HAVO  WB12   2004 - I
Kogelstoten
Kogelstoten is een onderdeel van de atletiek waarbij het doel is een zware kogel volgens een speciale techniek zover mogelijk weg te werpen; zie foto. Omdat dit veel kracht vereist hebben kogelstoters een stevig postuur.
Voor jonge ongetrainde mensen is vooral het lichaamsgewicht van invloed op de prestatie. Hoe zwaarder de persoon is, hoe verder er gegooid kan worden.
Neem bijvoorbeeld de volgende resultaten van twee deelnemers aan een sportdag (zie volgende tabel).
Deelnemer André Bernard
Gewicht (kg) 52,2 74,1
Afstand (m) 12,62 16,37
Bernard heeft verder gegooid dan André, maar hij is ook zwaarder. Om hun prestaties beter te kunnen vergelijken, rekent men de gegooide afstand om in een score.
Daarvoor gebruikt men de volgende formule:  S = A - k • (G - 50) met:
A = de gegooide afstand in meters
G = het lichaamsgewicht van de kogelstoter in kilogrammen.
k = een correctiefactor, te bepalen door de wedstrijdjury.
S = de score
De resultaten van de omzetting van afstanden in scores met k = 0,1 voor André en Bernard staan in de volgende tabel.
Deelnemer André Bernard
Score bij k = 0,1 12,40 13,96
3p

1.

 Onderzoek of Bernard ook bij k = 0,2 de hoogste score heeft.
Er is een waarde van k waarbij André en Bernard een gelijke score hebben.
3p

2.

 Bereken de waarde van k. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Bij een tweede manier om aan een afstand A een score T toe te kennen gebruikt men de formule:

Deelnemer Cor haalde een afstand van 14,32 meter. Hij kreeg bij de eerste formule met k = 0,1 een score van 14,21.
4p

3.

 Bereken de score van Cor volgens de tweede formule.
Een kogelstoter met een gewicht van 101 kg heeft de kogel 15,71 meter ver gegooid.
Bij de formule S = A - k • (G - 50)  hangt de waardering hiervoor af van de waarde van k
4p

4.

 Onderzoek bij welke waarden van k de formule voor S een lagere waardering geeft dan de formule voor T. Rond de grenswaarde af op drie decimalen.

 
Trein
Jules heeft voor zijn verjaardag een elektrische trein gekregen. Op een houten plaat bevestigt hij een treinbaan. Met behulp van zijn computer tekent Jules het model van de treinbaan in een assenstelsel; zie de volgende figuur. Het model van de treinbaan bestaat uit cirkelvormige delen met stralen van 30 cm en 50 cm.
Een trein die met een constante snelheid rijdt, legt in 24 seconden de volledige baan af volgens de route Start → A → Wissel → B → C → Wissel → D → Start.
4p

5.

 Bereken de snelheid van de trein.

 
De voorkant van de trein wordt in het computermodel voorgesteld door een punt P met coördinaten (xP , yP). De waarden van xP en yP hangen af van de tijd t. Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het moment dat het punt P het startpunt O(0,0) in de figuur hierboven passeert.

In de volgende grafiek is yP uitgezet tegen de tijd t waarbij t tussen 0 en 4,5 ligt.
3p 6. Geef bij deze grafiek een bijbehorende formule. Licht je antwoord toe.

 
3p 7. Teken voor de eerste 12 seconden na de start de grafiek van yP als functie van de tijd t. Licht je werkwijze toe.

 
Koffiefilter en koffiefilterhouder
In platgedrukte toestand (in de verpakking) heeft een filterzakje een vorm die ontstaat door uit een cirkelsector DMC de gelijkbenige driehoek AMB weg te laten (zie de beide figuren hieronder). We gaan uit van de volgende afmetingen:  AB = 6 cm,  MB = 4,8 cm en BC = 10,5 cm.
Plakrandjes laten we hier buiten beschouwing.
∠CMD is, afgerond op een geheel aantal graden, gelijk aan 77º
4p

8.

 Toon dat aan.

 
Een koffiefilter (Zie de figuur rechtsboven) wordt opengeknipt langs de zijden CB en BA en daarna opengevouwen om de zijde AD. Zo ontstaat er een uitslag van het koffiefilter.
Hieronder is een begin getekend van de uitslag van het koffiefilter, schaal 1 : 3.
5p

9.

 Maak deze uitslag af. Laat in je tekening of door middel van een beschrijving duidelijk zien hoe je het aangepakt hebt.

 
In de figuur hiernaast is een model van een koffiefilterhouder getekend. De hoogte AF is 9,9 cm. De onderkant is het lijnstuk AB met een lengte van 6 cm.
De bovenrand van de houder heeft de vorm van een cirkel.

Een filter wordt opengevouwen in de koffiefilterhouder geplaatst. We nemen aan dat daarbij de bovenste rand van het filter precies samenvalt met de bovenste rand van de filterhouder.
De afstand tussen de punten C en D van het filter wordt bij het openvouwen natuurlijk kleiner.
4p

10.

 Bereken de middellijn CD van de filterhouder.
Geef je antwoord in centimeters, afgerond op één decimaal.

 
In de figuur hiernaast is op bepaalde hoogte de dwarsdoorsnede van de koffiefilterhouder getekend.
deze dwarsdoorsnede is een figuur die bestaat uit een rechthoek PQRS en twee halve cirkels met middellijnen PQ en RS.
We nemen aan dat CD exact gelijk is aan 13 cm.

 
In de figuur hieronder zijn parallelle doorsneden getekend van de houder op 0%, 25%, 50%, 75% en 100% van de hoogte.
6p

11.

 Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede op eenderde deel van de hoogte.
Geef je antwoord in cm2.

 
Zeehonden
In een artikel van 19 mei 2001 in de Volkskrant wordt de ontwikkeling van de zeehondenpopulatie in de Nederlandse Waddenzee beschreven.
De grafiek hieronder komt uit dat artikel.
In het krantenartikel wordt gemeld dat er in 2000 en 2001 sprake is van een populatiegroei van 17 procent per jaar. Neem bij de volgende twee vragen aan dat dit juist is.
Aan het eind van 2001 waren er ongeveer 3900 zeehonden.
3p

12.

 Bereken het aantal zeehonden aan het eind van 1999

 
In hetzelfde krantenartikel wordt de volgende conclusie getrokken:
Bij voortzetting van de huidige exponentiële groei zal de maximale capaciteit van de Waddenzee snel bereikt zijn. De maximale capaciteit van de Waddenzee is 16000
3p

13.

 Bereken in welk jaar deze maximale capaciteit bereikt wordt.

Het wiskundig model waarin de zeehondenpopulatie met een vast percentage per jaar zal blijven groeien is onwaarschijnlijk.
Daarom wordt een ander wiskundig model voor het aantal zeehonden voorgesteld.
Dit andere model wordt gegeven door de formule:

Hierin is A het aantal zeehonden, t de tijd in jaren vanaf eind 2000 en a een positieve constante.

Dit laatste model stemt voor een bepaalde waarde van a overeen met het aantal van 3900 zeehonden dat eind 2001 geteld werd.
3p

14.

 Bereken deze waarde van a in drie decimalen nauwkeurig.

Logaritmische functies
Gegeven is de functie  f(x) = ln(4 - x)

De grafiek van f  snijdt de lijn met vergelijking  y = 2 in het punt A. Zie de figuur hiernaast.
3p

15.

 Bereken algebraïsch de exacte waarde van de x-coördinaat van punt A.

Gegeven is verder de functie g(x) = 2 • ln(x + 2)
In de middelste figuur hiernaast zijn de grafieken van de functies f  en  g  getekend.

De grafiek van g kun je krijgen uit de grafiek van lnx door op deze laatste een verschuiving en daarna een vermenigvuldiging toe te passen.
2p

16.

 Welke verschuiving en vermenigvuldiging zijn dat?
Met domein -2 < x < 4 is de functie h gegeven door h(x) = f(x) + g(x)

Het functievoorschrift van h kan geschreven worden als  
h(x) = ln(16 + 12x - x3)
5p

17.

 Toon dit algebraïsch aan.

Op de grafiek van h ligt een punt B.
In dit punt B is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van h gelijk aan 2.
Zie de onderste figuur hiernaast.
6p

18.

 Bereken met behulp van differentiëren van h de x-coördinaat van B.
Rond je antwoord af op twee decimalen.

Vaas
In een reclamefolder van een warenhuis staat een afbeelding van een vaas (zie de figuur hiernaast). De vaas bestaat uit twee delen. Elk deel heeft de vorm van een afgeknotte kegel. De onderste afgeknotte kegel is van doorzichtig glas gemaakt. Het bovenste deel is van matglas gemaakt (grijs gekleurd). Zowel het doorzichtige als het matglazen deel rusten op de grond.
De afmetingen van de twee delen zijn dusdanig dat het bovenste deel het onderste helemaal afsluit.

In deze opgave verwaarlozen we bij de berekeningen de dikte van het glas.

In de figuur hieronder zijn de afzonderlijke vooraanzichten van de twee onderdelen van de vaas en een vooraanzicht van de vaas in zijn geheel weergegeven.

De diameters van de cirkels van grondvlak en bovenvlak zijn bij het onderste deel 24 cm en 16 cm.
Van het bovenste deel zijn deze diameters 4 cm en 24 cm.
De hoogte van het onderste deel is 21 cm.
Hieruit kan worden afgeleid dat de hoogte van de vaas 35 cm is.
4p 19. Toon dit aan

6p 20. Bereken de hoek die AD en EF in het vooraanzicht met elkaar maken.
Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

De formule:
geeft het verband weer tussen r en R (de stralen van het grond- en bovenvlak), h (de afstand tussen het grond- en bovenvlak) en V (het volume) van de afgeknotte kegel; hierbij zijn de afstanden in cm en het volume in cm3. Zie de figuur hiernaast.

De ontwerpafdeling wil een vaas ontwerpen waarbij voor de matglazen afgeknotte kegel het volgende geldt:
  • het volume is 5000 cm3
  • de hoogte is 30 cm
  • de straal van het bovenvlak is twee maal zo groot als die van het grondvlak
4p

21.

 Bereken hoe groot r en R in deze situatie zijn.
Geef je antwoord in centimeters en rond af op één decimaal

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De score van André is S = 12,62 - 0,2 • (52,2 - 50) = 12,18
De score van Bernard is  S = 16,37 - 0,2 • (74,2 - 50) = 11,55
Dus voor k = 0,2 heeft Bernard niet de hoogste score.
   
2. André = Bernard
⇒  12,62 - k • (52,2 - 50) = 16,37 - k • (74,1 - 50)

⇒ 12,62 - 2,2k = 16,37 - 24,1k  ⇒  21,9k = 3,75  ⇒  k = 0,171
Of Y1 = 12,62 - X • (52,2 - 50) en Y2 = 16,37 - X•(74,2-50)
Dan CALC - intersect levert  X = 0,171...   
   
3. 14,21 = 14,32 - 0,1 • (G - 50) ⇒ 14,21 = 14,32 - 0,1G + 5 ⇒  0,1G = 5,11  ⇒  G = 51,1
T = 14,32•(50/51,1)2/3 = 14,11
   
4. T = 15,71 • (50/101)2/3 = 9,8312...
15,71 - 51k = 9,8312 ⇒  51k = 5,8788  ⇒  k = 0,11527...
S geeft een lagere waardering voor k > 0,115.
   
5. De omtrek van een cirkel is 2πr
de kleine cirkel heeft omtrek 30π en de grote 100π, en samen is dat 160π
De snelheid is dan  160π/24 = 21 cm/s
   
6. De amplitude is 30,
De periode is 9, dus in de formule komt 2π/9
Daarmee wordt de formule y = 30 • sin (2π/9 • x)
   
7. Het deel tussen 4,5 en 12 is wéér een sinusgrafiek, maar nu met amplitude 50:
   
8. Teken lijnstuk MS loodrecht op AB.
Dan is sin(∠SMB) = 3/4,8  dus  ∠SMB = 38,68º  ⇒  ∠CMD = 2 • 38,68º = 77º
   
9.
Teken cirkels met middelpunt A en B en straal 4,8/3 = 1,6 cm. Die snijden elkaar in M.
Spiegel B in AM; dat geeft het tweede punt B.
Verleng MB met 10,5/3 = 3,5 cm. Dat geeft punt C.
Teken een cirkel met straal MC en middelpunt M.
De hele uitslag is nu ABCDCBA
   
10. Pythagoras geeft  DF2 + 9,92 = 10,52  ⇒  DF = √(10,52 - 9,92) = 3,5
Dan is CD = FD + EF + EC = 3,5 + 6  + 3,5 = 13,0
   
11. Over de hele filterhoogte neemt PQ toe van 0 tot 13. Over 1/3 van de hoogte dus 1/3 • 13 = 13/3
Over de hele filterhoogte neemt QR af van 6 naar 0, over 1/3 van de hoogte dus 1/3 • 6 = 2
dus is QR = 6 - 2 = 4
De straal van de halve cirkels is dus  0,5 • 13/3 = 13/6 en de oppervlakte samen 2 • π • (13/6)2
de totale oppervlakte wordt daarmee  4 • 13/3 +  2 • π • (13/6)2 = 32 cm2
   
12. De groeifactor is 1,17
Dus twee jaar eerder waren er 3900 • 1,17-2 = 2849 zeehonden.
   
13. 3900 • 1,17n = 16000
⇒  1,17n = 4,10256...
⇒  n = 1,17log 4,10256 = log 4,10256/log 1,17 = 8,99
Dus ongeveer 9 jaar na eind 2001, en dat is in 2010
   
14.
⇒  3900 • (1 + 3,84  • e-a) = 16000 ⇒  3900 + 14976 • e-a  = 16000  ⇒  12100 = 14976 • e-a
⇒  0,807... = e-a   ⇒  -a = ln (0,807...) = -0,2132...  ⇒  a = 0,2132...

Het kan natuurlijk ook via intersect van de grafische rekenmachine.
   
15. ln(4 - x) = 2  ⇒  4 - x = e2  ⇒ x = 4 - e2.
   
16. verschuiving twee naar links
vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor 2.
   
17. ln(4 - x) + 2 • ln(x + 2) = ln(4 - x) + ln(x + 2)2 = ln{(4 - x)•(x + 2)2} = ln{(4 - x)•(x2 + 4x + 4)}
= ln{4x2 + 16x + 16 - x3 + 4x2 - 4x} = ln(16 + 12x - x3)
   
18. Met de kettingregel: 

⇒  2 • (16 + 12x - x3) = 12 - 3x2
Dat lukt niet algebraïsch (derdegraads vergelijking), daarom maar met de GR.
Y1 = 2 • (16 + 12x - x3)  en Y2 = 12 - 3x2  en dan intersect levert  x = -1,09 
(x = 4,589.. is geen oplossing want die bevindt zich niet binnen het domein)
   
19. Over 21 cm hoogte neemt de breedte van het  matglazen deel toe van 4 naar 16, dus dat is 12 cm.
De breedte moet toenemen tot 24 cm, dus dat is nog eens 8 cm extra.
8 cm is 2/3 van 12, dus ook de extra hoogte is 2/3 van 21 en dat is 14 cm.
De totale hoogte wordt dan 21 + 14 = 35 cm.
     
20. Teken LK loodrecht op AB door D.
AF + GB = 24 - 4 = 20 cm, dus  AF = GB = 10
AK = EL = (24 - 16)/2 = 4
Dus KF = 10 - 4 = 6
tan(∠ADK) = 4/21  ⇒  ∠ADK = 10,78º
tan(∠KDF) = 6/21  ⇒  ∠KDF = 15,95º
∠ADF = 10,78 + 15,95 = 26,7º

 
   
21. V en h en R = 2r  invullen:

Kwadrateren:  6,25r2 = 500/π - 3/4•r2  ⇒  7r2 = 500/π  ⇒  r2 = 500/7π
Nu de wortel nemen geeft r = 4,8 en dus R = 9,5