,2 22,3
  3 jongens
2 jongens en 1 meisje
1 jongen en 2 meisjes
3 meisjes		 2,5
7,3
6,3
2,1		 3,0
9,0
7,7
2,6
4 of meer kinderen (totaal) 8,0 9,8
  uitsluitend jongens
uitsluitend meisjes		 0,5
0,5		 0,6
0,6
Een gezin met zowel jongens als meisjes noemt men een gemengd gezin.
3p 8. Hoeveel procent van alle in 1960 geboren vrouwen zal volgens de tabel uiteindelijk een gemengd gezin hebben? Licht je antwoord toe.

 
In de tabel staat in de rechterkolom het getal 18,7.
3p 9. Laat zien hoe dit getal afgeleid kan worden uit de gegevens in de kolom met het opschrift "% van alle vrouwen".

 
Uit bevolkingsstatistieken van Nederland en andere West-Europese landen vanaf de 18e eeuw is duidelijk dat er steeds iets meer jongens dan meisjes geboren worden. We kunnen nagaan dat de gegevens in de tabel hierboven hiermee in overeenstemming zijn. We nemen daarbij 5000 gezinnen met kinderen als uitgangspunt. We kunnen nu een schatting maken van het totaal aantal jongens dat in de gezinnen met 1,2 of 3 kinderen voorkomt. De gezinnen met 4 of meer kinderen laten we daarbij buiten beschouwing. We kunnen berekenen dat er in deze 5000 gezinnen in totaal meer jongens dan meisjes worden geboren.
6p 10. Voer deze berekening uit.

 
Neem voor de volgende vraag aan dat onder geboorte wordt verstaan de geboorte van ιιn kind, dus geen twee- of meerlingen.
Neem aan dat de kans op een jongen bij elke geboorte 0,51 is en dat op een zekere dag 34 geboortes worden aangegeven bij een ambtenaar van de burgerlijke stand.
4p 11. Bereken de kans dat die dag evenveel jongens als meisjes worden aangegeven.

 
Leidingwater
Voor de levering van leidingwater brengen de waterleidingmaatschappijen elk jaar kosten in rekening. Deze kosten bestaan onder andere uit verbruikskosten, vastrecht en BTW.
In het jaar 1999 gaat de WMO, de Waterleiding Maatschappij Overijssel, bij de berekening van de kosten als volgt te werk:
  • elke m3 water kost ƒ2,45
  • het vastrecht per jaar bedraagt ƒ30,-
  • over de eerste ƒ60,- (inclusief het vastrecht) betaalt de afnemer 6% BTW en over de rest 17,5%.
In 1999 gebruikte het Overijsselse gezin Akink 130 m3 water. Dit gezin betaalt hiervoor ƒ54,09 aan BTW.
3p 12. Laat door een berekening zien dat dit BTW-bedrag juist is.

 
Voor de berekening van de jaarlijkse kosten K1999 in het jaar 1999 kunnen we een formule opstellen. Deze formule ziet er, vanaf een bepaald jaarlijks verbruik, als volgt uit:
K1999 = 2,87875 · x + 28,35

In deze formule is K1999 in guldens en is x het jaarlijkse verbruik van water in m3.
Deze formule is geldig voor elk jaarlijks verbruik, behalve wanneer dit erg laag is. Dat komt door het feit dat men 6% BTW over de eerste ƒ60,- betaalt en over de rest 17,5%.
4p 13. Bereken vanaf welk jaarlijks verbruik de formule voor K1999 geldig is.

 
Vanaf het jaar 2000 is de berekeningswijze voor de kosten veranderd. Het BTW-tarief is veranderd en bovendien is er de zogenoemde waterbelasting bijgekomen. Dat is de reden voor de WMO om de afnemers hierover in te lichten. In een folder schrijven zij op welke wijze de kosten in het jaar 2000 berekend zullen worden.
In het jaar 2000 gaat men bij de berekening van de kosten als volgt te werk:
  • elke m3 water kost ƒ2,50
  • het vastrecht per jaar bedraagt ƒ30,60
  • over elke m3 water betaalt de afnemer ƒ0,285 aan waterbelasting. Dit geldt alleen voor de eerste 300 m3 water. Het verbruik boven de 300 m3 is vrijgesteld van waterbelasting.
  • Over het totaal van deze bedragen betaalt de afnemer 6% BTW.
Het gezin Akink, dat per jaar altijd 130 m3 water verbruikt moet volgens de nieuwe berekening ƒ13,62 meer betalen dan volgens de oude berekening, zo is na te rekenen. Het bedrag dat dit gezin aan BTW moet betalen is in 2000 echter lager dan in 1999. In 1999 betaalt het gezin Akink (zie vraag 12) ƒ54,09 aan BTW.
3p 14. Bereken voor dit gezin het BTW-verschil tussen 1999 en 2000

 
Voor de berekening van de jaarlijkse kosten K2000 in het jaar 2000 moeten we onderscheid maken tussen een jaarlijks verbruik van ten hoogste 300 m3 en een jaarlijks verbruik van meer dan 300 m3.
Wanneer het jaarlijkse verbruik ten hoogste 300 m3 bedraagt dan ziet de formule voor K2000 er als volgt uit:
K2000 = 2,9521 · x + 32,436


Ook hier is K2000 in guldens en x het jaarlijks verbruik in m3.
4p 15. Leid deze formule af.

 
Met de invoering van de waterbelasting wil de overheid het waterverbruik verminderen. Mevrouw Akink wil weten of de nieuwe berekeningswijze bij elk jaarverbruik van tenminste 300 m3 een hoger bedrag oplevert dan de oude berekeningswijze.
6p 16. Onderzoek of dit inderdaad het geval is.

 
Lentevoordeelweken
Een supermarkt houdt elk jaar in de lente een actie onder de naam 'Lentevoordeelweken'. Tijdens die actie ontvangt iedere klant bij ten minste 50 euro aan bodschappen twee krasloten. Op elk kraslot staat ιιn vakje. Als men dat open krast wordt de afbeelding van een kievitsei, een lammetje, een narcis of een vogelverschrikker zichtbaar.
De klant moet direct aan de kassa, voordat hij de supermarkt heeft verlaten, de twee open gekraste krasloten inleveren. Wanneer op beide krasloten dezelfde afbeelding staat wint de klant een tegoedbon
De kans op een tegoedbon hangt af van de verdeling van de vier afbeeldingen over de krasloten.

Neem aan dat de vogelverschrikker op 10% van de krasloten voorkomt en de andere drie afbeeldingen elk op 30% van de krasloten. De krasloten liggen in willekeurige volgorde op een stapel bij de kassa.
Een klant heeft zojuist twee krasloten ontvangen.
3p 17. Bereken de kans dat de klant met deze twee krasloten een tegoedbon wint.

 
De eigenaar van de supermarkt wil niet te veel tegoedbonnen weggeven. Daarom onderzoekt hij of een andere verdeling van de afbeeldingen over de krasloten gunstiger is. Hij gaat er daarbij vanuit dat de vogelverschrikker met een kans k op de krasloten voorkomt en de andere drie elk met een kans  (1/3) - (1/3)k. Daarmee kan hij uitrekenen hoe groot de kans is dat een klant met twee krasloten een tegoedbon wint. Die kans is gelijk aan:

Met behulp van deze formule kan de eigenaar nu onderzoeken voor welke waarde van k de kans op een tegoedbon zo klein mogelijk is.
4p 18. Voer dit onderzoek uit.
De eigenaar van de supermarkt overweegt de mogelijkheid om elke klant die tenminste 50 euro aan boodschappen besteedt niet twee, maar drie krasloten te geven. De klant wint dan een tegoedbon wanneer tenminste twee keer de vogelverschrikker op deze drie krasloten voorkomt.
Veronderstel dat de vier afbeeldingen in gelijke mate verdeeld zijn over de krasloten.
5p 19. Bereken de kans dat een klant in deze situatie een tegoedbon wint.

 

 
OPLOSSINGEN
Het officiλle (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De 'schuine'  delen hebben een breedte van 15 cm, dus de vogel legt steeds 15 cm af.
De 'schuine' delen hebben een hoogte van 2,5 seconde dus de vogel loopt in 2,5 seconden 15 cm, 
dat is 6 cm/s.
De verticale delen hebben een lengte van 5 seconden dus de vogel staat steeds 5 seconden stil.
2. In 24 keer 180 seconden stilstaan is per keer  7,5 seconden.
Van de 420 seconden is 180 seconden stilgestaan dus  240 seconden gelopen.
Dat was per keer dus  10 seconden.
In 24 keer 480 cm afleggen is per keer  20 cm.
3. De grafiek moet cumulatief en in procenten. De stippen moeten bij het einde van de klassen.
De grafiek gaat dan door de punten: (1.5 , 6)  (3 , 12.5)  (5 , 25.25)  (7 , 43.25)  (10 , 73.75) en (15 , 96.75)
De laatste klasse is niet te tekenen.
De grafiek wordt goed een rechte lijn dus de gegevens zijn bij benadering normaal verdeeld.
 
 

   
  Het gemiddelde m is af te lezen bij 50% en is ongeveer 7,6 meter dus m is ongeveer76 dm 
Bij 84% is  m + s af te lezen. Dat is ongeveer 11,6 meter dus  116 dm. Dus  s is ongeveer  116 - 76 = 40 dm.
4. Tussen 6,0 en 8,0:  NORMALCDF(6.0 , 8.0 , 4.5 , 1.5) = 0,148839.. en dat  is ongeveer 15%
5. Bij 4% rente hoort een groeifactor van 1,04
Voor het bedrag S na n jaar geldt:   S = B • 1,04n.
Dus moet gelden  10000 = B • 1,0418  ofwel  B = (10000)/(1,0418) = € 4936,28
6. 1,0418 - 1 = 1,0258...  dus er staat  b • (1,0258...)/(0,04) = 10000  ⇒  b • 25,64... = 10000 ⇒  b = €389,93
7. Als de rente er nog bijkomt moet er 10000 euro op de rekening staan
Voordat de laatste rente werd bijgeschreven moest er dus 10000/1,04 = 9615,38 op de rekening staan.
Eigenlijk moet vader er voor zorgen dat er na 18 termen dus 9615,38 euro op haar rekening staat.
Een zelfde berekening als bij vraag 6 geeft dan  b = 9615,38/25,645... =  €374,94
8. jongen + meisje:  20,9%
2 jongens + 1 meisje:  7,3%
2 meisjes + 1 jongen:  6,3%
4 of meer gemengd:  8,0 - 0,5 - 0,5 = 7,0%
Samen is dat  41,5%
9. Van alle vrouwen heeft 18,5% geen kinderen, dus 81,5% wel.
Van deze 81,5% heeft 15,2% 1 kind.
Hoeveel procent is 15,2 van 81,5?   (15,2/81,5) • 100% = 18,65... = 18,7%
10. 1e opl. 1 jongen:  9,7% + 7,7%  en dat geeft dus  in 17,4% van de 5000 gezinnen 1 jongen is 870 jongens 
2 jongens:  12,4% + 9,0% dat geeft  in 21,4% van de 5000 gezinnen 2 jongens is 0,214 • 500 • 2 = 2140 jongens
3 jongens:  3,0% en dat is 0,03 • 5000 • 3 = 450 jongens
In totaal dus  3460 jongens.

Voor meisjes geeft een zelfde berekening  450 + 1890 + 390 = 2730 meisjes
Dus minder meisjes dan jongens.
2e opl. 1 kind:  1 jongen 9,7% en 1 meisje 9,0% dus dat winnen de jongens.
2 kinderen: 2 jongens 12,4% en 2 meisjes 11,2% dus dat winnen de jongens
3 kinderen: 3 jongens 3,0% en 3 meisjes 2,6% dus dat winnen de jongens
3 kinderen:  2j + 1m  9,0% en  2m+1j  7,7% dus dat winnen de jongens.
De jongens winnen alles, dus in totaal zijn er meer jongens dan meisjes.
11. 1e opl. Het is een binomiaal experiment.
Noem een jongen succes, dan geldt  n = 34, p = 0,51.
Evenveel jongens als meisjes betekent 17 successen.
BINOMPDF(34 , 0.51 , 17) = 0,1349...
2e opl. (34 nCr 17) • 0.5117 • 0.4917 =  0,1349...
12. 130 m3 kost  30 + 130 • 2,45 = ƒ348,50
Over ƒ60,- betaalt men 6% BTW en dat is  60 • 0,06 = ƒ3,60
Over 348,50 - 60 = 288,50 betaalt men 17,5% BTW en dat is 0,175 • 288,50 = ƒ50,49
Samen is dat  ƒ3,60 + ƒ50,49 = ƒ54,09 aan BTW
13. De formule is geldig als men ƒ60,- of meer betaalt.
Als men ƒ60,- betaalt is dat ƒ30,- vastrecht en dus ƒ30,- gasverbruik.
ƒ30,- verbruik is  30/2,45 = 12,24... m3 gas.
14. 130 m3 kost  130 • 2,50 = ƒ325,-
Het vastrecht is  ƒ30,60
Belasting over 130 m3 is  130 • ƒ0,285 = ƒ37,05
Het totale bedrag wordt daarmee  325 + 30,60 + 37,05 = ƒ392,65
Daarover wordt 6% belasting betaald, dus dat is 0,06 • 392,65 = ƒ 23,559 afgerond ƒ23,56
Het BTW-verschil is daarmee ƒ54,09 - ƒ23,56 = ƒ30,53
15. Stel dat het jaarlijkse verbruik x m3 is.
Dat kost aan gasverbruik  2,50 • x
Dat kost aan vastrecht  30,60
Dat kost aan waterbelasting  0,285 • x
Samen is dat  2,5x + 30,60 + 0,285x = 2,785x + 30,60
De BTW is 6% en dat is  0,06• (2,785x + 30,60)
K2000 = 2,785x + 30,60 + 0,06• (2,785x + 30,60) = 2,785x + 30,60 + 0,1671x + 1,836 = 2,9521x + 32,436
En dat is inderdaad de gezochte formule
16. Bij een groot verbruik is de nieuwe methode gunstiger omdat over het verbruik na de eerste 300 m3 geen waterbelasting meer betaald hoeft te worden.
Laten we eens kijken hoe groot de kosten zijn voor bijv.  x = 10000 m3  :
10000 • 2,50 = ƒ25000,-
vastrecht ƒ30,60
waterbelasting  300 • 0,285 = ƒ85,50

In totaal  K2000 = ƒ25116,10
K1999 geeft voor x = 10000:  K1999 = 2,87875 • 10000 + 28,35 = ƒ28815,85
De nieuwe berekeningswijze geeft dus niet bij elk verbruik een hoger bedrag dan de oude.
17. P(prijs) = P(KK of  LL of NN of VV) = 0,3 • 0,3 + 0,3 • 0,3 + 0,3 • 0,3 + 0,1 • 0,1 = 0,28
18. PLOT de grafiek van P(k).
Dat geeft een dalparabool.
Het minimum is te vinden met CALC - MINIMUM en is  k = 0,25
19. Elke afbeelding komt dan op 25% van de loten voor.
3 vogelverschrikkers kan bijvoorbeeld door  vogelverschrikker-vogelverschrikker-anders en de kans daarop is 0,25 • 0,25 • 0,75 = 0,046875
Maar er zijn drie mogelijke volgorden die dit opleveren dus de kans op 2 vogelverschrikkers is  
3 • 0,046875 = 0,140625
Drie vogelverschrikkers heeft een kans van 0,253 = 0,015625
De totale kans van een prijs wordt daarmee  0,155875