HAVO WB, 2015 - II
Veilig vliegen.
       
De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid foot (met meervoud feet). Een foot is iets meer dan 30 cm. Om de snelheid van straaljagers aan te geven, gebruikt men de term Mach. Mach 1 is gelijk aan de geluidssnelheid (dit is ongeveer 1224 km/uur). Mach 2 is tweemaal de geluidssnelheid, enzovoorts.

In de figuur zijn alle combinaties van hoogte en snelheid waarmee een F-15-straaljager veilig kan vliegen, grijs weergegeven. Een F-15-piloot zal er tijdens een vlucht voor moeten zorgen dat de combinatie hoogte en snelheid binnen dit veilige gebied valt.
       

       
In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat een F-15-straaljager op een hoogte van 10 000 feet veilig vliegt bij een snelheid tussen Mach 0,15 en Mach 1,29.

Een F-15 stijgt op vanaf een hoogte van 0 feet met een snelheid van Mach 0,4. Tijdens elke 5000 feet stijging voert de piloot de snelheid met Mach 0,3 op. Tijdens deze vlucht neemt de hoogte lineair toe met de snelheid.
       
4p. 1. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage tot welke maximale hoogte en bijbehorende snelheid de F-15 op deze manier veilig blijft vliegen. Geef de snelheid in Mach in één decimaal nauwkeurig en de hoogte in duizenden feet nauwkeurig.
     

  
De formule die hoort bij de gekromde linker rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: 
h = 60,2 • log(10v)

De formule die hoort bij de gekromde rechter rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is:
h = 33,3 • √(v - 1,2)

In beide formules is h de hoogte in duizenden feet en v de snelheid in Mach.

Een andere F-15 vliegt op een hoogte van 30000 feet.
       
3p. 2. Bereken de minimale veilige snelheid in Mach van deze F-15. Rond je antwoord af op één decimaal.
       
In de formule  h = 33,3 • √(v - 1,2)   is h uitgedrukt in v.
     

  
3p. 3. Herleid deze formule zo dat v uitgedrukt wordt in h.
     

   
Functies met een wortel.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = (x - √x)2 . In de volgende figuur zijn de grafiek van f en de lijn y = x getekend.
       

       
De grafiek van f en de lijn y = x hebben behalve de oorsprong het punt A gemeenschappelijk.
       
5p. 4. Bereken exact de x-coördinaat van punt A.
     

  
Er geldt:   f '(x) = 2x - 3√x  + 1
       
3p. 5. Toon dit op algebraïsche wijze aan.
     

  
In een punt B van de grafiek van f met positieve x-coördinaat is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig
aan de lijn y = x
       
5p. 6. Stel een vergelijking van deze raaklijn op. Rond indien nodig in je antwoord af op 4 decimalen.
     

  
De formule die hoort bij de grafiek van f is y = (x - √x)2.
Deze formule kun je ook schrijven als  y = (x - p√x)2  met p = 1.
Voor elke waarde van p kan bij de formule  y = (x - p√x)2  de bijbehorende grafiek getekend worden.
In onderstaande figuur zijn voor een aantal waarden van p met p > 0  de bijbehorende grafieken getekend.
       

       
Er zijn twee waarden van p waarvoor de grafiek van  y = (x - p√x)2  het punt (36, 36) gaat.
       
4p. 7. Bereken exact deze waarden van p.
     

   
Vierkanten.
       
In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar verbonden zijn. Elk vierkant heeft een rangnummer n. In de figuur zijn de vierkanten met de rangnummers 1 tot en met 4 getekend.
       

       
De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van de diagonaal van het voorgaande vierkant.

De lengte van de zijde van een vierkant met rangnummer n stellen we gelijk aan z(n).
Voor het vierkant met rangnummer 1 geldt  z(1) = 1.
Voor het vierkant met rangnummer 3 geldt  z(3) = 2.

De lengte van de zijde van een opvolgend vierkant wordt telkens vergroot met een factor k.
       
3p. 8. Bereken de exacte waarde van k.
     

  
De figuur kan verder worden uitgebreid met het vierkant met rangnummer n = 5.
Ook het vierkant met rangnummer  n = 0 kan getekend worden.
       
4p. 9. Teken in de onderstaande figuur de vierkanten met rangnummers  n = 0  en  n = 5.
       
 

       
Voor de oppervlakte A van een vierkant met rangnummer n geldt de formule:  A(n) = 1/2 • 2n

Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan 131072.
       
3p. 10. Bereken exact het bijbehorende rangnummer n.
     

  
Er kan een formule voor z(n )opgesteld worden waarmee je direct de lengte van een zijde kunt berekenen.
Deze formule is van de vorm  z(n) = 2a•n + b
       
4p. 11. Bereken de waarden van a en b.
     

   
BALK !?
       
Gegeven is de balk ABCD.EFGH met ribben  AB = 3, BC = 4 en CG = 5 . Zie de figuur linksonder
Het punt L ligt op ribbe CD zodanig dat CL = 2,5. Het punt M is het midden van BC. Het punt N ligt op ribbe CG zodanig dat CN = 2.
Van de balk wordt de piramide C.LMN afgehaald, waardoor het lichaam K ontstaat. Zie de figuur rechtsonder
       

       
4p. 12. Bereken de oppervlakte van driehoek LMN. Geef je antwoord afgerond op één decimaal.
     

  
Hieronder is lichaam K vergroot weergegeven. Het vlak V is evenwijdig aan het vlak LMN en gaat door het punt G.
       

       
4p. 13. Teken in deze figuur de doorsnede van vlak V met lichaam K. Licht je werkwijze toe.
     

   
Een functie met sinus en cosinus.
       

De functie f is gegeven door f (x) = x • sin(x) + cos(x) .

De afgeleide functie van f wordt gegeven door f '(x) = x • cos(x) .
       
3p. 14. Toon dit op algebraïsche wijze aan.
     

  

De punten A en B zijn de twee toppen van de grafiek van f met een positieve y-coördinaat die een x-coördinaat tussen 2π en 5π hebben.

De lijn l is de lijn door A en B. Zie onderstaande figuur.
       

       
6p. 15. Stel met behulp van exacte berekeningen een vergelijking van l op.
     

   
Boeien.
       

Voor bolvormige boeien die in het water drijven, is het volume van het deel van de boei boven het wateroppervlak te berekenen met behulp van de volgende formule:

V 1/3π h2 (3r h)

 

Hierin is V het volume in cm3 van het deel van de boei dat boven het wateroppervlak uitsteekt, r is de straal van de boei in cm en h is de hoogte in cm van het deel van de boei boven het wateroppervlak.
 

Een bolvormige boei met een straal van 60 cm drijft in het water.
Zie foto 1. Van deze boei bevindt 65% van het volume zich boven het wateroppervlak.

 
5p. 16.

Bereken de hoogte van het deel van de boei boven het wateroppervlak. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.
   

  

De boei in foto 2 heeft de vorm van een afgeknotte kegel bovenop een cilinder. Hierbij worden de paal bovenop en de ‘oortjes’ aan de zijkant buiten beschouwing gelaten.

In onderstaande figuur is een zijaanzicht van de afgeknotte kegel getekend. Ook zijn in de figuur met stippellijnen de bovenkant en de loodlijn uit de top van de denkbeeldige, niet afgeknotte kegel getekend. Alle afmetingen zijn in cm.
       

De hoogte van de afgeknotte kegel is 90 cm. De straal van het grondvlak is 60 cm en de straal van het bovenvlak is 15 cm.

Hieruit volgt dat de hoogte h van de denkbeeldige, niet afgeknotte kegel 120 cm is.

     
3p. 17. Toon dit laatste met behulp van een berekening aan.
   

  

De hoogte van het deel van de cilinder boven water is 35 cm. De straal van de cilinder is gelijk aan de straal van het grondvlak van de afgeknotte kegel. Ook van de boei op foto 2 bevindt 65% van het totale volume van de boei zich boven het wateroppervlak.
       
5p. 18.

Bereken het volume van de hele boei op foto 2. Geef je antwoord in honderdduizenden cm3 nauwkeurig.
     

   

 

Van een rechte naar een scheve cilinder.
       

In deze opgave bekijken we een cilinder waarvan de hoogte 50 is en de diameter van het grondvlak 10. In figuur 1 is een zijaanzicht van deze rechte cilinder weergegeven.

De cilinder wordt scheef doorgesneden en vervolgens worden de twee losse delen zo aan elkaar vastgemaakt dat het cirkelvormige grondvlak en bovenvlak van de rechte cilinder tegen elkaar liggen. Uiteindelijk ontstaat een scheve cilinder. In de figuren 2 tot met 6 wordt dit proces in het zijaanzicht weergegeven.
       

       

De hoek die het snijvlak bij het scheef doorsnijden van de cilinder maakt met de lengterichting noemen we α en de lengte van de doorsnede in het zijaanzicht noemen we d. De hoogte van de scheve cilinder in de stand van figuur 6 noemen we h. In de figuren 2 tot en met 5 zijn α en d aangegeven. In figuur 6 zijn α , d en h aangegeven.

Bij een bepaalde waarde van α is de hoogte h van de scheve cilinder 90% van de hoogte van de oorspronkelijke, rechte cilinder.
       
3p. 19. Bereken deze waarde van α . Geef je antwoord in hele graden nauwkeurig.
     

  

Voor de inhoud V1 van de rechte cilinder geldt V1 = 50 • G1 , waarbij G1 de oppervlakte van het grondvlak van de rechte cilinder is. Voor de inhoud V2 van de scheve cilinder geldt V2 =  h • G2 , waarbij G2 de oppervlakte van het grondvlak van de scheve cilinder is.

De inhoud van beide cilinders is gelijk, dus V1 = V2 .

Er geldt:  G2 = G1/sin(α)

       
4p. 20. Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan.
     

   

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Teken een lijn van  (0.4, 0)  die steeds 0,3 naar rechts en 5(000) omhoog gaat. Zie de volgende figuur
   
 

  Die lijn verlaat het veilige gebied bij de lijnen met de blauwe pijlen.
Aflezen:  snelheid  1,5 Mach en hoogte 18000 feet.
   
2. Voor de minimale snelheid moet je de formule h = 60,2 • log(10v) gebruiken.
30 = 60,2 • log(10v)
log(10v) = 30/60,2 = 0,4983...
10v = 100,4983... = 3,15
v = 0,3  Mach.
   
3. h = 33,3 • √(v - 1,2)
kwadrateren:  h2 = 1108,89  (v - 12)
h2 = 1108,89v - 13306,68
h2 + 13306,68 = 1108,89v
v =  h²/1108,68 + 1108,68
v = 0,00090h2 + 1108,68
   
4. (x  - √x)2 = x
(x - √x)(x - √x) = x
x2 - x√x - x√x + x = x
x2 - 2x√x = 0
x(x - 2√x) = 0
x = 0   ∨   x - 2√x = 0
x = 0   ∨   x = 2√x
x = 0  ∨  x2 = 4x
x = 0  ∨   x2 - 4x = 0
x = 0  ∨  x(x - 4) = 0
x = 0  ∨  x = 0  Ú  x = 4
De x-coördinaat van A is x = 4
   
5. f(x) = (x  - √x)2 = (x - √x)(x - √x) = x2 - x√x - x√x + x  = x2 - 2x√x + x  = x2 - 2x1,5 + x

f '(x) =  2x - 1,5 • 2x0,5 + 1
f '(x) =  2x - 3√x + 1 
   
6. Als de raaklijn evenwijdig is aan y = x dan heeft de raaklijn helling 1, dus de grafiek ook.
Dus moet gelden  f '(x) = 1
2x - 3√x + 1  = 1
2x - 3√x = 0
√x(2√x - 3) = 0
√x = 0  ∨  2√x - 3 = 0
x = 0 ∨  2√x = 3
x = 0  ∨  4x = 9
x = 0  ∨  x = 9/4 

x = 9/4  geeft dan  y = (9/4 - √9/4)2 = (9/4 - 3/2)2 =  (3/4)2 = 9/16
De raaklijn is de lijn  y = x + b en moet door  (9/4, 9/16) gaan
9/16 = 9/4 + b  geeft dan  b = 9/16 - 9/4 = -27/16
De raaklijn is de lijn  y = x - 27/16
   
7. Punt invullen:   36 = (36 - p√36)2
36 = (36 - 6p)2
36 - 6p = √36  ∨  36 - 6p = -√36
36 - 6p = 6  ∨   36 - 6p = -6
6p = 30  ∨  6p  = 42
p = 5  ∨  p = 7
   
8. Als je twee keer met k vermenigvuldigd, dan verdubbelt de lengte.
Dus k2 = 2
Dan is  k = Ö2
   
9.

   
10. 1/2 • 2n = 131072
2n = 262144
n = 2log262144 = log262144/log2 = 18
   
11. Bij n = 1 hoort z = 1  dus  1 = 2a • 1 + b   dus dan geldt  a + b = 0    (immers 20 = 1)
Bij n = 3 hoort  z = 2  dus  2 = 2a • 3 + b   dus dan geldt  3a + b = 1

a + b = 0  geeft a = -b
invullen in  3a + b = 1  geeft dan   3 • -b + b = 1
-3b + b = 1
-2b = 1
b = -1/2
Dan is  a = -b  = 1/2.
   
12. Achtervlak:  LC2 + CN2 = LN2   dus  2,52 + 22 = LN2  ⇒  LN2 = 10,25  ⇒  LN = √10,25
Rechterzijvlak:  MC2 + CL2 = MN2  dus  22 + 2,52 = MN2 ⇒  MN2 = 10,25  ⇒  MN = √10,25
Ondervlak:   MC2 + LC2 = ML2   dus  22 + 22 = ML2  ⇒  ML2 = 8  ⇒  ML = √8.

De driehoek LMN is gelijkbenig want LN = MN
 
NP2 = LN2 - LP2 = 10,25 - 0,25 • 8 = 8,25
NP = √8,25.

De oppervlakte van de driehoek is dan
1/2 • √8,25 • 0,5√8 = 4,1

   
13.

   
  De tekening wijst zichzelf wel denk ik.
Let vooral goed op de evenwijdige lijnen, aangegeven door de pijlen.
   
14. x • sinx  met de productregel:   afgeleide is  1 • sinx + x • cosx
Samen geeft dat voor de afgeleide:
f '(x) =  1 • sinx + x • cosx  - sinx  =  sinx + x • cosx  - sinx  =  x • cosx
   
15. Bereken eerst de toppen van de grafiek.  Daar is de afgeleide nul.
xcosx = 0
x = 0  ∨ cosx = 0
x = 0  ∨  x = 1/2π  + k2π  ∨  x = 11/2π + k2π
Tussen 2π en 5π geeft dat  x = 21/2π  en  x =  41/2π   (dat zijn de maxima;  de andere waarden zijn de minima)

f(21/2π) = 21/2π • sin(21/2π) = 21/2π  dus A is het punt  (21/2π, 21/2π)
f(41/2π) = 41/2π • sin(41/2π) = 41/2π  dus B is het punt  (41/2π, 41/2π)

De helling van lijn AB is dan   Δy/Δx = (4,5π - 2,5π)/(4,5π - 2,5π) = 1
AB is de lijn y = x + b  en gaat door  (21/2π, 21/2π)   dus dan is  b = 0
Het is de lijn  y = x
   
16. De hele bol heeft inhoud  4/3πr3 = 4/3 • π • 603 = 904778,68
65% daarvan is 588106,14
Invullen in de vergelijking:   588106,14 = 1/3 • π  • h2 • (3 • 60 - h)

Y1 = 588106,14
Y2 = π/3*X^2*(180 - X)
intersect geeft  X = h = 72 cm
   
17. Van 60 naar 15 is een afname in de breedte van  45 cm en bij die afname is het hoogteverschil 90 cm.
Naar de top moet er een afname in de breedte zijn van 60 cm, dus dan is het bijbehorende hoogteverschil  :
   
 
breedteverschil 45 60
hoogteverschil 90 ??
   
  ?? = 670 • 90/45 = 120 cm.
   
18. De boei bestaat uit een afgeknotte kegel en een cilinder.

Afgeknotte kegel:
Inhoud Hele kegel - Inhoud Afgesneden deel =  1/3 • π • 602 • 120 - 1/3 • π • 152 • 30 = 445320,76 cm3

Cilinder:  π • 602 • 35 = 395840,67  cm3

Samen geeft dat inhoud 841161,43  cm3  voor de inhoud boven water.
Dat is 65% van de totale inhoud.
   
 
percentage 841161,43 ??
inhoud 65 100
   
  ?? = 100 • 841161,43/56 = 1294095 cm3  ≈ 1300000 cm3
   
19. 90% van 50 is 45
sinα = h/50  dus  h = 50 • sinα
45 = 50 • sinα
sinα = 0,9
 α = 64º
   
20. h = 50 • sinα   (zie vraag 19)
V2 = h • G2 = 50 • sinα  • G2
V1 = 50 • G1
Dus als  V1 = V2  dan moet gelden:   50 • sinα  • G2 = 50 • G1
delen door 50:   sinα  • G2 = G1
G2 = G1/sina .