HAVO WB, 2017 - II

 

Afstand tussen twee raaklijnen.
       

De functie f is gegeven door  f (x) = 1/2x3 - 4x . De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in M, de oorsprong O(0, 0) en N. Zie de figuur.
       

       
3p.

1.

 Bereken exact de afstand tussen M en N.
     

 

De lijnen k en l zijn evenwijdige raaklijnen aan de grafiek van f.
Lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(-2, 4) . Zie onderstaande figuur.
       

       

De afstand van O tot k is de helft van de afstand tussen k en l.
       
7p.

2.

Bereken algebraïsch de afstand tussen k en l. Geef je eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

 
Over een cirkel gespannen.
       

De cirkel c met middelpunt M(0, 5) is gegeven door x2 + ( y - 5)2 = 25 .
De punten C(-4, 8) en D(4, 8) liggen op de cirkel. De lijn k is de raaklijn aan c in punt C en de lijn l is de raaklijn aan c in punt D. Punt A is het snijpunt van k met de x-as en punt B is het snijpunt van l met de x-as.
Zie de figuur.
       

       
De coördinaten van punt B zijn (10, 0) .
       
4p.

3.

 Bewijs dit.  
     

 

Tussen A en B wordt denkbeeldig een touwtje gespannen dat over de cirkel heen gaat. Het touwtje is zo gespannen dat het tussen C en D precies over de cirkel ligt.
Het touwtje is recht tussen A en C en tussen D en B. Zie onderstaande figuur.
       

       
5p.

4.

 Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van het touwtje.
     

 

 

Zonnepanelen.
       

De prijs van elektrische energie – gewoonlijk elektriciteit genoemd – stijgt niet elk jaar met hetzelfde percentage.
In de tabel staan de groeipercentages ten opzichte van het voorafgaande jaar voor de periode van 1997 tot en met 2006.

Uit de gegevens in de tabel volgt dat de prijs van elektriciteit in 10 jaar tijd ongeveer is verdubbeld.
jaar prijsstijging ten
opzichte van het
voorafgaande
jaar in gehele
procenten
1996  
1997 2
1998 1
1999 7
2000 14
2001 26
2002 3
2003 3
2004 5
2005 8
2006 6
     
3p.

5.

 Toon dit aan.
   

 

Een verdubbeling in 10 jaar kan ook bereikt worden door de prijs van elektriciteit jaarlijks met een vast percentage te laten stijgen.
     
4p.

6.

Bereken op algebraïsche wijze dit percentage. Rond je eindantwoord af op één decimaal.
   

 

Met zonnepanelen kan worden bespaard op de elektriciteitskosten.
Hoeveel er met zonnepanelen kan worden bespaard, hangt in deze opgave alleen af van de prijsstijging van elektriciteit en van de elektriciteitsopbrengst van de zonnepanelen.
       

Zonder rekening te houden met de kosten van aankoop en installatie kan de totale besparing vanaf het moment van installatie worden berekend met behulp van de volgende formule:

       

       

Hierin is B de totale besparing in euro’s, V de elektriciteitsopbrengst van de zonnepanelen in kWh per jaar, P het percentage waarmee de elektriciteitsprijs jaarlijks stijgt en t het aantal jaren na 2006.

In januari 2006 worden zonnepanelen geplaatst.
De kosten voor de aankoop en installatie hiervan zijn € 13 000,-. De zonnepanelen leveren 2250 kWh per jaar.
We nemen aan dat de elektriciteitsprijs jaarlijks steeds met 7% stijgt.
Na een aantal jaren zal de totale besparing groter zijn dan de aanschafprijs van de zonnepanelen.
       
3p.

7.

 Bereken na welk geheel aantal jaren dit voor het eerst het geval is.
     

 

Een school heeft een grote hoeveelheid zonnepanelen op het dak staan.
In het jaar 2011 was de elektriciteitsopbrengst van deze zonnepanelen in totaal 45000 kWh, waarvan 520 kWh in de maand december.

In het toenamediagram in de figuur zijn de gegevens van het eerste halfjaar van 2012 verwerkt.
       

       

Uiteindelijk bleek dat in het jaar 2012 5000 kWh minder elektriciteit werd geproduceerd dan in 2011.
       
3p.

8.

Bereken hoeveel elektriciteit er in het tweede halfjaar van 2012 is geproduceerd. Geef je eindantwoord in honderden kWh nauwkeurig.
     

 

 

De toppen van de grafiek van een gebroken functie.
       
De functie f  is gegeven door:

       
De punten A en B zijn de toppen van de grafiek van f. Zie de figuur.
       

       
5p.

9.

 Bereken exact de coördinaten van A en B.
     

 
Sinus en wortel.
         

Op het domein [0,2] is de functie f gegeven door:   f (x) = 1 -  2sin(πx)
         
4p.

10.

 Bereken exact de nulpunten van f.
       

 

Verder is gegeven de functie g door g(x) = -1+ √(16x - 8) .
Zie de figuur.
         

         
De punten P en Q zijn de toppen van de grafiek van f.
         
4p.

11.

 Bewijs dat P en Q op de grafiek van g liggen.
       

 
5p.

12.

Bereken exact de helling van de grafiek van g in het snijpunt van de grafiek van g met de x-as.
       

 
Tegels stapelen.
       

Door gelijke rechthoekige tegels ‘netjes’ op elkaar te stapelen kan een toren gebouwd worden die naar één kant overhelt. Zie de foto.

Het uitsteken van de gestapelde tegels vanaf de onderste tegel wordt de overhang genoemd. De overhang is maximaal als de stapel tegels nog net in evenwicht is, dus net niet omvalt.
       

De maximale overhang M bij een stapel van n tegels ontstaat als volgt:

- laat tegel 1 (de bovenste tegel) een halve tegellengte uitsteken ten opzichte van tegel 2 (de eronder liggende tegel);
- laat tegel 2 een kwart uitsteken ten opzichte van tegel 3;
- laat tegel 3 een zesde uitsteken ten opzichte van tegel 4;
- enzovoort.

Algemeen geldt dan: tegel t steekt 1/2t-deel van een tegellengte uit ten opzichte van tegel t + 1. Zie de figuur.
       

       

Bij een bepaald aantal tegels is de maximale overhang meer dan één tegellengte.
       
3p.

13.

 Bereken vanaf welk aantal tegels dit het geval is.
     

 

In de rest van deze opgave nemen we tegels van 30 cm lang en 15 cm breed met een dikte van 3 cm. Deze tegels stapelen we weer 'netjes'  op elkaar, zoals op de foto en in de figuur.

Bij deze tegels kan de maximale overhang M  benaderd worden met de formule:
       

       

Hierin is M de maximale overhang in cm en is n het totaal aantal tegels in de stapel, met n ≥ 2 .

Wanneer er voldoende tegels beschikbaar zijn, kan in theorie de maximale overhang zo groot worden gemaakt als gewenst. Met de genoemde 3 cm dikke tegels wordt een overhang van 1 meter gemaakt.
       
4p.

14.

Bereken hoeveel cm hoog de stapel tegels in dit geval minstens moet worden volgens formule (1).
     

 

Voor grote waarden van n kan M benaderd worden met de formule:

M  = 34,54 • log(n - 1) + 8,658                .....(2)

Hierin is M weer de maximale overhang in cm en is n weer het totaal aantal tegels in de stapel.
       
4p.

15.

Bereken voor welke waarde van n de benadering van M met formule (2) voor het eerst minder dan 0,1 centimeter afwijkt van de benadering met formule (1).
     

 

 

Pluto.
       

De dwergplaneet Pluto beweegt om de zon. De afstand van Pluto tot de zon is niet altijd even groot.
De plaats waar Pluto zich het dichtst bij de zon bevindt wordt het perihelium genoemd, de plaats waar Pluto zich het verst van de zon af bevindt het aphelium. De baan van Pluto wordt in een assenstelsel weergegeven met de zon in de oorsprong en het perihelium en het aphelium op de x-as.
In de volgende figuur is een mogelijke positie van Pluto (P) weergegeven.
       

       

Bij de bovenste helft van deze baan in het assenstelsel hoort (bij benadering) de volgende formule:
       

       

Hierbij zijn x en y in astronomische eenheden AE (1 AE = 150 miljoen km).

Uit formule (1) volgt dat de afstand van Pluto tot de zon in het perihelium 30 AE is en in het aphelium 50 AE.
       
5p.

16.

 Bewijs dit.
     

 
Een ander model voor de afstand van Pluto tot de zon luidt:
       

       

Hierin is r de afstand van Pluto tot de zon in AE en is α de hoek tussen het lijnstuk zon-Pluto en het lijnstuk zon-perihelium. Zie de volgende figuur.
       

       
4p.

17.

Beredeneer op algebraïsche wijze met behulp van formule (2) dat de minimale afstand van Pluto tot de zon gelijk is aan 30 AE en de maximale afstand 50 AE.
     

  

 

Rakende cirkels.
       

De cirkel c met middelpunt R is gegeven door (x - 4)2 + ( y - 5)2 = 49 en
de cirkel d met middelpunt S is gegeven door (x - 14)2 + ( y - 8)2 = 16 .
Een derde cirkel e, met middelpunt T op de x-as, raakt aan beide cirkels.
Verder liggen c en d buiten e. Zie de figuur.
       

       

De x-coördinaat van T noemen we p, dus OT = p .
Er geldt: de afstand van R tot T is gelijk aan  √(p2 + 8p + 41)
       
3p.

18.

 Bewijs dit.
     

 

De lijn door R en T gaat door het raakpunt van de cirkels c en e.
Bovendien gaat de lijn door S en T door het raakpunt van de cirkels d en e.
Verder is de afstand van S tot T gelijk aan  √( p2 - 28p + 260) .
       
5p.

19.

 Bereken de straal van cirkel e.
     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.  1/2x3 - 4x = 0
x(1/2x2 - 4) = 0
x = 0  ∨  1/2x2 - 4 = 0
x = 0  ∨  x2 = 8
x = 0  ∨  x = √8  ∨  x = -√8
De afstand MN  is  dan  2√8
   
2. f '(x) = 1,5x2 - 4  dus  f '(-2) = 2
lijn k gaat door (-2, 4) en heeft helling 2
4 = 2 • -2 + b  geeft  b = 8 dus k is de lijn  y = 2x + 8

leg een lijn door O  loodrecht op k.
Die heeft helling  -0,5, dus het is de lijn  y = -0,5x

Snijden met k:   -0,5x = 2x + 8
2,5x = -8
x = -16/5
Dan is  y = -0,5 • -16/5 = 8/5  dus het snijpunt is  S = (-16/5,8/5)

OS is dan √((16/5)2 + (8/5)2) = √(320/25) en dat is de afstand van O tot k

De afstand tussen de lijnen is dan 2 • √(320/25) ≈ 7,16
   
3. M = (0, 5)  en  D = (4, 8)
MD heeft helling  (8 - 5)/(4 - 0) = 3/4
Dus lijn l heeft helling  -4/3  want die staat daar loodrecht op.
l gaat door (4, 8)  dus  8 = -4/3 • 4 + b
Dat geeft  b = 40/3 en l is de lijn  y = -4/3x + 40/3
y = 0  geeft dan  4/3x = 40/3  ofwel  x = 10  
   
4. MD heeft helling 3/4  (zie vraag 3)
Noem het snijpunt van MD met de x-as punt
Dan geldt  tan(∠MPO) = 3/4  dus  ∠MPO = 36,87º
Dan is ∠PMO = 90 - 36,87 = 53,13º
Dus ook de hoek tussen DM en de y-as is 53,13º
Dus ∠DMC = 2 • 53,13 = 106,26º
Het stuk CD van het touwtje is 106,26/360 ste deel van de hele cirkelomtrek.
Dat is dus 106,26/360 • 2π • 5 = 9,27.

AC = BD = √(62 + 82) = 10

Het hele touwtje heeft lengte  20 + 9,27 = 29,3
   
5. vermenigvuldig alle groeifactoren met elkaar:
1,02 • 1,01 • 1,07 • 1,14 • 1,26 • 1,03 • 1,03 • 1,05 • 1,08 • 1,06 = 2,0191
Dat is inderdaad ongeveer een verdubbeling (factor 2).
   
6. Dan moet gelden  g10 = 2
g = 21/10 = 1,0718
Dat is een stijging van 7,2% per jaar.
   
7. invullen:  13000 = (19,9 • 2250)/7 • ((1 + 7/100)t - 1)
13000 = 6396,43 • (1,07t - 1)
2,0324 = 1,07t - 1
3,0324 = 1,07t
t = log(3,0324)/log(1,07) = 16,396
Dus na 17 jaren is de totale besparing voor het eerst groter dan de aanschafprijs
   
8. de toenamen zijn achtereenvolgens:  300, 800, 2600, 550, 1800, -1000
de producties waren (vanaf 520 in december) dus 820, 1620 , 4220, 4770, 6570, 5570

Dat is samen 23570

Het moet samen met het tweede halfjaar een afname van 5000 worden dus de totale productie
wordt 45000 - 5000 = 40000
Dus het tweede halfjaar is  40000 - 23570 = 16430 geproduceerd (ongeveer, want het aflezen is wat onnauwkeurig)
   
9.
  Dat is nul als de teller nul is:  122 - 6x2 - 54 = 0
6x2 = 54
x2 = 9
x = 3  ∨  x = -3
A = (-3, -4)  en  B = (3, 4)
   
10.  1 -  2sin(πx) = 0
2sin(πx) = -1
sin(πx) = 1/2
πx = 1/6π + k2π  ∨  πx = 5/6π + k2π
x = 1/6 + 2k  ∨  x = 5/6 + 2k
in interval  [0, 2]  geeft dat de oplossingen x = 1/6  en  x = 5/6
   
11. sinx heeft toppen  (1/2π, 1) en (3/2π, -1)
sin(πx) heeft toppen  (1/2, 1)  en  (3/2, -1)
2sin(πx) heeft toppen (1/2, 2)  en  (3/2, -2)
-2sin(πx) heeft toppen (1/2, -2)  en  (3/2, 2)
f (x) = 1 -  2sin(πx)  heeft toppen  (1/2, -1)  en  (3/2, 3)

g(1/2) = -1 + √(16 • 1/2 - 8) = -1 + 0 = -1
g(3/2) = -1 + √(16 • 3/2 - 8) = -1 + √16 = 3

Dat zijn precies de punten P en Q.
   
12. g(x) = -1+ √(16x -8)  = 0
√(16x - 8) = 1
16x - 8 = 1
16x = 9
x = 9/16

g'(x) = 1/2 • (16x - 8)-0,5 • 16
g'(9/16) = 8
   
13. 4 tegels:  overhang   1/2 + 1/4 + 1/6 = 0,9167
5 tegels: overhang  1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 = 1,042
Dus 5 tegels.
   
14. Y1 = 34,54 * log(X - 1) + 8,658 + 15/(2(X - 1)) + 5/((4(X - 1)^2))
Y2 = 100
intersect geeft X = 441,6
er zijn 442 tegels nodig
de hoogte is dan 442 • 3 = 1326 cm.
   
15. Y1 = 34,54 * log(X - 1) + 8,658 + 15/(2(X - 1)) + 5/((4(X - 1)^2))   (staat er nog van de vorige vraag)
Y2 = 34,54 * log(X - 1) + 8,658
Y3 =  Y1 - Y2

(je kun ook direct  nemen Y3 =  15/(2(X - 1)) + 5/((4(X - 1)^2)))

kijk in de tabel (TABLE) wanneer Y3 voor het eerst kleiner dan 0,1 is.
Dat is bij X = n = 77
   
16. y = 0  geeft  1500 - 15/16(x - 10)2 = 0
15/16(x - 10)2 = 1500
(x - 10)2 = 1600
x - 10 = 40  ∨  x - 10 = -40
x = 50  ∨  x = -30
De afstanden tot de oorsprong zijn inderdaad 30 en 50.
   
17. r is minimaal als de breuk minimaal is
dat is als de noemer  1 + 0,25cosα  maximaal is (want de teller is constant en positief)
1 + 0,25cosα is maximaal als cosα maximaal is
cosα is maximaal 1, dus 1 + 0,25cosα is maximaal 1,25
dan is  r = 37,5/1,25 = 30
   
18. Noem de projectie van R op de x-as punt P.
PO = 4  (want c heeft middelpunt  (4, 5))
OT = p
Dus PT = 4 + p

RP = 5  (want c heeft middelpunt  (4,5))

Pythagoras:  RT2 = (4 + p)2 + 52 = 16 + 8p + p2 + 25 = p2 + 8p + 41
Dus RT = √(p2 + 8p + 41)
   
19. c heeft straal 7 en d heeft straal 4.

Stel dat e straal r heeft,
dan is  RT = 7 + r  dus  r = RT - 7
en  ST = 4 + r  dus  r = ST - 4
Gelijkstellen:  √(p2 + 8p + 41) - 7 =  √( p2 - 28p + 260)  - 4

Y1 = √(X^2 + 8X + 41) - 7
Y2 = √(X^2 - 28X + 260)  - 4
intersect geeft  X = p = 8
Dus  r =  √(82 + 8 • 8 + 41) - 7
r = 6