HAVO WB12, 2005 - II

 

Volumeknop
De volumeknop op een versterker kan gedraaid worden vanuit stand 0 naar stand 18. Zie de figuur hiernaast.
In stand 0 geeft de versterker geen geluid.
In stand 18 geeft de versterker het maximale geluidsniveau.
Er geldt de volgende formule:
P = a • log(x + 1)

Hierin is x de stand van de volumeknop, P is het percentage van het maximale geluidsniveau, en a een constante.

In de grafiek hiernaast is het verband tussen x en P weergegeven.

Uit de gegevens is af te leiden dat a = 78.

4p

1.

 Bereken a in drie decimalen nauwkeurig.

 
In de volgende vragen gaan we uit van a = 78.
4p

2.

 Bereken bij welke stand van de volumeknop het geluidsniveau gelijk is aan 75% van het maximale geluidsniveau. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

 
Bij deze versterker wordt de wijzerplaat van de volumeknop vervangen door de wijzerplaat in de figuur hiernaast.
In stand -3 geeft de versterker geen geluid
In stand 3 geeft de versterker het maximale geluidsniveau.
k is de stand van de volumeknop bij deze wijzerplaat.

In de figuur hiernaast is k gelijk aan -1,3

3p

3.

 Onderzoek hoe groot de waarde van P is bij deze stand van de volumeknop.

 
Een familie van functies.
In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie f gegeven door:
f(x) = 2x2 - 2x

De lijn k met vergelijking y = 1 snijdt deze grafiek in de punten A en B.
4p

4.

 Bereken de lengte van het lijnstuk AB. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
In de middelste figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie g gegeven door:
g(x) = (2x2 - 2x)3

De raaklijn aan de grafiek van g in het punt (-1, 64) snijdt de y-as in het punt S
6p

5.

 Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de y-coördinaat van S.

 
Een familie van functies is gegeven door
y = (2x2 - 2x)n

voor elk positief geheel getal n.

Bij n = 1 hoort de functie f van de bovenste figuur hiernaast en bij n = 3 de functie g van de middelste figuur. In de onderste figuur is in één assenstelsel voor een aantal waarden van n de grafiek van
 y = (2x2 - 2x)n getekend.
Voor elke waarde van n heeft de grafiek van y = (2x2 - 2x)n een top voor x = 1/2.
5p

6.

 Onderzoek voor welke waarden van n de afstand van deze top tot de x-as kleiner is dan 0,001.

 
Krantenbakken
Van rechthoekige kunststofplaten van 50 bij 90 cm worden krantenbakken gemaakt. Elke plaat wordt gebogen langs twee rechte lijnen die evenwijdig zijn aan de korte zijde van de rechthoek. De gehele plaat van 50 bij 90 cm wordt gebruikt. Het vooraanzicht van de krantenbak is symmetrisch.
In de hele opgave is de afstand tussen de opstaande platen aan de bovenkant twee keer zo groot als de breedte aan de onderkant.
De dikte van de plaat wordt in deze opgave verwaarloosd.

We bekijken eerst een krantenbak waarvan de onderkant een breedte van 10 cm heeft:

5p

7.

 Bereken de hoogte van de krantenbak in millimeters nauwkeurig.

Vervolgens bekijken we een krantenbak die aan de onderzijde 20 cm breed is. In deze krantenbak wordt een groot, dun prentenboek gelegd zoals in onderstaande figuur in een vooraanzicht te zien is. Het prentenboek is 50 bij 65 cm groot en wordt met de zijde van 50 cm in de krantenbak gelegd zodat het prentenboek aan de open zijkanten niet uitsteekt.

In dit vooraanzicht zijn diktes van kunststofplaat en prentenboek verwaarloosd.
Het vooraanzicht is getekend met schaal 1 : 10
3p

8.

 Teken het zijaanzicht van de krantenbak met daarin het prentenboek met schaal 1 : 10.

Als de onderkant een andere breedte krijgt verandert de hoogte van de krantenbak. In onderstaande figuur zijn nogmaals enkele situaties weergegeven. de breedte van de onderkant noemen we x (in cm)

De hoogte h (in cm) van de krantenbak hangt af van x.
Er geldt  h = √(2025 - 45x)
5p

9.

 Toon dit aan.

De inhoud I (in dm3) van de krantenbak hangt ook af van x.
Er geldt:  I = 0,075x • √(2025 - 45x)
De grafiek van I is in onderstaande figuur weergegeven.

3p

10.

 Onderzoek bij welke waarde van x en van h de inhoud van de krantenbak maximaal is.

Men wil de krantenbakken een inhoud geven van minimaal 30 dm3 en een hoogte van minimaal 20 cm.
6p

11.

 Onderzoek welke breedtes de krantenbakken aan de onderkant nu kunnen krijgen. Geef je antwoord in millimeters nauwkeurig.
Delta vaas
De Nederlandse architect Mart van Schijndel heeft in 1981 de Delta vaas ontworpen. Zie de foto hiernaast .
De vaas is gemaakt uit drie gelijke platte stukken plexiglas die aan elkaar gelijmd zijn. Zie de figuren hieronder.

De vaas staat op de zijden TP, TQ en TR. De zijvlakken BRTA, CQTB en APTC hebben dezelfde vorm en dezelfde oppervlakte.
Verder geldt:  ∠ABR = ∠BRT = 90º;  AB = 10 cm, TR = 5 cm en BR = 15 cm.
In de volgende vragen wordt de dikte van het plexiglas verwaarloosd.

 

4p

12.

 Bereken hoeveel vierkante centimeter plexiglas in de vaas verwerkt is.
4p

13.

 Bereken hoek T van vierhoek ATRB.

De inhoud van de vaas is gelijk aan de inhoud van piramide T.ABC.
De hoogte van deze piramide is afgerond 14,72 cm.
5p

14.

 Bereken de inhoud van de vaas.

Hiernaast staat het begin van een bovenaanzicht van de Delta vaas (schaal 1 : 2).

6p

15.

 Teken in deze figuur de punten T, P, Q en R, en maak het bovenaanzicht af.

Golfplaat
Golfplaat is een bouwmateriaal dat gebruikt wordt voor het afdekken van eenvoudige bouwwerken. In de figuur hiernaast zie je een rechthoekig stuk golfplaat.

In de figuur hieronder is het vooraanzicht van dit stuk golfplaat in een assenstelsel getekend. Hierbij is de dikte verwaarloosd.
In het assenstelsel zijn x en y uitgedrukt in cm.

Bij deze grafiek hoort de formule:  y = 3 + 3sin(0,469x)

De golfplaat hierboven wordt als afdakje gebruikt. De plaat wordt horizontaal neergelegd en steunt aan de randen  PQ en RS op een muur.
De ruimtes tussen de bovenrand van de muur en de golfplaat worden afgedicht met houten blokjes. Deze blokjes zijn 3,8 cm hoog en hebben een zo groot mogelijke breedte. In de figuur hiernaast is dit geschetst

4p

16.

 Bereken de breedte van zo'n blokje. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

Het bovenaanzicht van het stuk golfplaat hierboven is een rechthoek PQRS. PQ = 67 cm en RS = 55 cm.
Dit stuk golfplaat wordt diagonaal doorgezaagd. In het bovenaanzicht is de zaagsnede een rechte lijn van S naar Q. De werkelijke vorm van de doorsnede is een sinusoïde.
7p

17.

 Stel een formule op van deze sinusoïde als deze op ware grootte in een assenstelsel zoals in de grafiek hierboven wordt weergegeven

Wortelfuncties
Gegeven is de functie f(x) = √(2x - 4)
Op de grafiek van f ligt het punt A met y-coördinaat 12.
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in A.
6p

18.

 Bereken met behulp van differentiëren de richtingscoëfficiënt van de lijn l. Geef het exacte antwoord.

De functie f is één van de functies y = √(px - 4p + 4), waarbij p elke waarde kan aannemen.
Voor p = 2 ontstaat de gegeven functie f.

In onderstaande figuur is voor enkele waarden van p de grafiek van  y = √(px - 4p + 4) getekend.
Deze getekende grafieken hebben een gemeenschappelijk punt G

4p

19.

 Toon aan dat alle grafieken van y = √(px - 4p + 4) door dit punt G gaan.

OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. x = 18 hoort bij P = 100, dus  100 = a • log(18 + 1)  ⇒  100 ≈  a • 1,278  ⇒  a ≈ 78,201
2. 75 = 78 • log(x + 1)  ⇒  log(x + 1) = 75/78  ⇒  x + 1 = 1075/78  ≈ 9,15  ⇒  x ≈ 8,2 
   
3. 1 stap in de nieuwe stand is 3 stappen in de oude stand.
Van -3 naar -1,3 is 1,7 stappen in de nieuwe stand.
Dat is dus 1,7 • 3 = 5,1 stappen in de oude stand, dus de oude knop zou 5,1 geven
P = 78 • log(5,1 + 1) ≈ 61%
4. 2x2 - 2x = 1  ⇒  2x2 - 2x - 1 = 0.
De ABC formule (a = 2, b = -2, c = -1) geeft als oplossingen x ≈ -0,366  ∨  x ≈ 1,366
De afstand daartussen is  1,366 - - 0,366 ≈ 1,73
5. g'(x) = 3 • (2x2 - 2x)2 • (4x - 2)  dus  g'(-1) = -288
De raaklijn is dus de lijn y = -288x + b
(-1, 64) invullen:  64 = -288 • -1 + b  ⇒  b = -224 en dat is de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as.
6. x = 1/2 geeft  y = (-1/2)n
(1/2)n = 0,001  ⇒  n = 0,5log 0,001 = log0,001/log0,5 ≈ 9,96
Dus voor n ≥ 10 is de afstand kleiner dan 0,001
7. De afmetingen in het vooraanzicht zijn als hiernaast.
De schuine zijden zijn 40, want 40 + 10 + 40 = 90

Pythagoras geeft dan  h2 + 52 = 402
⇒  h = √(1600 - 25) = √1575 ≈  39,7 cm = 397 mm
8. Dat kan zonder berekeningen door de afmetingen van het vooraanzicht over te brengen:

9. De twee schuine zijden in het vooraanzicht zijn samen 90 - x, dus elke is  45 - 1/2x
Op dezelfde manier als in opgave 7 vind je dan met Pythagoras:
h2 + (1/2x)2 = (45 - 1/2x)2  ⇒  h2 = 2025 - 45x + 1/4x2 - 1/4x2  ⇒  h = √(2025 - 45x)
10. Voer de gegeven formule in bij Y1
Neem bijv window  Xmin = 0, Xmax = 45, Ymin = 0,  Ymax = 100
Calc - Maximum geeft dan  X = 30 en dan is   h = √(2025 - 45 • 30) ≈ 25,98
11 I = 30:
Voer de formule voor I bij Y1 in als bij vraag 10.
Neem Y2 = 30 en gebruik (met hetzelfde window) calc - intersect.
Dat geeft  101 ≤ x ≤ 431.

h = 20:
Voer de formule voor h in bij Y1, en neem Y2 = 20
Neem hetzelfde window.
Calc - intersect geeft  x = 361 en uit de grafiek zien we dat h > 20 voor  0 ≤ x ≤ 361

Beide voorwaarden samen geven  101 ≤ x ≤ 361.
12. Teken in vlak ABRT de loodlijn TD van T op AB.
Rechthoek TDBR heeft zijden 15 en 5 en oppervlakte 75
rechthoekige driehoek TDA heeft oppervlakte  1/2 • 5 • 15 = 371/2
Samen is dat 1121/2
Drie zulke vlakken hebben totale oppervlakte 3371/2 cm2 
13. Teken in vlak ABRT de loodlijn TD van T op AB.
tan ∠DTA = 5/15  Þ  ∠DTA ≈ 18,4º
∠T = 90º + 18,4º = 108,4º
14. Het grondvlak van piramide T.ABC is gelijkzijdige driehoek ABC met zijden 10.
Als de hoogtelijn daarvan lengte h heeft geldt:  h2 + 52 = 102  ⇒  h = √75
De oppervlakte van de driehoek is dan 1/2 • 10 • √75 = 5√75.

De hoogte is 14,72, dus de inhoud is  1/3 • 5√75 • 14,72 ≈ 212,5
15. Hiernaast staat het volledige bovenaanzicht.
TQ, TR en TP zijn evenwijdig aan respectievelijk BC, AB en CA en ze hebben lengte 2,5

Zo zijn de punten P, Q en R te tekenen.  
16. Gebruik de grafische rekenmachine en zet hem op radialen (MODE)
Y1 = 3 + 3sin(0,469x)  en  Y2 = 3,8
Neem window bijv.  Xmin = 0,  Xmax = 8, Ymin = 0, Ymax = 6
Intersect levert  X = 0,5957 en X = 6,1229
De afstand daartussen is 5,5272 en dat is ongeveer 55 mm.
17. SQ heeft lengte √(552 + 672) = 86,7
In punt S en punt Q zal de sinusoïde zich in de evenwichtsstand bevinden.
Tussen S en Q bevinden zich 5 periodes, net als tussen P en Q in de grafiek bij de opgaven.
De periode is daarom  86,68/5 = 17,34
De formule wordt daardoor  y = 3 + 3 sin(2π/17,34 • x) = 3 + 3sin 0,362x 
18. y = 12  ⇒  √(2x- 4) = 12  ⇒  2x - 4 = 144  ⇒  2x = 148  ⇒  x = 74 
f(x) = (2x - 4)0,5  en dat geeft (denk aan de kettingregel):
f '(x) = 0,5 • (2x - 4)-0,5 • 2 = (2x - 4)-0,5 
f '(74) = (2 • 74 - 4)-0,5 = 12-0,5 = 1/√12  
19. p = 2 geeft  y = √(2x- 4) 
p = 1geeft y = √x
snijden geeft  2x - 4 = x  ⇒  x = 4  dus de x-coördinaat van G zal x = 4 zijn, en G zal het punt  (4, 2) zijn.

Gaan alle grafieken door (4,2)?
x = 4 invullen geeft  y = √(p • 4 - 4p + 4) = √(4p - 4p + 4) = √4 = 2
Dus inderdaad komt er (wat p ook is) bij x = 4 altijd y = 2 uit.