HAVO WB, 2015 - I

 

Hangar.
       
Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor de bouw van hangars, dat zijn loodsen voor bijvoorbeeld vliegtuigen. Zie de foto.
       

       
De hangar op de foto is 175 meter lang. De opening in het vooraanzicht van de hangar heeft de vorm van een parabool.
 
In de figuur hiernaast zie je deze parabool in een assenstelsel waarvan de x-as op de grond gekozen is en de y-as door de top gaat.
Voor de coördinaten van de punten van deze parabool geldt bij benadering de volgende formule: y = -0,0306x2 + 56,6
Hierbij zijn x en y in meter.
Op de grond is de breedte van de opening van de hangar ongeveer 86,0 meter.

     
3p. 1. Laat met behulp van een berekening zien dat ook uit de formule volgt dat deze breedte ongeveer 86,0 meter is.
     

 
De inhoud van de hangar op de foto kan berekend worden met behulp van de formule :
Inhoud =  oppervlakte opening ×  lengte  hangar.

Voor de oppervlakte van het vlakdeel dat door de parabool en de x-as wordt ingesloten geldt dat deze gelijk is aan twee derde deel van de oppervlakte van de rechthoek die hier precies omheen past. Zie de figuur hiernaast.

     
3p. 2 Bereken de inhoud van de hangar met behulp van de gegeven formule. Geef je antwoord in duizenden m3 nauwkeurig.
     

 
De hangar op de foto is zo groot dat zelfs een Boeing 747, lange tijd het grootste passagiersvliegtuig ter wereld, er met gemak in past. In 2012 was de Airbus A380 het grootste passagiersvliegtuig ter wereld. De lengte van de Airbus A380 is 72,8 meter. De maximale breedte – van het ene vleugeluiteinde naar het andere – van de Airbus A380 is 79,8 meter. De hoogte boven de grond van de vleugeluiteinden is 11,0 meter.
       
4p. 3. Onderzoek of de Airbus A380 in de lengterichting in de hangar past.
     

  
Functie met sinus.
       
Op het domein [0, 2π]  is de functie f gegeven door  f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))  
In onderstaande figuur zie je de grafiek van f.
       

       
2p. 4 Bepaal met behulp van differentiëren een functievoorschrift van de afgeleide functie van f. Het antwoord hoeft niet vereenvoudigd te worden.
     

 
Een functievoorschrift van de afgeleide functie f ' is ook  f(x) = sin(2x) + 2cos(2x)
Het punt A(π, 0) ligt op de grafiek van f. De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de grafiek van f in het punt B.
Zie de volgende figuur. 
       

       
6p. 5. Bereken de x-coördinaat van B in twee decimalen nauwkeurig.
     

 
De grafiek van f  is te beschrijven met een formule van de vorm   f(x) = psin(q(x - r) + s
       
8p. 6. Bepaal mogelijke positieve waarden van p, q, r en s. Licht je werkwijze toe. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.
     

  
Theedoosje.
       
Theezakjes zitten soms per stuk in een doosje verpakt. Zie de foto.

Het theedoosje op de foto heeft de vorm van een prisma. De voor- en achterkant zijn gelijkbenige trapezia en de beide zijkanten zijn rechthoeken. Het doosje heeft een hoogte van 42 mm, de onderkant is een rechthoek met lengte 41 mm en breedte 20 mm, en de bovenkant is een vierkant met zijden van 20 mm.
In onderstaande figuur zie je een tekening van het theedoosje, met de hoekpunten A, B, C, D, E, F, G en H. De in de figuur vermelde afmetingen zijn in mm.

       

       
2p. 7 Teken op ware grootte het bovenaanzicht van het theedoosje.
     

 
4p. 8. Teken op ware grootte een uitslag van ABCD.EFGH. Zet bij elk hoekpunt de juiste letter.
     

 
Verwaarloos de dikte van het materiaal waarvan het doosje gemaakt is.
       
4p. 9. Bereken de inhoud van het theedoosje. Geef je antwoord in een geheel aantal cm3.
     

  
Grafiek met lijnstuk.
       

       
4p. 10. Toon dit laatste met behulp van differentiëren aan.
     

 

Op de grafiek van f  liggen de punten A en B met xA =1 en xB = 3.  Zie de figuur.
       

       

Op de grafiek van f ligt tussen de punten A en B het punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan het lijnstuk AB.
       
7p. 11. Bereken exact de x-coördinaat van C.
     

  

 

Geluidsbox

Op de foto is een bolvormige geluidsbox te zien. We gaan ervan uit dat deze geluidsbox in alle richtingen evenveel geluid produceert. Hierbij neemt de zogeheten geluidsintensiteit af naarmate men verder van het middelpunt van de geluidsbox verwijderd is. In deze opgave gaan we uit van een geluidsbox die in een open ruimte staat.
Voor de geluidsintensiteit I in watt per m2 geldt de volgende formule:

I = P/(4πr²)

Hierin is r de afstand in meter tot het middelpunt van de geluidsbox en P is het vermogen van het door de geluidsbox geproduceerde geluid in watt.
Op 5 meter van het middelpunt van de geluidsbox wordt een geluidsintensiteit van 10-7 watt per m2 gemeten.
     
4p. 12 Bereken de geluidsintensiteit op 1 meter van het middelpunt van de geluidsbox.
   

  
Men gebruikt ook vaak het geluidsniveau L in plaats van de geluidsintensiteit I in watt per m2. Het geluidsniveau L wordt uitgedrukt in decibel. Het verband tussen I en L wordt gegeven door de formule:  L = 10 • log(1012 • I) 
Als de geluidsintensiteit tweemaal zo groot wordt, dan stijgt het geluidsniveau met een vast aantal decibel.
       
4p. 13. Bereken dit vaste aantal decibel. Rond je antwoord af op een geheel getal.
     

  
Een bolvormige geluidsbox produceert geluid met een vermogen van 30 watt. Bij een geluidsniveau van 80 decibel of meer kan er schade aan het gehoor ontstaan.
       
6p. 14. Bereken op algebraïsche wijze tot welke afstand vanaf het middelpunt van de geluidsbox er schade aan het gehoor kan ontstaan. Rond je antwoord af op een geheel aantal meters.
     

   

 

(G)een exponentiële functie
       
De functie f  is gegeven door  f(x) = 20,5x² - x.
Verder is gegeven de lijn  l  met vergelijking y = 16. Zie de figuur.
       

       
De grafiek van f  heeft twee snijpunten met l.
       
3p. 15. Bereken de x-coördinaten van deze punten.
     

  
De functie f heeft een minimum. Als de exponent van 2 in de uitdrukking  20,5x² - x  minimaal is, dan is ook f(x) minimaal.
       
3p. 16. Bereken exact het minimum van f.
     

   

 

De oppervlakte van driehoek ABC
       
De functie f is gegeven door  f(x) = x√(2x + 3) .

       
5p. 17. Toon dit laatste met behulp van differentiëren aan.
   

  
     

De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(3, 9) .

Punt B is het snijpunt van k met de x-as.
Zie de figuur hiernaast.
De x-coördinaat van B is  3/4
     
4p. 18.

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
   

   
       

Punt C is het beginpunt van de grafiek van f.

In de figuur hiernaast is driehoek ABC grijs gemaakt.
     
4p. 19.

Bereken exact de oppervlakte van driehoek ABC.
   

   
       

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Voor de nulpunten geldt  y = 0  dus  -0,0306x2 + 56,6 = 0
Dat mag met de GR (intersect) worden opgelost, maar laten we het maar algebraïsch doen:

0,0306x2 = 56,6
x2 = 1849,673
x = √1849,673  of  x = - √1849,673

De afstand daartussen is 2 • √1849,673 = 86,0 m
   
2. Het hoogste punt van de hangar vind je bij x = 0
y = -0,0306 • 02 = 56,6 = 56,6 meter
De rechthoek eromheen is dus  56,6 bij 86,0 meter en heeft oppervlakte  56,6 • 86,0 = 4867,6 m2
2/3 deel daarvan is 3245,066... m2
De inhoud is dan  3245,066... • 175 = 567886,66...   m3
Dat is ongeveer 568000 m3
   
3 Laten we berekenen hoe breed de hangar op  hoogte 11 is.
11 = -0,0306x2 + 56,6
45,6 = 0,0306x2
x2 = 1490,196...
x = √1490,196... of  x = -√1490,196...   (dit mocht uiteraard ook via intersect van de GR)
Dat is ongeveer 38,60 meter
De hangar is dus 2 • 38,60 = 77,2 meter breed.
Het vliegtuig is breder (79,8m) dus het past er NIET in.
   
4. f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))  
Met de productregel:  (twee delen met verschillende kleur voor de duidelijkheid)
f '  =  cos(x) • (sin(x) + 2cos(x)) +  sin(x) • (cos(x) - 2sin(x))
   
5. A = (π, 0)
De helling in A is  f ' (π) sin(2π) 2cos(2π) = 0 + 2 • 1 = 2.
De raaklijn is dus  y =  2x + b en die moet door  (π, 0) gaan.
0 = 2 • π + b  geeft  b = -2π
De raaklijn is dus  y = 2x - 2π
Snijden met de grafiek van f:

2x - 2π = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))
te moeilijk, dus met de GR:
Y1 = 2X - 2p  en  Y2 = sin(X) • (sin(X) + 2cos(X)) en dan intersect geeft  X  = b = 3,84
   
6. Voer de formule in bij Y1 en bereken de coördinaten van een maximum en een minimum.
Dat geeft  bijv.  maximum (1.017, 1.618)  en  minimum  (2.588, -0,618)
De evenwichtslijn ligt midden tussen de y-waarden in en is dus   (1,618 + -0,618)/2 = 0,50 = s 
De amplitude is de afstand van maximum tot evenwichtslijn en is dus  1,618 - 0,50 = 1,12 = p
De horizontale afstand tussen max en min is  2,588 - 1,017 =  1,571 en dat is de helft van de periode.
De periode is dus 3,142 dus q =  2π/3,142 = 2,00 = q

Het beginpunt ligt een kwart periode voor het maximum, dus bij x = 1,017 - 0,25 • 3,142 = 0,23 = r
   
7. Zie hiernaast met de afmetingen in mm.

   
8. Zie hieronder.
De hulplijnen en afmetingen (in mm) staan bij de figuur in het rood.
De lengte van CG en DH zijn gevonden door CG en DH om te cirkelen om C en D (zie de cirkelbogen)
 
 

   
9. De figuur bestaat uit een balk met aan beide zijden een prisma.

Inhoud balk:  20 • 20 • 42 = 16800

Inhoud prisma:  0,5 • 10,5 • 42 • 20 = 4410

Totale inhoud:  16800 + 2 • 4410 = 25620  mm3

Dat is ongeveer  26 cm3

 

   
10. f (x)  = 4 • (3x - 1)-1
De afgeleide:   f ' =  -1 • 4 • (3x - 1)-2 • 3     (de 3 komt van de kettingregel)
f '(x)  = -12 • (3x - 1)-2  =  -12/(3x - 1)²
   
11. yA = 4/(3 • 1 - 1) = 2  dus  A = (1, 2)
yB = 4/(3 • 3 - 1) = 0.5 dus  B = (3, 0.5)
Dan is de helling AB gelijk aan   Δy/Δx = (2 - 0,5)/(1 - 3) =  -0,75
De helling in C moet dus ook gelijk zijn aan -0,75
f '(x) = -0,75  geeft met de afgeleide:   -12/(3x - 1)² = -0,75
(3x - 1)2 = -12/-0,75 = 16
3x - 1 = 4  of  3x - 1 = -4
x = 5/3   (of x = -1 maar dat is geen oplossing want x > 0)
   
12. r = 5  geeft    10-7 = P/4p5² 
P = 10-7 • 4π • 52 = 3,1415 • 10-5  
bij r  = 1  geldt dan  :   I = 3,1415 • 10-5 /(4π12) = 2,5 • 10-6  watt/m2
   
13. Kies gewoon wat voor I:
I = 1  geeft  L = 10 • log(1012 • 1) = 120
verdubbelen:  I = 2  geeft  L = 10 • log(1012 • 2) = 123,0103
De toename is dan  123,0103 - 120 ≈ 3 dB 
   
14. 10 • log(1012 • 1) = 80
log(1012 • I) = 8
1012 • I = 108
I = 108/1012 = 10-4 

10-4 = 30/4πr²
4πr2 = 30/10-4 = 300000
r2 = 300000/(4π) = 23873,241..
r = √(23873,241...) = 154,5 meter   (de oplossing  -154,5 meter voldoet niet)
Afgerond geeft dat  r » 155m
   
15. 16 =  20,5x² - x
0,5x2 - x = 4
0,5x2 - x - 4 = 0
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 ∨   x = -2
(Het mag uiteraard ook via de optie calc - intersect van de GR)
   
16. De exponent is het gedeelte in de lucht, en dat moet minimaal zijn.
Dus  0,5x2 - x  is minimaal.
Dan is de afgeleide ervan nul.
x - 1 = 0
x = 1
Het minimum is dan  f(1) =  20,5 • 1² - 1  = 2-0,5   
   
17. f(x) = x√(2x + 3) = x • (2x + 3)0,5
Gebruik de productregel:
f '(x) = 1 • (2x + 3)0,5 + x • 0,5 • (2x + 3)-0,5 • 2     (die laatste 2 komt van de kettingregel)
f '(x) = (2x + 3)0,5 + x • (2x + 3)-0,5  
 

   
18. f '(3) = (3 • 3 + 3)/√(2 • 3 + 3) = 12/√9 = 4
k is dus de lijn  y = 4x + b en gaat door (3, 9)
9 = 4 • 3 + b  geeft b =  -3
Dus k is de lijn  y = 4x -3
4x - 3 = 0   geeft  x = 3/4
Dus  xB = 3/4   
   
19. √(2x + 3) = 0  geeft  2x + 3 = 0  dus  x = -1,5.  Dus C is het punt  (-1.5, 0)
Dan is de basis  BC = xB - xC = 3/4 - - 1,5 = 2,25
De hoogte is  yA = 9
De oppervlakte  = 0,5 • b • h = 0,5 • 2,25 • 9 = 10,125