HAVO WB, 2018 - I

 

Macht van 2.
       

De functie f  is gegeven door    f(x) = 4 - 20,3x - 2

Op de grafiek van f ligt een punt R. De y-coördinaat van R is 2.
       

3p.

1.

 Bereken exact de x-coördinaat van R.
       

De grafiek van f snijdt de x-as in het punt Q.
Verder zijn gegeven het punt P(0, 5) en de lijn l door P en Q.
Lijn l en de grafiek van f snijden elkaar behalve in Q ook in het punt S.
Zie de figuur.
       

       

6p.

2.

Bereken de coördinaten van S. Rond deze coördinaten af op twee decimalen.
       

De grafiek van f wordt 20 naar links en 10 omhoog geschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van een functie g.

De functie g kan geschreven worden in de vorm g(x) = a + b • 20,3x .
       

3p.

3.

 Bereken de waarden van a en b.
       
Afstand 5.
       

De lijn l is gegeven door de vergelijking  y = 3/4x + 11/4
Verder is gegeven  het punt P(6,1) .

De afstand tussen l en P is 5.
       

6p.

4.

 Bewijs dit.  
       

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door x2 + y2 - 28x - 32y  = -308
In de figuur zijn punt P en cirkel c met middelpunt M weergegeven.
       

       

De afstand tussen c en P is ook 5.
De afstand tussen M en P is groter dan de afstand tussen M en de x-as.
       

4p.

5.

 Bereken exact het verschil tussen deze twee afstanden.
       

 

Hardlopen.
       

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand.
De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op:
       

       

Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid v1 op een bepaalde afstand s1, de te verwachten gemiddelde snelheid v2 op een andere afstand s2 worden uitgerekend.

Hardlopers gebruiken vaak de volgende vuistregel: als de afstand verdubbelt, dan neemt je gemiddelde snelheid met 6% af.
       

3p.

6.

 Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet.  
       

In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren.
       
    wereldrecordtijd in 2015
wedstrijd afstand
(in meters)		 uren minuten seconden
10 km 10000   26 44
15 km 15000   41 13
10 mijl 16093   44 23
20 km 20000   55 21
halve marathon 21097   58 23
25 km 25000 1 11 18
30 km 30000 1 27 37
marathon 42197 2 02 57
       

In de hardloopsport wordt vaak gekeken naar de tijd die een hardloper gemiddeld over een kilometer doet. Dit wordt het looptempo genoemd.
       

3p.

7.

Bereken het looptempo van het wereldrecord op de marathon in het jaar 2015. Geef je eindantwoord in hele minuten en seconden nauwkeurig.
       

In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd t in uren tegen de logaritme van de afstand s in kilometers van de wereldrecords op de afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn, die ook in de figuur is getekend.
       

       

5p.

8.

Bepaal met behulp van de lijn in de figuur het te verwachten wereldrecord hardlopen op een afstand van 50 kilometer. Geef je eindantwoord in hele uren en minuten nauwkeurig.
       
De Helling.
       
De functie f is gegeven door:

       

6p.

9.

Bereken exact voor welke waarden van x de helling van de grafiek van f  groter is dan 31/2
       
Horizonafstand.
       
Als men vanaf bijvoorbeeld een hoog gebouw of een berg vrij zicht heeft tot aan de horizon, is de horizon verder weg dan wanneer er vanaf de grond naar de horizon gekeken wordt. Het kijken naar de horizon gebeurt vanuit het oog O in een rechte lijn naar een punt P op de horizon.


De hoogte waarop het oog zich bevindt noemen we de kijkhoogte.
De afstand OP tot aan de horizon noemen we de horizonafstand.

De horizonafstand a in meters hangt af van de kijkhoogte h in meters boven de grond. Zie de figuur hiernaast.

Hoe groter de kijkhoogte, hoe groter de horizonafstand.
De horizonafstand a is bij benadering evenredig met h .

In onderstaande figuur is dit evenredige verband tussen a en h door middel van een rechte lijn weergegeven. Bovendien zijn van een aantal punten op deze lijn de coördinaten gegeven.
       

       

3p.

 10.

Bepaal met behulp van de figuur welke kijkhoogte hoort bij een horizonafstand van 40 km. Geef je eindantwoord in hele meters nauwkeurig.
       

Bij benadering geldt:   a = 3741√h

Hierin is a weer de horizonafstand in m en h weer de kijkhoogte in m.
De horizonafstand kan ook in kilometers uitgedrukt worden. Het verband tussen de horizonafstand k in kilometers en h kan worden beschreven met  een formule van de vorm k = √(c • h)

       

3p.

11.

Bereken algebraïsch de waarde van c. Geef je eindantwoord in helen nauwkeurig.
       

Het licht van de Lange Jaap, een vuurtoren bij Den Helder, reikt 30 zeemijl ver. Een zeemijl is 1852 m.
De lamp van de Lange Jaap bevindt zich op een hoogte van 57 m. Vanaf een kijkhoogte van 2 m is het licht van de Lange Jaap op een afstand van 30 zeemijl niet (rechtstreeks) te zien, omdat de vuurtoren zich dan achter de horizon bevindt.

De maximale afstand d waarop het licht van een vuurtoren een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken is afhankelijk van de hoogte H waarop de lamp van een vuurtoren zich bevindt, en van de kijkhoogte h van de waarnemer. Zie de volgende figuur.
       

       

Bij benadering geldt:   d =  3,74 • (√H + √h)

Hierin is d de maximale afstand in km waarop het licht van een vuurtoren een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken, H de hoogte van het licht van de vuurtoren in m en h nog steeds de kijkhoogte in m.

Wanneer het licht van de Lange Jaap op een afstand van 30 zeemijl vanaf een kijkhoogte van 2 m wel (rechtstreeks) zichtbaar zou zijn, zou de lamp zich een stuk hoger moeten bevinden.
       

5p.

12.

Bereken hoeveel keer zo hoog de lamp zich dan minstens zou moeten bevinden. Geef je eindantwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
Raaklijnen door de oorsprong.
       
De functie f is gegeven door:

       
De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(1, -3) . Zie de figuur.
       

       
Lijn k gaat door de oorsprong.
       

5p.

13.

 Bewijs dit met behulp van differentiëren.
       

De lijn l met vergelijking  y = -11/9 • x  raakt de rechtertak van de grafiek van f in het punt B. Zie onderstaande figuur.
       

       
Lijn l snijdt de linkertak van de grafiek van f niet.
       

6p.

14.

 Bewijs dit.
       

 

Hoogwerker.
       

Met behulp van een hoogwerker kan een monteur bepaalde werkzaamheden op hoogte uitvoeren. Zie de foto.

Hierbij staat de monteur in een bak, die is bevestigd aan twee scharnierende draagarmen.

De twee draagarmen draaien ten opzichte van elkaar en ten opzichte van het wagentje waaraan de onderste draagarm bevestigd is.

In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd 2-dimensionaal model van de situatie. Zie de volgende figuur, waarin dit is weergegeven.
       

       

Punt A is het scharnierpunt op het wagentje, punt B het scharnierpunt van de twee draagarmen en punt C het einde van de bovenste draagarm waaraan de bak bevestigd is.
- De lengte van draagarm AB is 250 cm.
- De lengte van draagarm BC is 300 cm.
       

In de situatie zoals weergegeven in de figuur geldt dat BC horizontaal is.
Hoek ABC is dan 50 graden.

In onderstaande figuur is ook het punt D weergegeven. D is de loodrechte projectie van A op de verticale lijn door C. Deze verticale lijn is in de figuur gestippeld weergegeven.
       

       
De afstand AD is ongeveer 139 cm.
       

3p.

15.

 Toon dit aan.
       

Wanneer de monteur de bak recht omhoog verplaatst, zal hoek ABC toenemen. Zie onderstaande  figuur.
       

       
De monteur verplaatst de bak recht omhoog tot CD = 292 cm.
       

4p.

16.

Bereken in dit geval de toename van hoek ABC in hele graden nauwkeurig.
       

 

(Co)sinus.
       

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door:  f(x) =  2 + 3sin(π(x + 1/4))

Verder is de lijn l gegeven door de vergelijking   y = 7/2  Zie figuur.
       

       

Op het gegeven domein snijden l en de grafiek van f elkaar in twee punten.
       

4p.

17.

 Bereken exact de x-coördinaten van deze punten.
       

Een functie g heeft een functievoorschrift van de vorm:  g(x) = p + q • cos(r(x - s))

Er geldt:
- De periode van g is 4.
-

Het hoogste punt van de grafiek van g valt samen met het hoogste punt van de grafiek van f.
-

De amplitude van de grafiek van g is twee keer zo groot als de amplitude van de grafiek van f.
       
Zie de volgende figuur.
       

       

5p.

18.

 Bereken mogelijke exacte waarden van p, q, r en s.
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. 2 = 4 - 20,3x - 2 
-2 = -20,3x - 2
2 = 20,3x - 2 
21 = 20,3x - 2
1 = 0,3x - 2
0,3x = 3
x = 10
   
2. 4 - 20,3x - 2 = 0
20,3x - 2 = 4
20,3x - 2 = 22
0,3x - 2 = 2
0,3x = 4
x = 131/3.  Dus  Q = (131/3, 0)
P = (0,5)  dus PQ heeft helling  (5 - 0)/(0-13,333) = -3/8
l is de lijn  y = -3/8x + 5
Y1 = (3/8)*X + 5  en  Y2 = 4 - 2^(0.3*x - 2)  en dan intersect  geeft  x = 4,30 en  y = 3,39
S = (4.30 ,  3.39)
   
3. 20 naar links:  x  vervangen door  x + 20
10 omhoog:  hele formule  + 10
Dat geeft  g(x) = 4 - 20,3(x + 20) - 2 + 10
g(x) = 14 - 20,3x + 6 - 2
g(x) = 14 - 20,3x + 4
g(x) = 14 - 20,3x • 24
g(x) = 14 - 16 • 20,l3x
Dus a = 14  en  b = -16
   
4. Lijn m door P loodrecht op l heeft helling  -1/(3/4) = -4/3
1 = (-4/3) • 6 + b  geeft  b = 9  dus m is de lijn  y = -4/3x + 9
m snijden met l:   -4/3x + 9 = 3/4x + 11/4
25/4 = 25/12x
x = 3
Het snijpunt is  S(3, 5)  en P was  (6, 1)
De afstand PS is dan  √((6 - 3)2 + (1 - 5)2) = √25 = 5
   
5. x2 + y2 - 28x - 32y  = -308
x2 - 28x + 196 - 196 + y2 - 32y + 256 - 256 = -308
(x - 14)2 + (y - 16)2  - 452 = -308
(x - 14)2 + (y - 16)2 = 144
Dus  M = (14, 16)       (en de straal is  r = 12 maar dat doet er niet toe)

De afstand van M tot de x-as is  16
MP = √((14 - 6)2 + (16 - 1)2) = √289 = 17
Het verschil is dus 1.
   
6. laat de afstand verdubbelen, dus neem s2 = 2 • s1
dan geeft de formule  v2 = v1 • (0,5)0,06
v2 = v1 • 0,9593
Dat is een afname van 4,07%
De formule voldoet dus NIET aan de vuistregel.
   
7. 2 uur 2 minuten en 57 seconden is 2 • 3600 + 2 • 60 + 57 = 7377 seconden
de afstand is 42197 meter
verhoudingstabel:
 
afstand in meter 42195 1000
tijd in seconden 7377 ??
  ?? = 1000 • 7377/42197 = 174,831...  seconden
Dat is een looptempo van   2 minuten en 55 seconden.
   
8. log(50) = 1,698....
trek een lijn van 1,698...(op de log(s)-as) recht omhoog naar de grafiek en dan opzij naar de log(t)-as.
Dat geeft log(t) = 0,39
t = 100,39 = 2,45... uur
Dat is 2 uur en 27 minuten.
   
9. f(x) = 2/3(x - 1)3 - 1/2x
f '(x) = 3 • 2/3 • (x - 1)2 - 1/2
f '(x) = 2(x - 1)2  - 1/2

f '(x) = 3,5 geeft  3,5 = 2(x - 1)2 - 1/2
4 = 2(x - 1)2
(x - 1)2 = 2
x - 1 = √2  ∨   x - 1 = -√2
x = 1 + √2  ∨   x = 1 - √2

f(x) > 3,5  geldt dan voor   x < 1 - √2  en  x > 1 + √2
   
10.

  Aflezen:  √h = 10,7
h = 10,72 = 114 meter
   
11.  a = 3741√h
k is in kilometers, dus  a = 1000k
1000k = 3741√h
k = 3,741√h
k = √13,995 • √h
k = √(13,995h)
k = √(14h)  dus  c = 14
   
12. 30 zeemijl is 30 • 1,852 = 55,56 km.
55,56 = 3,74 • (√H + √2)
55,56 = 3,74√H + 5,2891...
3,74√H = 50,2708....
√H = 13,44...
H = 180,67...
Dat is  180,67../57  = 3,2 keer zo hoog.
   
13. f(x) = (2x - 3)-1 - x - 1
f '(x) = -(2x - 3)-2 • 2- 1
f '(1) = -2(-1)-2 - 1 = -3
De raaklijn is  y = -3x + b
A invullen:  -3 = -3 • 1 + b  en dat geeft b = 0
De raaklijn gaat inderdaad door de oorsprong.
   
14. snijden:   -11/9x = 1/(2x - 3) - x - 1
vermenigvuldig met 9:   -11x = 9/(2x - 3) - 9x - 9
Dat geeft  -2x + 9 = 9/(2x - 3)
vermenigvuldig met (2x - 3):   (-2x + 9)(2x - 3) = 9
-4x2 + 6x + 18x - 27 = 9
-4x2  + 24x  - 36 = 0
x2 - 6x + 9 = 0
(x - 3)2 = 0
x = 3
Er is maar één oplossing (x = 3: het snijpunt met de rechtertak) dus de lijn snijdt de linkertak niet.
   
15. Teken lijnstuk AE loodrecht op BC.
cos50º = EB/250
EB = 250 • cos50º = 160,69...
AD = BC - EB = 300 - 160,69... = 139,30...
Dat is inderdaad ongeveer 139 cm.

   
16. Pythagoras:  AC2 = 1392 + 2922 = 104585  dus  AC = √104585 = 323,396....
Cosinusregel in driehoek ABC:
323,396...2 = 3002 + 2502 - 2 • 300 • 250 • cosα
104585 = 152500 - 150000cosα
150000cosa = 47915
cosα = 0,3194...
α = 71,37...º
Het is dus 71,37... - 50 = 21º toegenomen.
   
17. 2 + 3sin(π(x + 1/4)) = 7/2
3sin(π(x + 1/4)) = 3/2
sin(π(x + 1/4)) = 1/2
π(x + 1/4) = 1/6π + k2π  ∨   π(x + 1/4) = 5/6π + k2π
x + 1/4 = 1/6 + 2k  ∨   x + 1/4 = 5/6 + 2k
x = -1/12 + 2k  ∨  x = 7/12 + 2k
Tussen 0 en 2 geeft dat de oplossingen x = 23/12  en  x = 7/12  
   
18. De amplitude is 2 • 3 = 6  dus  q = 6
De periode is 4 dus  r = 2π/4 dus  r =  1/2π

De grafiek van f is een sinusgrafiek met evenwichtslijn 3 en amplitude 2 en periode 2 die 1/4 naar links is geschoven, dus heeft beginpunt x = -1/4
De top daarvan bevindt zich een kwart periode naast het beginpunt, dus bij x = -1/4 + 1/2 = 1/4
Het hoogste punt van de grafiek van f is  (1/4, 5)

g is een cosinusgrafiek, dus die begint bij x = 1/4  dus  s = 1/4
de amplitude is 6, dus de evenwichtlijn is de lijn y = -1  dus  p = -1