HAVO WB, 1994 - II

 

OPGAVE 1.  Watertransport.
       

       

       
Om scheepvaart mogelijk te maken mag de stroom snelheid van het water maximaal 3 m/s bedragen.
       
5p. 1.

Bereken voor de situatie van bovenstaande figuur hoeveel m3 water het kanaal per seconde zou doorlaten bij een stroomsnelheid van 3 m/s en een waterhoogte van 13 meter. Rond het antwoord af op een geheel getal.
       
Volgens waterbouwkundigen zijn drie factoren van invloed op de stroomsnelheid van het water in een kanaal:  de hydraulische straal, het verhang en de remmende werking van oevers en bodem. Hieronder worden deze begrippen nader toegelicht.

Voor de berekening van de hydraulische straal R heb je de 'natte oppervlakte'  en de 'natte omtrek' nodig. Bekijk daartoe het dwarsprofiel in de onderstaande figuur.

       

       
De 'natte oppervlakte' is de oppervlakte van vierhoen ABCD.
De 'natte omtrek' is de totale lengte van de lijnstukken in dit dwarsprofiel die de afscheiding vormen tussen grond en water:  AB + BC + CD.

De hydraulische straal is het quotiënt van de natte oppervlakte en de natte omtrek.  In formulevorm:
 

       
In de figuur hierboven kan R opgevat worden als functie van de waterhoogte h in meters.
       
6p. 2. Laat zien dat in die situatie bij benadering de volgende formule geldt:
   
       
6p. 3. Toon met behulp van de formule uit vraag 2 aan dat bij stijging van de waterhoogte de hydraulische straal ook toeneemt.
       
In de waterbouwkunde wordt voor de stroomsnelheid van een kanaal de volgende formule gehanteerd:
       

Hierin is:
• V de stroomsnelheid in m/s.
• S het verhang, dat wil zeggen het hoogteverschil (in kilometers) per kilometer kanaallengte (zo betekent S = 0,003 dat het kanaal per kilometer 3 meter daalt)
• R de hydraulische straal.
• k een constante die samenhangt met de weerstand van de oevers en de bodem. Een glad geasfalteerde kanaalwand remt de stroom minder dan begroeide oevers en een bodem vol oneffenheden. De waarde van k is dan ook hoger naarmate de weerstand minder is.
       
Voor het kanaal geldt:  S = 0,003 en k = 50.
Als dwarsprofiel nemen we opnieuw de situatie van bovenstaande figuur (met waterhoogte h).
       
4p. 4. Toon door een berekening aan dat bij een waterhoogte van 13 m de stroomsnelheid van het water veel groter is dan de maximaal toelaatbare  m/s.
       
Bij een waterhoogte van 13 m is de stroomsnelheid van het water te hoog.
       
6p. 5. Onderzoek of bij waterhoogten boven 13 m de stroomsnelheid van het water lager dan 3 m/s kan zijn.
       
OPGAVE 2.  Facetvlieger.
       
Een facetvlieger bestaat uit zes vierkanten die elkaar doorsnijden: twee grote vierkanten AOBS en AQBM met zijden van 60 cm en vier kleinere vierkanten CNDT, EPFN, GPHR en KRLT die alle vier even groot zijn (zie onderstaande figuur). De vlieger heeft een frame van vier stokken die samen het vierkant MOQS vormen. Ook AB is met een stok versterkt.
       

       
De zes vierkanten zijn gemaakt van een speciale textielsoort die zonder zoom verwerkt kan worden.
       
4p. 6. Bereken de totale oppervlakte aan textiel van de vlieger.
       
4p. 7. Bereken de lengte van MO.
       
5p. 8. Verklaar waarom de stok AB loodrecht staat op vlak MOQS.
       
Het touw waaraan de vlieger is opgelaten hangt altijd iets gebogen. Voor de beantwoording van de volgende vraag nemen we echter aan dat het volgens een rechte lijn strak gespannen staat. De hoek die het vliegertouw met de grond maakt noemen we a. Het touw is 100 m lang en op een bepaald moment is α = 50º. Doordat de wind toeneemt stijgt de vlieger 15 m, maar het touw blijft 100 m lang.
       
6p. 9. Bereken hoe groot α nu is in gehele graden nauwkeurig.
       
V is het midden van AB. Hieronder is een begin getekend van het aanzicht van de vlieger in de richting PV. De vierkanten AOBS, CNDT en GPHR zijn blauw en de vierkanten AQBM, EPFN en KRLT zijn groen. Het blauwe en het groene textiel zijn niet doorzichtig.
       

4p. 10. Voltooi het aanzicht in bovenstaande figuur en licht je werkwijze toe.
       
2p. 11. Arceer in het aanzicht de blauwe delen.
       
OPGAVE 3.
         
Hieronder is de grafiek van een functie f getekend.
         

         
Voor x ≤ 0 geldt het voorschrift  f(x) = 2x
Voor x ≥ 0 geldt voor f een ander voorschrift.
Gegeven is verder dat de grafiek van f puntsymmetrisch is in het punt (0, 1), wat betekent dat bij spiegeling in het punt (0,1) de grafiek van f overgaat in zichzelf.
         
4p. 12. Bereken f(1) en bereken f(5)
         
4p. 13. Stel voor x ≥ 0 het functievoorschrift van f op.
         
In onderstaande figuur is de grafiek van de afgeleide functie f ' getekend voor  x ≤ 0.
         

         
5p. 14. Voltooi in bovenstaande figuur de grafiek van f ' door ook het gedeelte dat hoort bij  x > 0 te tekenen. Licht je werkwijze toe.
         
OPGAVE 4.  De kantelende gietpan.
         
In een klokkengieterij hangt een gietpan met vloeibaar brons. Door de pan te kantelen loopt het metaal uit de pan in de gietvorm. We nemen als model voor de pan een kubus met ribbelengte 1 (zie de figuur hiernaast).
In de figuur hieronder zijn aanzichten getekend van de pan op een drietal verschillende tijdstippen tijdens het gieten.

 

         
De hoek waarover gekanteld wordt noemen we α, uitgedrukt in graden. De hoeveelheid vloeistof die door het kantelen is weggestroomd, heeft volume V.
         
4p. 15. Toon aan dat voor  0 ≤ α ≤ 45º de volgende formule geldt:  V = 1/2tanα
         
In de figuur hieronder zijn drie situaties getekend waarbij gekanteld is over een hoek die groter is dan 45º
         

         
6p. 16. Druk het volume V van de hoeveelheid weggestroomde vloeistof uit in  α voor  45º ≤ α ≤ 90º.
         
De pan wordt zo gekanteld dat hoek α met constante snelheid toeneemt. Het verband tussen α en de verstreken tijd t, in minuten, kan dan grafisch worden weergegeven met een rechte lijn. Zie de figuur hiernaast.

     
5p. 17. Bereken na hoeveel tijd 20% van de vloeistof is weggestroomd. Geef het antwoord in gehele seconden.
     
Als de pan gekanteld wordt zoals in de grafiek hierboven is weergegeven, dan is de hoeveelheid vloeivare brons die er per seconde uitstroomt, niet steeds constant.
Om een goed gietproduct te krijgen en ook om veiligheidsredenen wil men dat de hoeveelheid vloeistof, die per seconde wegstroomt, constant is. Dat betekent dat de hoeveelheid weggestroomde vloeistof na t minuten, evenredig moet zijn met de tijd t. Er moet dan gelden V = ct.  na 1 minuut is de pan weer half leeg en de totale uitstroom tijd blijft 2 minuten.
         
2p. 18. Bereken c.
         
Bij deze wijze van kantelen wordt het verband tussen α en t niet meer door een rechte lijn beschreven.
         
4p. 19. Teken in onderstaande figuur de grafiek die het verband aangeeft tussen t en α voor  0 ≤ t ≤ 1. Licht je werkwijze toe.
         

         

 

 

 

UITWERKING
   
1. 8093 m3
   
2.  
   
3.  
   
4. 14,15 m/s
   
5.  
   
6. 10800 cm2
   
7. 60 cm
   
8.  
   
9. 66º
   
10.  
   
11.  
   
12. 11/2  en  131/32
   
13. 2 - 2-x
   
14.  
   
15.  
   
16. 1 - 1/(2tana)
   
17. 29 sec.
   
18. c = 0,5
   
19.  
   
20. t = 2 - 1/tana