HAVO WB1,2  2002 - I
Functies
In de figuur hiernaast zijn de grafieken getekend van  de functies
 f (x) = √(-2x + 12)  en  g(x) = x - 1
4p 1. Los op  f(x) < g(x). Rond de getallen in je antwoord die niet geheel zijn af op twee decimalen.
De grafiek van f  snijdt de y-as in punt P.
Lijn m raakt de grafiek van  f  in P.
5p 2. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de richtingscoëfficiënt van lijn m.

 
In één punt van de grafiek van   f  is de  richtingscoëfficiënt  van de raaklijn gelijk aan  -1.
4p 3. Bereken de coördinaten van dit punt. Rond deze coördinaten af op één decimaal.

 
De verticale lijn x = a snijdt de grafiek van  f  in punt S en de grafiek van g in punt T; S ligt boven T.
4p 4. Onderzoek voor welke waarde van a de lengte van ST gelijk is aan 2. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
De grafiek van  f  wordt horizontaal verschoven. De beeldfiguur is de grafiek van de functie h. De grafiek van h snijdt de grafiek van g in het punt met  x-coördinaat 4.
4p 5. Stel een functievoorschrift op van de functie h. Licht je werkwijze toe.

 
Sterkte van een balk
In een bouwconstructie worden houten balken door verticale krachten belast. De strekte van zo'n balk hangt dan af van zijn afmetingen en de gebruikte houtsoort.
We bekijken liggende balken met een rechthoekige doorsnede. Balken kunnen op twee manieren worden neergelegd; met de lange rechthoekszijde horizontaal of verticaal. We noemen dit horizontaal of verticaal geplaatste balken. Zie de figuur hieronder. De richting van de krachten is aangegeven met pijlen.
Voor de sterkte S van een balk van een bepaalde houtsoort geldt de formule:  S = 0,12 · b · h2.
Hierbij is b de basis in cm en h de hoogte van de dwarsdoorsnede in cm.

Een balk van deze houtsoort heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede van 24 cm bij 6 cm.
Deze balk kan in verticale en in horizontale stand worden geplaatst.
3p 6. In welke stand is de sterkte het grootst? Licht je antwoord toe.
De oppervlakte van de rechthoekige dwarsdoorsnede van een balk van deze houtsoort is gelijk aan 60 cm2. Voor de sterkte geldt:  S = 100
5p 7. Bereken de afmetingen h en b van deze dwarsdoorsnede. Geef h en b in één decimaal nauwkeurig.

 
Uit een cilindervormige boom van dezelfde houtsoort wil men een balk zagen met basis b en hoogte h. Voor deze balk geldt nog steeds de formule S = 0,12 · b · h2.
De cirkelvormige dwarsdoorsnede heeft een diameter van 40 cm. Zie de figuur hiernaast.

In deze situatie kan voor de sterkte de volgende formule worden gevonden: 
S = 192·b - 0,12 · b3.
4p 8. Toon aan dat deze formule juist is.

 
Men wil de balk zo uit de boom zagen dat de sterkte S maximaal is.
3p 9. Bereken de afmetingen van de dwarsdoorsnede van de balk in dat geval. Geef de waarden van b en h in één decimaal nauwkeurig.

 

 
Zespiramidenvaas
In de figuur hiernaast is het model van een zespiramidenvaas te zien. Het model bestaat uit zes identieke regelmatige driezijdige piramiden. De zes grondvlakken van deze piramiden (bovenaan in de figuur) liggen in één vlak en vormen samen een regelmatige zeshoek ABCDEF. De diagonalen AD, BE en CF snijden elkaar in punt X. De achttien opstaande ribben zijn even lang.
De vaas steunt met de toppen P, Q, R, S en T op de grond.
In de linkerfiguur hieronder is een begin gemaakt van een bovenaanzicht van de vaas. In de rechterfiguur is een begin gemaakt van een zijaanzicht waarbij de kijkrichting evenwijdig is met BD.
Beide aanzichten zijn op schaal getekend.
10p 10. Voltooi de beide aanzichten. Zet alle letters erbij.
In de figuur hiernaast is één van de zes regelmatige piramiden getekend. M is het midden van de ribbe CD. Z is het zwaartepunt van driehoek XCD.
Er geldt dan:  de lengte van MZ is 1/3 deel van de lengte van MX.
Z ligt recht boven R.
De hoogte RZ van de vaas is 28 cm  en de zijden van de regelmatige zeshoek ABCDEF zijn 12 cm.
6p 11. Bereken hoek XMR. Rond je antwoord af op hele graden.

 
In de vaas wordt zoveel water gedaan dat in alle zes piramiden de waterspiegels op halve hoogte staan. De totale oppervlakte van de waterspiegels is dan ongeveer 93,5 cm2.
4p 12. Toon dat aan.

 
Er wordt drie liter water in de lege vaas gegoten (1 liter = 1 dm3)
5p 13. Bereken voor hoeveel procent de vaas gevuld is. Geef je antwoord in gehele procenten nauwkeurig.
Derdegraadsfunctie
Met domein [-6,1] is gegeven de functie  f (x) = (x + 4)3.
In de bovenste figuur hiernaast is de grafiek van  f  getekend.
4p 14. Geef het bereik van de afgeleide functie f ' op het gegeven domein. Licht je antwoord toe.

 
In de tweede figuur hiernaast is de grafiek van  f getekend op het interval [-4,0].
Op dit deel van de grafiek ligt een punt A.
Door vanuit A loodlijnen neer te laten op de x-as en de y-as ontstaat een rechthoek COBA.
Als punt A over de grafiek van  f  beweegt zal de oppervlakte van de bijbehorende rechthoek veranderen.
De oppervlakte S van de rechthoek is afhankelijk van de x-coördinaat a van punt A.
Er geldt:  S(a) = -a·(a + 4)3.
De functie S heeft een maximum op het domein [-4,0]. Iemand beweert dat dit maximum optreedt bij  a = -1. In dat geval zou S'(-1) gelijk moeten zijn aan 0.
4p 15. Toon met behulp van differentiëren aan dat  S'(-1) = 0

 
De gegeven functie  f  is een exemplaar uit de verzameling functies 
g(x) = (px + 4)3.
Voor p = 1 ontstaat de gegeven functie  f.
In de derde figuur hiernaast is voor een aantal waarden van p de bijbehorende grafiek getekend.
Voor elke waarde van p snijdt deze grafiek de y-as in het punt C(0,64)

De helling van de grafiek van g in het punt C is afhankelijk van de waarde van p.
5p 16. Bereken exact voor welke waarde van p deze helling gelijk is aan 10.

 

 
Bevolkingsdichtheid
Wijken in een stad die dicht bij het centrum liggen zijn dichter bevolkt dan wijken verder van het centrum af.
In 1950 begon men een onderzoek naar het verband tussen de bevolkingsdichtheid in een stad en de afstand tot het stadscentrum.
De bevolkingsdichtheid D in een punt P is het aantal inwoners in een cirkelvormig gebied rond P met een oppervlakte van 1 km2.
In de figuur hiernaast zie je een grafiek die voor een bepaalde stad het verband tussen de afstand x tot het stadscentrum (in km) en de bevolkingsdichtheid D weergeeft.
Uit deze grafiek kun je aflezen dat op een afstand van 4 kilometer van het stadscentrum de bevolkingsdichtheid gelijk is aan 10000 inwoners per km2.

Bij de grafiek hiernaast hoort de exponentiële formule  
D = a · e -bx
Hierin zijn a en b constanten

4p 17. Bereken met behulp van de grafiek hiernaast de waarden van a en b. Rond in je antwoord gevonden waarden die niet geheel zijn af op twee decimalen.

 
Voor een tweede stad heeft men het volgende lineaire verband tussen ln(D) en x gevonden:  
ln(D) = 10 - 0,2x.
5p

18.

 Toon algebraïsch aan dat bij benadering geldt:  D = 22000 · e -0,2x

 
Later heeft men ontdekt dat de aan het begin gegeven formule  D = a · e -bx dikwijls niet voldoet, omdat vanuit het centrum gezien de dichtheid eerst toeneemt en vervolgens weer afneemt.
Voor een tweede stad leverde dit een nieuwe formule op:

De grafiek van D is in de figuur hiernaast getekend.
5p 19. Bereken met behulp van differentiëren op welke afstand van het centrum de bevolkingsdichtheid maximaal is.

 

 

OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 1e opl. Y1 = √(-2x + 12) en   Y2 = x - 1 invoeren in de GR.
INTERSECT geeft  x = 3,32
Aflezen:  f  ≤  g  voor  3,32  ≤  x  ≤ 6
2e opl. (-2x+ 12) = x - 1  dus  -2x + 12 = (x- 1)2  dus  -2x + 12 = x2 - 2x + 1  dus  x2 = 11
Dat geeft  x = √11  = 3,32  of -√11 maar die laatste valt af.
 Aflezen:  f  ≤  g  voor  3,32  ≤  x  ≤ 6
2. f(x) = (-2x + 12)1/2  dus  (met de kettingregel):
3. Dan moet  f '(x) gelijk zijn aan -1. Dat kan op meerdere manieren:
1e opl. Voer de functie f in bij Y1
Y2 = (Y1(X + 0,001) - Y1(X)) / 0,001 geeft een benadering voor f '(x)
Y3 = -1
via INTERSECT het snijpunt van Y2 en Y3 geeft  x = 5,5
2e opl. f '(x) staat in opgave 2.  Voer deze functie in bij Y1 en neem Y2 = -1
INTERSECT levert  x = 5,5
3e opl. f '(x) staat in opgave 2.  Los op   f ' (x) = -1, dat geeft:
-2 = -2 • √(-2x+ 12)  ⇒  √(-2x + 12) = 1  ⇒  -2x+ 12 = 1  ⇒  -2x = -11  ⇒  x = 5,5
   
x = 5,5  geeft  y =  1  dus het gevraagde punt is  (5.5 , 1)
4. De lengte van het touw wordt gegeven door  L = f(a) - g(a) = √(-2a + 12) - (a -1)
1e opl. Voer in Y1 = L  en Y2 = 2
INTERSECT geeft  a = 1,87
2e opl. √(-2a + 12) - (a -1) = 2  ⇒  √(-2a + 12) = 2 + a - 1 = 1 + a  ⇒  -2a + 12 = (a + 1)2 = a2 + 2a + 1
⇒   a2 + 4a - 11 = 0  en de ABC-formule geeft  a = -2 ±√15  dus  a = 1,87  of  a = -5,87
De laatste valt af, dus  a = 1,87
5. g(4) = 3 dus de grafiek van h moet ook door (4,3) gaan
f (x) = 3  dus  √(-2x + 12) = 3  dus  -2x + 12 = 9  dus  2x = 3  dus  x = 1,5 dus f gaat door (1.5 , 3)
f moet dus  2,5 naar rechts geschoven worden. Dat kan door x te vervangen door (x - 2,5)
Dat geeft  h(x) = √(-2(x - 2,5) + 12)  =  √(-2x + 17)
   
6. Verticale stand:  S = 0,12 • 6 • 242 = 414,72
Horizontale stand:  S = 0,12 • 24 • 62 = 103,68
Dus in verticale stand is de sterkte het grootst.
7. Oppervlakte 60 geeft  b • h = 60  ofwel  b = 60/h
S = 100 geeft  0,12 • b • h2 = 100
b vervangen door 60/h geeft dan  100 = 0,12 • (60/h) • h2 = 0,12 • 60 • h
dus h = 100/(0,12 • 60) = 13,9  en daarna  b = 60/h = 60/13,9 = 4,3
8. Pythagoras geeft  b2 + h2 = 402  dus  h2 = 1600 - b2
Vervang in de S-formule  h2 door  1600 - b2:    S = 0,12 • b • (1600 - b2) = 192b - 0,12b3.
9. 1e opl. S invoeren in de GR en CALC - MAXIMUM  geeft  b =  23,1  
en dan met Pythagoras   h =  32,7
2e opl. S ' = 0  ⇒  192 - 0,36b2 = 0  ⇒  0,36b2 = 192  ⇒  b2 = 533,33  ⇒  b = 23,1
Dat geeft vervolgens h = 32,7 als in oplossing 1.
   
10.
11. Pythagoras:  XM2 = 122 - 62 = 108  dus  XM = Ö108.
Dan is  XZ = (2/3)•Ö108 = 6,928...
tan (XMR) = XZ/RZ = 6,928... /28 = 0,247...  dus  ∠XMR = tan-1(0,247...) = 13º
12. De driehoeken in het bovenaanzicht hebben zijden van 12 cm.
Op halve hoogte hebben de horizontale doorsneden nog zijden van 6 cm.
De hoogte van zo'n driehoek vinden we met Pythagoras:  h2 = 62 - 32 = 27  dus  h = √27
De oppervlakte is dan  0,5 • √27 • 6
voor zes driehoeken geeft dat  6 • 0,5 • √27 • 6 = 93,5
13. Voor de hoogtelijn (h) van een driehoek uit het bovenaanzicht geldt  h2 = 122 - 62 = 108  dus  h = √108
De oppervlakte van zo'n driehoek is dan 0,5 • √108 • 12 = 62,3538...
De inhoud van een piramide is dan (1/3) • (62,3538...)•(28) = 581,9690....
De hele vaas heeft dan inhoud 6 • 581,9690... = 3491,8144....  cm3 = 3,4918.... liter
3 liter is daarvan  3/(3,4918...) ste deel  = 0,859...ste deel  is dus  86%. 
   
14. f ' (x) = 3 • (x + 4)2  en dat is een dalparabool met top  (-4,0)
f '(-6) = 12  en  f '(1) = 75
Het bereik is dus  [0, 75]
Dat is ook te zien door een plot van deze parabool te maken. 
WINDOW  Xmin = -6  en  Xmax = 1
15. Met de productregel:
S '(x) = -1 • (a + 4)3 + -a • 3 • (a + 4)2
S '(-1) = -1 • (3)3 + --1 • 3 • (3)2 = -27  + 27 = 0
16. met de kettingregel:  g ' (x) = 3 • (px + 4)2 • p = 10
neem x = 0 dat geeft  3 • 42 • p = 10  dus  48p = 10  dus  p = 10/48 = 5/24
   
17. x = 0  geeft  D = a  en we kunnen aflezen dat dus moet gelden  a = 25000
Het tweede punt invullen:  10000 = 25000 • e-4b  dus  e-4b = 0,4  dus  -4b = ln(0,4) = -0,9162....
Daaruit volgt  b = -0,9162.../-4 = 0,22907...  ofwel  b = 0,23
18. ln(D) = 10 - 0,2x dus  D = e10 - 0,2x  = e10 • e-0,2x = 22026,46... • e-0,2x
en 22026,46... is bij benadering 22000 
19. Met de kettingregel:
Als D'(x) = 0  dan moet het laatste deel wel nul zijn want een e-macht kan nooit nul worden.
Dus  0,2 - 0,15x = 0  dus  0,2 = 0,15x  dus  x = 0,2/0,15 = 4/3

Een plot van D of een tekenbeeld van D wijst uit dat D daar inderdaad een maximum heeft.